高二理科数学
安庆二中2019-2020学年度第一学期期末考试
高二理科数学
（考试时间：120分钟满分：150分）
命题人：胡凯
审题人：汪令红一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题只有一个正确答案，请把
正确答案填在答题卷上.
01. 命题：“存在x∈(0,+∞)，使得2x≤sinx”的否定为（）
A. 存在x?(0,+∞)，使得2x>sinx
B. 存在x∈(0,+∞)，使得2x>sinx
C. 任意x∈(0,+∞)，都有2x>sinx
D. 任意x∈(0,+∞)，都有2x≤sinx
02. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（）
A. 至少有一个黑球与都是黑球
B. 至少有一个黑球与至少有一个红球
C. 恰有一个黑球与恰有2个黑球
D. 至少有一个黑球与都是红球
03. 已知点A（1，2，?1），点C与点A关于平面xOy对
称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|=（）
A. 2√7
B. 2√5
C. 2√2
D. 4
04. 执行右图的程序框图，则输出的S的值为（）
A. 2550
B. 2550
-
C. 2548
D. 2552
-
05. 方程x 2
m?2+y2
m+3
=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）
A. ?3 B. ?3 C. ?3 D. ?1 06. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表： 广告费x（万元） 2 3 4 5 销售额y（万元）32 35 45 52 E D B 1 C 1A 1 C B A 其回归方程y ∧=7x +a ∧ ，据此预测广告费用为6万元时销售额为（ ） A. 58.5万元 B. 77.5万元 C. 59万元 D. 70万元 07. 已知双曲线E ：22 221y x a b -=（0a > ）的渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线2 24y x =的准线上，则双曲线E 的方程为（ ） A. 2219108y x -= B. 22 1927 y x -= C. 22110836y x -= D. 221279y x -= 08. 如图，在以点O 为圆心，1为半径的半圆弧上任取一点B ，则△AOB 的面积大于 1 4 的 概率为（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 34 09. 过点P （4，2）作一直线AB 与双曲线C ：x 22 -y 2=1相交于A 、B 两点，若P 为弦AB 的 中点，则|AB|=（ ） A. 2√2 B. 2√3 C. 3√3 D. 4√3 10. 如图所示，在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，AB =√2，AC =√6，BC =2，D 、E 分别 是AC 1， BB 1的中点，则直线DE 与面BB 1C 1C 所成的角的正 弦值为（ ） A. √33 B. √2 2 C. √6 3 D. √3 6 11. 命题：[] 0, 2 x π?∈，cos2x +cosx ?m =0为真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A. []9,18 -- B. []9,28 - C. []1,2- D. [)9,8 - +∞ 12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线 在第一象限的交点为P ，12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形．若18PF =，椭圆 与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12 1e e +的取值范围是（ ） A. ()10, 2 B. ()14,23 C. ()4,23 D. ()1 ,2+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是________________； 14. 已知向量()1,2,3a =，()2,1,b k =，若a ⊥（a b +），则实数k 的值为____________； 15. 已知抛物线C ：2 8y x =的焦点为F ，Q 是抛物线C 上一点且点Q 在第一象限，若 5QF =，则点Q 的坐标为__________； 16. 已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2 12n n a S n -+=（2n ≥）， 若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则实数m 的取值范围是_______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 请在答题卷上写出必要的解答过程. 17. 本小题满分10分：已知a R ∈，命题p ：当[]1,2x ∈时，不等式2220 x a x +?->恒成立，命题q ：关于x 的不等式() ()221120a x a x -?+-?->的解集为?， 若p 、q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. 18. 本小题满分12分：已知圆C 的圆心为（1，1），直线x +y ?4=0与圆C 相切． ⑴求圆C 的标准方程； ⑵若直线l 过点（2，3），且被圆C 所截得弦长为2，求直线l 的方程． 19. 本小题满分12分：树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生” 的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环. 据此，某网站推出了关于生态文明建 设进展情况的调查，大量的统计数据 表明，参与调查者中关注此问题的约 占80%。现从参与调查的人群中随机 选出200人，将这200人按年龄分组： 第1组[15，25)，第2组[25，35)， 第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，得到的频率分布直方图上图．⑴求实数a 的值； ⑵求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数 A B C D M E M D C A 点后一位）； ⑶现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率． 20. 本小题满分12分：已知直线m 的方程为2y x =+，抛物线C ：2 4y x =的焦点为F ， 点P 是抛物线C 上到直线m 距离最小的点. ⑴求点P 的坐标； ⑵若直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，且3PF FM =，求直线l 的方程. 21. 本小题满分12分：如图，已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，M 为DC 的中点， 将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ，连接BM ⑴求证：AD ⊥BM ； ⑵若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥M ?ADE 的体积为√2 12 ； ⑶求二面角A ?DM ?C 的正弦值． 22. 本小题满分12分：已知中心在原点的椭圆C 的一个顶点为（0，?√3），焦点在x 轴 上，右焦点到直线x ?y +3=0的距离为3√2． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若直线l ：x =my +3（m ≠0）与椭圆C 交于M 、N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为N 1（点N 1与点M 不重合），且直线N 1M 与x 轴的交于点P ，求△PMN 的面积的最大值．