任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳
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●高考明方向
1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
★备考知考情
1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，
考查三角函数求值问题．
2.三角函数的定义与向量等知识相结合，
考查三角函数定义的应用．
3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.
一、知识梳理《名师一号》P47
知识点一 角的概念
(1)分类?
?? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.
《名师一号》P47 对点自测1、2
注意：
1、《名师一号》P48 问题探究问题1、2
相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？
相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．
角的表示形式是唯一的吗？
角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}．
(补充)
2、正角> 零角> 负角
3、下列概念应注意区分
小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．4、(1)终边落在坐标轴上的角
1）终边落在x轴非负半轴上的角
{x|x＝2kπ，k∈Z}
2）终边落在x轴非正半轴上的角
{x|x＝2kπ+π，k∈Z}
终边落在x轴上的角
{x|x＝kπ，k∈Z}
3）终边落在y轴非负半轴上的角
{x|x＝2kπ+π
2
，k∈Z}
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4）终边落在y 轴非正半轴上的角
{x|x ＝2k π+3π2
，k ∈Z } 终边落在y 轴上的角
{x|x ＝k π+π2
，k ∈Z } (2) 象限角 （自己课后完成）
知识点二 弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角
叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①弧度与角度的换算：
360°＝2π弧度；180°＝π弧度；
②弧长公式：l ＝|α|r ；
③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12
|α|r 2. 关键：基本公式180?→=rad π
《名师一号》P47 对点自测 3
注意：
1、《名师一号》P48 问题探究 问题3
在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？
不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的，
Word 文档 不可混用．
2、弧长公式与扇形面积公式
（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）
弧长公式||l r α= 扇形面积公式12
S lr = (补充)（将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r 为高）
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于
点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．
(补充)
1
2
(补充)关键：立足定义
正弦……一二正，横为零
余弦……一四正，纵为零
正切……一三正，横为零，纵不存在
3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）
知识点三任意角的三角函数
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的
正弦线，余弦线和正切线．
《名师一号》P47 对点自测 6
注意：
《名师一号》P48 问题探究问题4
如何利用三角函数线解不等式
及比较三角函数值的大小？
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(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的围，然后再加上周期．
(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较大小，应注意三角函数线的有向性．
也可以利用相应图象求解
二、例题分析：
（一)角的表示及象限角的判定
例1.《名师一号》P48 高频考点例1
(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；
(2)已知α是第三象限角，求α
2
所在的象限．
【思维启迪】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．
(2)把α写成集合的形式，从而α
2
的集合形式也确定．
解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为
{α|α＝2kπ＋π
3
，k∈Z}，
当角的终边在第三象限时，角的集合为
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{α|α＝2kπ＋4
3
π，k∈Z}，
故所求角的集合为
{α|α＝2kπ＋π
3
，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋
4
3
π，k∈Z}
＝{α|α＝kπ＋π
3
，k∈Z}．
(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋3
2
π(k∈Z)，
∴kπ＋π
2
<
α
2
3 4 π(k∈Z)． 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π 2 < α 2 <2nπ＋ 3 4 π， α 2 是第二象限角， 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π 2 < α 2 <2nπ＋ 7 4 π， α 2 是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时， α 2 是第二或第四象限角． 注意:《名师一号》P48 高频考点例1 规律方法 (1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是 Word文档 Word 文档 先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断． (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角． （二) 弧度制的定义和公式 例1.《名师一号》P48 高频考点 例2 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时， 才使扇形面积最大？ 解：(1)设圆心角是θ，半径是r ， 则??? 2r ＋r θ＝10 12θ·r 2＝4???? r ＝1，θ＝8(舍)，??? r ＝4，θ＝12 故扇形圆心角为12 . (2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.