(上)期末数学试卷
一. 精心选一选:(每小题5分,共60分.)
1.命题“()0000,,ln 1x x x ?∈+∞=-”的否定是( )
A .()0,,ln 1x x x ?∈+∞≠-
B .()0,,ln 1x x x ??+∞=-
C .()0000,,ln 1x x x ?∈+∞≠-
D .()0000,,ln 1x x x ??+∞=-
2.已知1(3,0)F -,2(3,0)F ,动点P 满足12||||4PF PF -=,则点P 的轨迹是 ( ) A .双曲线 B .双曲线的一支 C .一条射线 D .不存在 3.“0m n >>”是“方程2
2
1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )
A .充而分不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
4. 已知双曲线
2219x y m -=的一条渐近线方程为23
y x =,则双曲线的焦距为( ) A.
13 B. 10 C. 52 D. 132
5.已知)1(2)('
xf e x f x
+=,则()0'
f 等于( )
A. e 21+
B. e 21-
C. e 2-
D. e 2
6.已知命题,:R m p ∈?关于x 的方程012
=--mx x 有解,命题,:0N x q ∈?012020≤--x x ,则
下列选项中是假命题的为( )
A. p q ∧
B. ()p q ∧?
C. p q ∨
D. ()p q ∨? 7.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )
A. 16π
B. 228π+
C. 12π
D. 14π
8. 设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F , P 是C 上的点,
212PF F F ⊥, 1230PF F ∠=?,则C 的离心率为( )
A.
36 B. 13 C. 1
2
D. 33 9.已知点P 是抛物线2
14
x y =
上的-个动点,则点P 到点)1,0(A 的距离与点P 到y 轴的距 离之和的最小值为( ) A. 2 B.
2 C. 21- D. 21+
10.已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC 且
1==BC AB ,2=SA ,则球O 的表面积是( )
A. 4π
B.
34π C. 3π D. 43
π 11.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中 ,点P 在线段1BC 上运动(含端点),则下列命
题中,错误的命题是( )
A.三棱锥1A CD P -的体积恒为定值
B.11
//A P ACD 平面
C. 11PB D ACD ⊥平面平面
D. 1A P 与1AD 所成角的范围是32ππ??
????
,
12. 已知()f x 是定义在区间(0)+∞,上的函数,其导函数为()f x ',且不等式()2()x f x f x '<恒成立,
则 ( )
A.4(1)(2)f f <
B.4(1)(2)f f >
C.(1)4(2)f f <
D.(1)4(2)f f '<
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知直线043=++a y x 与圆12
2
=+y x 相切,则a 的值为__________.
14. 双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的离心率为2, 有一个焦点与抛物线2
4y x =的焦点
重合,则ab 的值为 .
15.若函数R x ax e x f x
∈-=,)(有极值,则实数a 的取值范围是 . 16. 若直线y kx b =+是曲线1y x
=
的切线,也是曲线2
y x =-的切线,则直线的方程是 .
三. 解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过
程及演算步骤)
17. (本题满分10分)已知函数()3
2
39f x x x x a =-+++.其中R a ∈.
(1)求函数()f x 的单调递减区间;
(2)函数()y f x =在区间[]
-2,2上的最大值是20,求它在该区间上的最小值.
18.(本题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥底面ABCD , 90BAD ∠=,
//AD BC , 1,2AB BC AD ===, PD 与底面成30, E 是PD 的中点.
(1)求证: CE ∥平面PAB ; (2)求三棱锥A CED -的体积.
19.(本题满分12分)如图,在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中, PB AB ⊥. (1)证明:平面PBC ⊥平面PCD ; (2)若4
43
PB AB BC ==
=,平面PAB ⊥平面ABCD ,求三棱锥A PBD -与三棱锥 P BCD -的表面积之差.
20.(本题满分12分)已知抛物线)0(22
>=p py x 焦点是F ,点)1,(0x D 是抛物线上的
点,且2||=DF .
(1)求抛物线C 的标准方程;
(2)若B A ,是抛物线上的两个动点,O 为坐标原点,且OB OA ⊥,求证:直线AB 经
过一定点.
21.(本题满分12分)
在平面直角坐标系xoy 中,动点P 到两点()(
)
3,0,
3,0-的距离之和等于4,设动点P 的轨迹为曲
线C ,直线l 过点()0,1-E 且与曲线C 交于B A ,两点. (1)求曲线C 的方程;
(2)ΔAOB 的面积是否存在最大值?若存在,求此时ΔAOB 的面积,若不存在,说明理由.
22.(本题满分12分)已知函数()f x lnx ax =-.R a ∈. (1)讨论()f x 的单调性;
(2)当函数()f x 有两个不相等的零点12,x x 时,证明:212x x e ?>.
2017-2018学年舒城中学高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案
1-5ABCDB 6-10 BDDCA 11-12 DB 13. 5± 14.
4
3 15.0>a 16.44y x =-+
17【答案】(1)(),1-∞-, ()3,+∞为减区间, ()1,3-为增区间;(2)-7
【解析】试题分析:(1)利用导数求得函数的单调递减区间。(2)由(1)可得函数(),1-∞-, ()3,+∞为减区间, ()1,3-为增区间。所以最大值只可能是f(2),f(-2),比较两个值的大小,可得f(2)=20.求得参数a ,进一步求的函数在区间[]
-2,2上的最小值。
试题解析:(1)()()()23693310f x x x x x =-++=--+<'
(),1-∞-, ()3,+∞为减区间, ()1,3-为增区间
(2)()28349222f a a =-+?+?+=+
()()2834922f a a -=+?+?-+=+
∴()2834922220f a a =-+?+?+=+= ∴a =-2 ∴函数()y f x =的最小值为()()11319127f -=+?+?--=-
18.【答案】(1)见解析;(2)
3
(1)证明:取AD 的中点O ,连接,OC OE
∵OE ∥AP , OE ?面PAB , AP ?面PAB ,∴OE ∥平面PAB ,同理OC ∥平面PAB ,
又∵OE OC O ?=,∴平面OCE ∥平面PAB ,又∵CE ?平面OCE ,∴CE ∥平面PAB . (2)∵PD 与底面成30,∴30ADP ∠=,又∵PA ⊥底面ABCD , OE ∥PA , 2AD =,
∴OE ⊥底面ABCD , 33
OE =
, ∴1111133213323239A ECD E ACD ACD V V S OE AD OC OE --?==
?=???=????=
19【答案】(1)见解析;(2) 628-. 【解析】试题分析:
(1)由题中的几何关系可证得CD ⊥平面PBC ,结合面面垂直的判断定理即可证得平面PBC ⊥平面
PCD ;
(2)由题意分别求得三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD -的表面积,两者做差可得结果为628-. 试题解析:
(1)证明:由已知四边形ABCD 为矩形,得AB BC ⊥, ∵PB AB ⊥, PB BC B ?=,∴AB ⊥平面PBC . 又//CD AB ,∴CD ⊥平面PBC .
∵CD ?平面PCD ,∴平面PBC ⊥平面PCD .
(2)解:∵平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ⊥平面ABCD AB =, AD AB ⊥,
∴AD ⊥平面PAB ,∴AD PA ⊥,∴PAD ?的面积为1
342622
??=. 又//AD BC ,∴BC ⊥平面PAB ,∴BC PB ⊥,∴PBC ?的面积为1
4362
??=.
又CD ⊥平面PBC ,∴CD PC ⊥,∴PCD ?的面积为221
443102
??+=.
又PB AB ⊥,∴PAB ?的面积为8.
而ABD ?的面积与BCD ?的面积相等,且三棱锥P BCD -与三棱锥A PBD -的公共面为PBD ?, ∴三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD -的表面积之差为(()862106628+-+=. 20【答案】(1) y x 42
=;(2) )4,0(.
21【答案】(1)
22 1.4
x y += (2) 3
2
(2)设直线
:1l x my =-,则2
2
1
{ 14
x my x y =-+=,
()
2
24230
m
y my +--=,
22412480m m ?=++>, 12224m y y m +=
+, 12
23
4
y y m ?=-+ ∴2212221232
12433
AOB
m S OE y y m m m +=-==+++
+,
令23,3,t m t =
+≥则
∴()1,3,g t t t t
=+≥ ∵())
3,,g t ∞?+?
在为增函数
∴()43
,3
g t ≥
∴()302AOB S m ≤=等号成立,则max 3().2
AOB S =
22【答案】
试题解析:(Ⅰ)当0a ≤时, ()f x 在()0,+∞单调递增; 当0a >时, ()f x 在10,
a ?
? ???单调递增; ()f x 在1,a ??
+∞ ???
单调递减;
(Ⅱ)不妨设120x x >>,由题意得1122
{
lnx ax lnx ax ==
相加,相减得: 1212
ln ln x x a x x -=
-,要证2
12x x e >,只需证12ln ln 2x x +>
12ln ln x x += ()12a x x +=12
12ln ln x x x x -- ()12x x + 2>,只需证()121212
2ln ln x x x x x x -->+
只需证12112
2
21ln 1x x x x x x ??
- ?
??>
+,设12x t x = (1)t >,只需证()21ln 01t t t -->+
设()()21ln 1
t g t t t -=-+,则()()
()
2
2
101t g t t t +'-=>, ()()10g t g >=,所以原命题成立.