学高等数学()期中考试试卷答案
2012—2013学年第一学期
《高等数学(2-1)》期中试卷
（工科）
专业班级
姓名
学号
开课系室基础数学系
考试日期 2012年11月25日
页号一二三四五六
总分本页满分32 18 10 16 16 8
本页得分
阅卷人
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共五道大题，满分100分；
4．试卷本请勿撕开，否则作废；
5．本试卷正文共6页。
一、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
1．设函数1(1sin ),
0(),
x
x x f x a x ?
?-≠=??=? 在0x =处连续，则a =
1e - .
2．设()f x 在2x =处连续，且2
()
lim
32
x f x x →=-，则(2)f '= 3 . 3．设arctan
a
y x =，则dy = 2
2
x a dx x a
-+ . 4. 函数ln(12)y x =+，则()(0)n y = 1(1)(1)!2n n n --- . 5. 曲线2
1x y e -=-的下凸区间是____[_____________________.
二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分） 1．设函数1
1
()tan ()()
x
x
e e x
f x x e e +=
-，则0x =是()f x 的（ C ）．
A ．连续点；
B ．可去间断点；C. 跳跃间断点；D ．无穷间断点.
2. 设()f x 有二阶连续导数且(0)0f '=，
()
lim 1||
x f x x →''=，则下列说法正确的是（ B ）． A ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线()y f x =的拐点； B ．(0)f 是()f x 的极小值；
C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；
D ．(0)f 是()f x 的极大值. 3. 当x →∞时，若
2
1ax bx c
++与1
1x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数； C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.
4.
设22
0()(),
x x f x x g x x ?>=≤?，其中()g x 是有界函数，则()f x 在
0x =处（ D ）.
A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导.
5. 设()f x 在0x 可导且01
()2
f x '=，则0x ?→时，0|x x dy =是x ?的（ C ）.
A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.
三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分） 1.
求极限0
1
lim
1cos x x
→-.
解：
（方法一）200sin 2lim 12x x x x
x →→==；
（方法二）0
01x x →→==；
（方法三）洛比达法则
01cos cos sin lim 12cos x x x x x x x
x
→→→+-===. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.
解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有
1
cos()()ln y xy y xy y x x
-''+=+
， 又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.
3. 设3
arctan 6x t t y t t
=+???=+??，求221d y t dx =. 解：222
363(1)1
11dy dy t dt t dx dx dt t +===+++；
2
2222
()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t
+====+++，故 2241d y
t dx ==.
4. 求极限2
1
)(cos lim x x x →.
解：（方法一）2
2
11cos 1
cos 10
lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=
+-
2
0cos 11lim
2
x x x
e e
→--
==；
（方法二）22
2
22
11
1sin 1222sin 22
lim(cos )lim (cos )lim(1sin )x x x x x x x x x x x e
--
-→→∞
→=
=
-=；
（方法三）洛比达法则sin 2cos 2
2
11
1ln(cos )lim 2
lim(cos )lim x
x x
x x x x x x x e e e
-→-
→→=
==.
四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）
1. 已知()sin 2ln(1)
,0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-?>?
=??-≤?在0x =处可导，试
求出a 与b .
解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故(0)(0)(0)0f f f -+===，又
00()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)
(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x
+
+++→→→++-+-==+=+-， 可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -
+''=，又 01
(0)lim ax x e f a x
--→-'==，
22
002
00()sin 2ln(1)sin ln(1)
(0)lim 2lim
1
cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +
++
++
→→→→++-+-'==-
-==--=--， 故1,3a b =-=.
2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率. 解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于
2211
()33
V R h r h x ππ=--，
又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h x
r R h
-=，
可得3
22233
22
11()1[()]333h x R V R h R h h x h h
πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dx
h x dt dt h
π=-， 由已知条件
25dV dt =，2h
x =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s R
π.
3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根. 解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则
1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1
x a
=，列表如下：
可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ??
=-+ ???
，讨论如下：
（1） 当1a e =时，10f a ??
= ???
，方程ln x ax =有唯一的实根；
（2） 当1
0a e
<<
时，10f a ??
> ???
，又由于 0
lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞；
ln lim ()lim (
)x x x
f x x a x
→+∞
→+∞
=-=-∞， 故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ?? ???与1,a ??
+∞ ???
内；
当1a e >时，10f a ??
< ???
，方程ln x ax =没有实根.
五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）
1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.
证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.
2．证明：当0>x 时，
x x x
x
<+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)
x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得ln(1)ln11
x x ξ+-=，11x ξ<<+，故
1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x x
x
<+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.
（方法三）：利用函数的单调性.