第5章数值分析1
1.通过点),(),,(1100y x y x 的拉格朗日插值基函数)(),(10x l x l 满足（） A. 0)(,0)(1100==x l x l B. 1)(,0)(1100==x l x l C. 0)(,1)(1100==x l x l D. 1)(,1)(1100==x l x l 考查知识点：拉格朗日插值基函数的性质 答案：D
2. 设)(x L 和)(x N 分别是)(x f 满足同一插值条件的n 次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别是)(x r 和)(x e ，则（B.） 考查知识点：插值多项式的存在唯一性 A.)()(),()(x e x r x N x L =≠
B.)()(),()(x e x r x N x L ==
C.)()(),()(x e x r x N x L ≠=
D.)()(),()(x e x r x N x L ≠≠
解析：插值多项式存在唯一性定理可知，满足同一插值条件的拉格朗日插值多项式和牛顿插值实际上是同一个多项式，故，余项也相同。 3. =?+?k k y y _______ 考查知识点：差分的概念 答案：11-+-k k y y
4. ]2,,2,2[]2,,2,2[,13)(8
1
7
1
4
7
f f x x x x f 和则+++=为 与
[]
[
]
!
80!8)(22221!7!
7!7)(222)8(8
710)7(7
10===??===??ξξf f f f ，，，，，，，根据差商和导数关系
5. 的二次插值多项式为则时当)(4,3,0)(2,1,1x f ，x ，f x -=-= （拉格朗日插值） 解： 4,3,2,1,110210=-===-=y y x x x ，Lagrange 这里插值公式利用二次
得,42=y
)()()()(2211002x l y x l y x l y x L ++=
3723653
)
1)(1(406)2)(1(32-+=-+?
++--?
-=x x x x x x
6. 设
2)(x x f =，则)(x f 关于节点2,1,0210===x x x 的二阶向前差分为_2_。
考查知识点：各阶向前差分的应用
解析：由节点210,,x x x 可求出对应的函数值，如下表：
x
)(x f
y
?
y 2?
0 0
1 1 1
2 4
3
2
7. 已知)(x f y =中有1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉格朗日插值多项式。（拉格朗日插值） 解：由插值条件，有
1)
12)(12()
1)(1(1)21)((11()2)(1(2)21)(11()2)(1()(?-+-++?-+-++?------=
x x x x x x x L
)1)(1(31
)2)(1(21)2)(1(31-++-+---=x x x x x x 3
421612+-=x x 8.设
()f x 在点,1,5.0,0,8.0,143210===-=-=x x x x x 的函数值如表所示，作出)(x f 关
于43210,,,,x x x x x 的差商表，给出)(x f 关于3210,,,x x x x 的Newton 插值多项式，并给出插值余项。
i x
)(i x f
],[1+i i x x f
]
,,[21++i i i x x x f ]
,,,[321+++i i i i x x x x f ]
,,,,[4321++++i i i i i x x x x x f -1 -1 -0.8 0.16032 0 1 0.5 1.15625 1 3
考查知识点：牛顿插值公式
解：差商表为：
i x
)(i x f
],[1+i i x x f
]
,,[21++i i i x x x f
]
,,,[321+++i i i i x x x x f ]
,,,,[4321++++i i i i i x x x x x f -1 -1 0a
-0.8 0.16032 5.8016 1a
0 1 1.0496 -4.725 2a
0.5 1.15625 0.3125 -0.567 2.79 3a
1
3
3.6875
3.375
2.19
-0.3 4a
Newton 插值多项式：
))()(())(()()(21031020103x x x x x x a x x x x a x x a a x N ---+--+-+=
x x x x x x )8.0)(1(79.2)8.0)(1(752.4)1(8016.51+++++-++-=
)5.0()8.0)(1](,5.0,0,8.0,1[)()()(33-++--=-=x x x x x f x N x f x R
9、 已知函数)(x f y =的函数表如图所示，试列出向后差分表，并写出牛顿的向后差值公
式，用其估计出)45.0(f 。 x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(x)
1.00
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
考查知识点：各阶后向差分的运用 解：
i x
()F x
y ?
2y ?
3y ?
4y ?
5y ?
0.0 1.00 0.1 1.32 0.32 0.2 1.68 0.36 0.04 0.3 2.08 0.40 0.04 0 0.4 2.52 0.44 0.04 0 0 0.5
3.00
0.48
0.04
1.0=h
)1.05.0()()(5555t N th X N X N +=+==2)1+(04.0+48.0+3t t t
=2
02.0+5.0+3t t 由x=0.45得t=5.0－
755.2)45.0(5≈N
10. 的近似值求用线性插值及二次插值的数值表如下给出54.0ln ln )(，x x f = x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.357765
-0.223144
解： 得线性插值多项式代入选取，Lagrange x x x 54.0,6.0,5.010===
620219
.0)
510826.0(50
.060.050
.054.0)693147.0(60.050.060.054.0)54.0(54.0ln 1-≈-?--+-?--=
≈L 得二次插值多项式代入又选取，Lagrange x x x x 54.0,6.0,5.0,4.0210==== 6153209
.0)510826.0()
5.06.0)(4.06.0()5.054.0)(4.054.0()
693147.0()6.05.0)(4.05.0()
6.054.0)(4.054.0()916291.0()6.04.0)(5.04.0()6.054.0)(5.054.0()54.0(54.0ln 2-≈-?----+-?----+-?----=
≈L
11.设4/9,1,4/1,)(2102
3====x x x x x f 。(1)试求)(x f 在[]4/9,4/1上的三次埃尔米特插值多项式)(x H ，使得)()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==，)(x H 以升幂形式给出。(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
解：81)41(=f ，1)1(=f ，827)49(=f ，21
2
3
)(x x f ='，23)1(='f
设d cx bx ax x H +++=2
3
)(，c bx ax x H ++='23)(2
???
??
???
???=++=+++=+++=+++23238274916816472918141161641c b a d c b a d c b a d c b a 解得：22514-
=a ，450263=b ，450233=c ，25
1
-=d 。
故 25
1
45023345026322514)(23-++-=x x x x H 。 )4
9()1)(41(1283)(2
25
---=-x x x x R ξ，其中，4941≤≤ξ。
12. 已知()shx x f =的函数表
求出三次Newton 差商插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表
由式(5.14)当n=3时得Newton 均差插值多项式
N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得
f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得
()[]()23.023.0,,,,23.0432103w x x x x f R =
由于[][]033133.023.0,,,,3210≈x x x x f
()631032.427.007.003.023.0033133.023.0-?≤????≤R
出题情况(电信)
张楠 2
张爽13 李锋15 陆亚男3,7,9 张云雪10 宋剑1,4
出题情况（营销）8陈飞
11李欣雨
6周莹舒
5张明晓
12张慧
14李墩芝、王雪松
数值分析第一章学习小结
数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的数的相关容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于数，不明白数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理
2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 绝对误差限： （2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。 相对误差： 相对误差限： 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。 （3）有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
数值分析第一章作业
西安邮电大学2018级工硕学位课 数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过5110-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 8.已知近似值0.500x *=的误差限*4()510x ε-≤?,32()21f x x x x =---. ①用秦九韶算法计算()f x *. ②求(())f x ε*,并说明x *及()f x *各有几位有效数字. 9. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=? 的数值稳定性.
数值分析第一章小结
第1章绪论 --------学习小结 姓名班级学号 一、本章学习体会 通过对本章的学习，我发现原来好多科学技术都离不开数学。首先，对于我们工科专业软件的计算过程中，我了解到数值分析已经被公认为与理论分析，实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。它有一个逻辑性很强的求解过程：提出实际问题，建立数学模型，提出数值问题，设计可靠、高效的算法，程序设计、上级实践计算结果，计算结果可视化。这种严密的逻辑完全可以应用在我们的生活中，正如我们去解决好多问题都可以通过提出问题，假设方法，验证正确性，解决问题。当然对于本章的一些相关概念还理解的不是十分明白，希望在今后的学习中真正能从学过了变成会学了。 二、本章知识梳理 1.1数值分析的研究对象 研究对象：利用计算机求解各种数学问题的数值方法及有关理论. 数值问题:输入与输出均为数据的问题. 数值方法: 求解数值问题时，在计算机上可执行的系列计算公式. 数值算法: 有步骤地完成求解数值问题的过程。规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。
1.2误差知识与算法知识 1.2.1误差的来源与分类 1.2.2绝对误差，相对误差与有效数字 (1)绝对误差：精确值与近似值的差. (2)相对误差:绝对误差在原数中所占比例. (3)有效数字：有效数字=可靠数字+存疑数字. 1.2.3函数求值的误差估计 误差估计的一般运算 一元函数: x ≈a,f(x)≈f(a) e(a)=x-a e(f(a))=f(x)-f(a)≈f ’(a)(x-a) 二元函数：
(,)(,)((,))()()f a b f a b e f a b e a e b x y ??≈?+??? (,)(,)((,))| |()||()f a b f a b f a b a b x y ??ε≈?ε+?ε?? 1.2.4算法及其计算复杂性 1.算法：有步骤地完成解数值问题的过程。规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。 2.好算法的标准：（1）有可靠的理论基础，包括正确性、收敛性、数值稳定性以及可作误差分析。（2）有良好的计算复杂性。 3.数值运算中的一些原则 1. 要有数值稳定性 2. 合理安排两级相差悬殊输间的运算次序，防止“大数”吃“小数”； 3. 避免两个相近的数相减 4. 避免接近于0的数做除数，防止溢出 5. 简化计算步骤，减少运算次数 1.3向量范数与矩阵范数
数值分析第一章.pdf
第一章 数值分析的基本概念 数值分析研究求解数学模型的算法及有关理论，它伴随计算机的发展而发展。在工程计算中，用数值方法求解数学问题（数学模型）得到广泛应用. 对绝大多数问题而言，要获得解析解并非易事，而从应用角度看，求得一个数学模型的数值解已经足够了. 求数学模型数值解的方法是数值型算法的数学基础，数值型算法是对某些给定的数据，按照一定的运算秩序进行运算的运算序列.对一个待求解的问题，可以选择已有的算法，也可以创造新的算法. 在数值计算中，常用迭代技术、离散化技术以及对离散数据的连续化技术来处理问题. 例如，对一个微分方程（或积分方程）问题 Lu = f ,经离散化后得到一个大型线性方程组 L h u h = f h ，如果用直接法（如Gram 法则或Gauss 消元法等）求解，将引出计算量大或误差积累严重等一系列问题，所以通常用迭代法求解大型方程组.迭代法的求解过程包括：初值的选取、按迭代格式进行迭代计算以及对迭代过程的收敛判定.在科学和工程计算中用迭代法求解的大型方程组有高达几百万甚至上千万阶的规模.由此可见，数值方法对求解数学模型不可缺少，由于数值方法中近似计算手段的普遍使用，必须考虑方法误差对计算结果的影响。在信息技术迅猛发展的今天，计算机发展的速度往往使人预料不及，但实际应用需求的增长更快.对于大规模、非线性的复杂计算问题，目前使用的数值方法还有待于进一步的研究和发展. 评价算法的两个明显的标准是速度和精度，速度涉及计算量，精度涉及误差. 众所周知，实数系（全体实数集合）是无限、稠密、连续的集合，而机器数系（全体机器数集合）是有限、离散的集合. 计算机在数值计算过程中，按固定的“字长”工作，实现对数据的处理.所以，在数值计算中必须考虑数据误差对算法的影响. §1.1误差和有效数字 一. 误差的来源和分类 在科学计算的过程中，建立数学模型、观测并获取有关数据、建立近似计算方法（数值方法）、进行数值计算是四个主要的环节。由此可知，在科学计算中误差的来源有：模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四个方面。 从实际问题建立数学模型时要分析各种因素，往往忽略一些次要因素，即使求得数学模型准确解，它与实际问题的解仍有误差。这类误差称为模型误差。模型误差是由实际问题抽象、简化为数学问题（数学模型）时，所引起的误差。 一般的数学模型包含若干个参数，如温度、长度、电压等物理量，这些参数的值往往由观测得到，而观测将受到包括工具在内的各种因素的影响，由此所产生的类误差称为观测误差。 当一个数学问题难以求出准确解时，往往退而求其近似解（用近似方法化简数学模型），所引起的误差称为截断误差（又称方法误差）。 例如，用有限项级数 S x x x =? +131535!! 1 对正弦函数作近似计算，其截断误差为：R = sin x － S .
常州大学数值分析第一章习题解答
1.1解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别： m=2; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 120 ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。 1.2解： （1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字 （2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字 （3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字 1.3 解; 记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。由S=πr2知：dS=2πrdr所以 dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r) ∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 1.4 解： 由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2 ∴|e（S）|≈|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|^2≈x|e(x)|+y|e(y)|+z^2|z(z)|^2≤4.21×0.005+1.79×1.005+2.11×2.11×0.005^2=0.03≤1/2×10^-1 又S=4.21*1.79+2.11^2=11.988 ∴S至少具有3位有效数字。 在字长为3的计算机上运行，误差为： S1=4.21*1.79+2.11; S2=digit(digit(4.21*1.79,3)+digit(2.11^2,3),3); err=S1-S2 err = -2.3541 1.6 解： clc disp('Please input the coefficients of'); disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c='); m=4; % m-digit rounding arithmetic
数值分析第一章上机作业
习题3.3 1．用高斯消元法解下列线性方程组 （1） 123 1234 1234 1234 4+848, 5434, 47210, 374; x x x x x x x x x x x x x x x += ? ?++-=- ? ? +++= ? ?++-=- ? （2） 1234 1234 1234 1234 +231, 363, 33153, 510125; x x x x x x x x x x x x x x x x ++= ? ?+++= ? ? --+= ? ?--+= ? 解：用高斯消元法解线性方程组的MATLAB主程序function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end
b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('请注意：因为RA=RB 第 一 章 习 题 1. 真空中的自由落体距离h 与时间t 的关系为，其中为重力加速度212 h gt =，其中g 为加速度。现设g 是准确的，而对t 的测量有1s ±的误差，证明当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差减少. 2. 012,17(),012 2k k k x x x k x +=???=+=????? ，，， 证明：若k x 的具有n 位有效数字的近似值，则1k x + 的具有2n 位有效数字的近似值. 3. 已知 )( 631399?=?=? 请指明用哪一个公式进行计算误差较小，并说明理由. 4. 已知0a ≠，0b ≠，2 40b ac ?>.说明在计算机上求一元二次方程 20ax bx c ++= 的两个实根时，为什么不用公式12b x a ?= ，12b x a ?=， 而要用公式1sgn(2b b x a ??=，21c x ax = 呢？这里1,0,sgn()1,0.b b b ≥?=?? （1）11121x x x ??++，1x ， ，1x ， （3） 1cos x x ?，0x ≠，1x . 6. 在计算一元实系数多项式 110()n n n n p x a x a x a ??=++???+ 的函数值时，若2x ，3x ，…，n x 先计算，再用0a ，1a ，…，n a 做线性组合，运算量是多少？占用的储存空间是几个单位（假设存一个实数用的储存空间是一个单位）？若按下列算法计算： 0,1,2,,1,0,()n n k k k u a u xu a k n n p x u =??=+=???????=? 运算量是多少？占用的储存空间是几个单位？ 7. 一个浮点数系可用四元数组(,,,)t L U β来刻画 （1）若10β=，欲使数2365.27和0.0000512能够准确地用规格化的浮点数来表示，最小的t 和U ，以及最大的L 各是多少？ （2）若在（1）中去掉“规格化的”要求，答案将发生什么样的变化？数值分析第一章 习题