第1讲 集合的概念和运算
第一章集合与常用逻辑用语
第1讲集合的概念和运算
一、选择题
1．已知集合A＝{y|x2＋y2＝1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．[0,1]
C．(0，＋∞) D．{(0,1)，(1,0)}
解析∵A＝{y|x2＋y2＝1}，∴A＝{y|－1≤y≤1}．
又∵B＝{y|y＝x2}，∴B＝{y|y≥0}．A∩B＝{y|0≤y≤1}．
答案 B
2. 设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，则N＝()
A．{1,2,3}B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
解析由M∩?UN＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．
答案 B
3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则?U M＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}
解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
∴?U M＝{1,4}．
答案 A
4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是()．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．
答案 B
5．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 解析 若N ?M ，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a ＝±1或a ＝± 2.故“a ＝1”是“N ?M”的充分不必要条件．
答案 A
6．设集合A ＝??????????x ??? x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )．
A ．[－2,2]
B ．[0,2]
C ．[0，＋∞)
D ．{(－1,1)，(1,1)} 解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]． 答案 B
二、填空题
7．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.
答案 1
8．已知集合A ＝{0,2，a2}，B ＝{1，a}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．
解析 若a ＝4，则a2＝16?(A ∪B)，所以a ＝4不符合要求，若a2＝4，则a ＝±2，又－2?(A ∪B)，∴a ＝2.
答案 2
9．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；
③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
解析 ①中，－4＋(－2)＝－6?A ，所以不正确．
②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确．③令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，3∈A 1,2∈A 2，但是，3＋2?A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．
答案 ②
10．已知集合A ＝????
??x ??? 6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1 解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1 ≤0， ∴－1 又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1 ∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2 答案 8 三、解答题 11．若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}． ∴??? －a ＝－1＋3＝2，b ＝(－1)×3＝－3， ∴a ＝－2，b ＝－3. 12．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B . 解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ， ∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3， 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3. (2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ， 由(1)知a ＝5或a ＝－3. 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 此时A ∩B ＝{9}， 当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3. 13．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ?A ，求实数a 组成的集合C . 解 由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A ＝{3,5}． (1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5. ∴B ＝{5}，∴B A . (2)∵A ＝{3,5}且B ?A ， ∴若B ＝?，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0. 若B ≠?，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a ， ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15， ∴C ＝???? ??0，13，15.