直觉思维

[初中数学论文]
重视数学直觉思维的培养
爱因斯坦认为科学创造的道路首先是直觉的，而不是逻辑的；加拿大的科学哲学家M.崩格认为，光凭逻辑是不能是一个人产生新思想的，正如光凭语法不能激起诗意，光凭和声理论不能产生交响乐一样。过去，人们过多的注重逻辑思维能力，而忽视了对非逻辑思维能力的培养。特别是直觉思维能力，由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的，从而丧失学习数学的兴趣。更何况直觉思维在创新思维中占据重要位置，它是打开数学创造大门的钥匙。培养直觉思维能力是社会发展的需要，也是培养创新人才的需求。
一、对数学直觉思维概念的理解
数学直觉思维就是具有意识的人脑由于思维的高度活动，不受逻辑规则约束的对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察，能在一瞬间迅速解决有关数学问题。也就是说：思维者不是按部就班地推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，跳过若干中间步骤或放过个别细节而直接把握研究对象的本质。
二、数学直觉思维的重要性
从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。两种思维互相作用、互相补充，不可分割，是科学创造的双翼。从探索新事物的本质、规律即从创造性活动考虑，直觉思维由于具有整体性、创造性，所以往往更适合于探索新知和创新的需求。史实说明，创造性活动中的关键性突破（即灵感或顿悟的形成）主要靠直觉思维。前苏联科学家凯德洛夫则说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动。”直觉是创造发明的源泉。
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授曾说：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”那么如何让学生的数学直觉思维得以提高呢？
三、数学直觉思维的培养
直觉思维虽然具有偶然性、不可靠性，但绝不是空中楼阁，更不是毫无根据地胡思乱想，它来自对已有成果的深刻认识和冷静审查，它需要广博的知识、敏锐的观察、丰富的联想、恰当的类比、合理的延拓以及标新立异的勇气和胆识，它是在严格的逻辑思维训练基础上升华而产生的独辟蹊径的构想。因此，数学直觉思维的培养应该是多方面的。
1、重视经验的积累和对基本知识的彻悟
扎实的基础和丰富的经验是产生直觉的源泉。直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是凭空臆想。布洛赫曾说：“直觉和经

验二者是密切相关的，直觉是把那些你已经了解得很充分的事物的认识拼起来形成一个完整的认识”。若没有深厚的功底，是不会产生顿悟或灵感的。就好似打篮球，要靠球感一样，在快速运动中是来不及去作逻辑判断，投篮动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时刻苦训练中产生的一种直觉。基本功越扎实，经验越丰富，产生的直觉越精确，球感就越好。在06——07年度CBA总决赛中八一队取得冠军就是一个很好的例子。数学学科也一样，只有掌握好数学的基础知识和基本技能，才能有助于学生的思维由单向型向多向型转变，有助于学生抽象思维与形象思维相结合、正向思维与逆向思维相结合。七年级学生学了“乘法公式”后，我布置了一道课后题，题目是已知：a+b=4,ab=2求a2+b2的值。大部分学生不知所措，而有一部分学生不假思索的计算：a2+b2=(a+b)2-2ab=12，这无疑是凭借扎实的基础和经验对问题的一种直觉判断。一般说来，在某一领域中，对知识理解得越透彻、经验越丰富，就越容易对该领域中的问题产生直觉。离开了已有的知识、经验，直觉便会成为无源之水，无本之木。因此，平时教学中要重视双基的落实和灵活运用。
2、培养学生敏锐的观察力
观察是信息输入的通道，是思维探索的大门。没有观察就没有发现，更不能有创造。中学数学中图形的识别，规律的发现以及理解能力、记忆能力、抽象能力、想象能力和运算能力的提高等都离不开观察。敏锐的观察力是直觉思维的起步器。大数学家高斯10岁时，数学教师叫全班学生计算1+2＋3＋…+10。刚抄完题目，高斯就把答案交上去了。小高斯就是凭借非同寻常的洞察力和采用独特的方法。神速而正确，令老师大吃一惊。人的观察力并非与生俱来一成不变的，而是可以在学习中得到发展的。所以在数学教学过程中，教师要善于激发学生的观察兴趣，帮助学生掌握正确的观察方法，有意识地培养学生的观察力，指导学生从整体考察问题，注意挖掘问题内部的本质联系，促进学生观察力的发展和提高。
3、渗透数学美及审美观念
数学美是直觉思维的助跑器，它的表现形式是简单性、和谐性、对称性和奇异性。对学生来说，数学美的因素对他们思维活动的影响是潜在的、不被觉察的，但这种审美情感却是驱动学生直觉思维的一股强大的力量。如计算：(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2时，多数学生的解法是：原式=x2+2xy+y2-2(x2-y2)+x2-2xy+y2= x2+2xy+y2-2x2+2y2+x2-2xy+y2=4y2；但有的学生就从整体性和对称性得出它本身就是一个完全平方式，解法为：原式=（x+y-x+y）2=4y2。对简单性的追求驱使学生直觉到了前一种

方法的繁复，并选择了一条通向问题目标的捷径即第二种方法。美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识。审美能力越强，则数学直觉能力也越强。
4、重视解题训练中的教学
直觉思维省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式，它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。 所以在解题训练中更应该让学生发挥他们的直觉思维。
教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维。例如数学选择题，由于只要求从四个选项中挑选一个，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。而选择题平时学生又不够重视，因此平时教学中更应教给学生解选择题的各种方法。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。数形结合、归纳猜想、反证法等，对直觉思维能力的发展也大有稗益。教师应采取积极鼓励的策略让学生运用直觉思维方法来解题，明确的提出把直觉思维冠冕堂皇于在解题训练中。
鼓励学生质疑问难，大胆联想和猜测。我国著名教育家叶圣陶说过：“发明千千万，起点在一问”。问是智慧的火花，是打开知识大门的金钥匙。平时教学中，要启发学生大胆地提出疑问，逐步引导学生有目的地为解决问题设疑、质疑。通过质疑问难，发展学生潜在的联想和想象能力。猜想是人类认识活动中最活跃、最有创造性的成分，人类发展过程的一切重大发现，都是猜想产生的奇异花朵。联想是不受逻辑约束的思维方法，它具有极大的跳跃性和自由性，可以极为迅速地将不同事物建立起联系。所以，联想是直觉思维的翅膀。问题解法的猜测可以启动解题的思维，问题结论的猜测可以为解题导向，所以猜测是直觉思维的重要武器。
同时教师必须转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，想办法用所学的知识来证明所猜测的结论的正确性，使学生的直觉思维和逻辑思维同时得到发展。
“逻辑是证明的工具，直觉是发现的工具，直觉的正确性需要逻辑来证明”，因此直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都

会制约一个人思维能力的发展。我们教育工作者在教学中一定要注意直觉思维与逻辑思维的有机结合和协调统一，培养出既科学严谨又勇于创新的人才。
参考文献：
[1]刘兼 孙晓天《数学课程标准解读》 北京师范大学出版社 2001.10
[2]钟启泉 崔允 张华《为了每位学生的发展》 华东师范大学出版社
[3] 郭思乐　喻纬著《数学思维教育论》　上海教育出版社
[4]刘超“浅谈数学教学中直觉思维的培”《中学数学月刊》2002年06期














所谓数学直觉就是由人的大脑对数学对象进行直接的领悟和洞察.培养和发展学生的直觉思维能力对提高学生的综合能力，养成良好的数学观是十分重要的.实践是造就直觉的一个重要组成因素，因此可以在数学学习的过程中逐步培养数学的直觉思维能力.下面我结合直觉的特性，从以下几个方面探讨如何培养学生的数学直觉思维能力.
一、由此及彼，充分开拓联想的空间
直觉产生的一个重要条件就是联想能力，每一个人不同的联想空间通过联系和重组可以得出不同的有价值的信息，因此需要去引导学生在面对问题时展开丰富的联想，拓展学生的联系空间也是培养学生直觉思维能力的另一个重要途径.新课标改革下，数学的教学目标更加丰富，不再是老师生硬地传授知识，学生被动地接受知识，更注重老师的引导和学生开放性思维的扩展，通过开拓学生的直觉思维，不断寻找新的解题方法.
例１　已知a为常数（a≠０），函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f=0，试问f（x）是否为周期函数，并要求证明得到的结论.
分析：因为首先已知条件是等式的结构类似于三角恒等式，由此可以联想到cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy，由f（x）联想到cosx，又由cos联想到f=0，据此猜想π类似于a，f（x）是以2a为周期的函数（证明略）.
老师引导学生运用联想的方式解题，而联想在数学思维中是由多个层面多个角度组成，由合理的思维引导联想，最终达到解题过程追求的“柳暗花明”的效果.这样看来学生通过联想能找到适当的解题方法.因此，由联想引发的直觉思维对数学问题的解决是十分重要的.
二、以美寻真，培养审美意识
在新课标下，教学不再只是老师和书本，更多的是和生活相融合，师生互动去创新，不再只是注重教学结果，而是重视培养学生的情感价值和参与思考的过程.因此，我们在日常的数学教学过程中让学生去体验和领悟出数学的“美感”，从而培养他们对美的认识，这也是能提升学生对数学直觉思维能力的一个重

要环节.
例２　推导得出椭圆的标准方程.
根据所给出的定义得到椭圆的图形，而后老师可以在推导出椭圆标准方程的过程中作下面所述的几点分析及引导.
（１）由于椭圆的对称性，我们以F1、F2所在的直线为x轴，F1、F2的中垂线为 轴，从而建立坐标系.为了运算方便，假定F1、F2的坐标既对称又不含分母，把焦距设为2c（c>0），从而与焦点相关联的动点M与F1、F2的距离之和也应当保持统一的形式，所以不妨将它设为 ，显然 ．
（２）由椭圆的定义，设动点的坐标为（x，y），得出+=2a①
化简、整理，得到+=1．②
方程②虽然比方程①简单，但是由于图形的对称美要求，我们希望方程也能够具备对称美，注意到a>c，因此可设b2=a2-c2，因此方程②又可以化为+=1．
（３）假若我们一开始即将焦距以及动点到两焦点的距离之和分别设为a和c，能否就这样得出较为易懂明了的方程②？由此可见，只要对美有所追求，即可获取美的果实.同样的，对于我们引入的ｂ其实也是一种对美的追求，在之后我们依然可以看出，因为对这种美的追求所得到美的回报.
要想在看似平淡的数学教材中做到推陈出新，能够挖掘出美的要素并且可以通过在数学的教学中来展现和渗透来自数学的美，则需要老师去鼓励学生通过积极的探索和大胆的实践来得以实现.为学生展示数学中的美，并以此提升学生的审美直觉，从而加强了学生的数学直觉思维能力的培养.
三、由表及里，促成整体观念的形成
在日常的教学工作中我们首先要让学生对数学对象产生基本认识和理解，注重对问题背景的认识和框架的理解；从本质上认识事物而不是停留在表面上.
例３　我们让学生举例，用２个１组成的最大数字是什么？学生会说１１.再问３个１组成的最大数字是什么？学生回答回事１１１.继续提问有４个１组成的最大数字是什么？学生会说是１ １１１.其实不是，４个１组成的最大数字是１１１１.
学生不能只把思维停留在表面的数字，而是要用发散性思维去思考问题，通过不同的方法去例证问题.在解决任何一道题目的时候，不能只看表面的现象，一定要抽取问题的本质.只有抓整体，看本质，从而可以产生对复杂事物的直觉思维能力，只有培养对数学对象的直觉思维能力，才能让学生真正脱离题海，摆脱只对事物进行表面认识，而不是从本质上了解事物的被动局面，不单单是就题论题，在日常教学过程中，教师也要不断引导和训练学生的直觉思维能力，养成全面思考问题的习惯，学会用不同的角度去看待问题.

试论直觉思维的培养

宝鸡市教育局教研室 曹公奇

直觉思维是在早已获得的经验、知识的基础上，凭思维的“感觉”直观地把握事物本质和规律的心理过程。直觉思维在创新思维中占据重要位置。在具体研究活动中，一般都是从粗略的思索中寻找明智的思路，从模糊的印象出发导出清晰的思维，进而从含蓄趋于明朗，从紊乱归诸条理，这主要是靠直觉思维。所以，爱因斯坦指出：“真正可贵的因素是直觉。”在语文教学中，特别是文学作品教学中，培养学生的直觉思维尤为适宜。
1. 直觉观察能力
直觉观察主要是培养学生由景到情、由景到人、由人到生活、到社会的直接观察、感受和认识的灵活性。
从景到情的过程，是观物连类、触景生情的直觉观察。一方面，我们可以让学生从课本上此类课文的学习中感受触景生情的直觉观察；另一方面，教师可以有意识地布置此类写作题，锻炼学生触景生情的直觉观察能力。朱自清的《春》一课，先是凭直觉“盼望着，盼望着，东风来了，春天的脚步近了”；再仔细描绘出一幅幅通过作者敏锐观察，能让人们直觉感受的动人画面：春草图、春花图、春风图、春雨图、迎春图；最后，连取三喻，赞美春的活力带给人以希望和力量。从盼春、绘春，到赞春，很好地体现了由景到情的直觉观察的特点。进而要求学生观物连类、触景生情，写一篇写景抒情的作文，以培养学生的直觉观察能力。
从景到人的过程，是将对景物与人物的观察描写结合起来，开拓观察范围与直觉感受的广泛性。茅盾的《白杨礼赞》把对白杨树景物特点的描绘和对北方农民与抗日军民的赞美结合起来，体现了作者直觉观察、感受的开拓性和灵敏性。
从人到生活、到社会的过程，是在直觉观察、感受的基础上，不停留在直觉思维的表面，而是深入挖掘其社会意义，这需要有一定的生活积累，对人与社会生活进行多侧面的观察和挖掘。
2.直觉感悟能力
直觉感悟主要是培养学生在阅读、写作中迅速感知、快速领 悟的直觉思维能力。阅读能力，特别是速读能力，它的核心就是直觉感悟能力。对一篇作品的快速阅读，既强调要快速地认读言语文字，更要求在快速认读的基础上，能够敏捷地提取文义，能够迅速地感知领悟，而这种感悟又是速读在人头脑中的直接反映。如用每分钟1000字的速度快速阅读鲁迅小说《祝福》，需要用10分钟左右时间读完，然后能迅速地抓住祥林嫂大半生的悲惨命运，即没了丈夫——鲁镇打工——被逼改嫁——再次丧夫——失掉孩子——重回鲁镇——捐了门槛——沦为乞丐——“祝福”

中死去，并能迅速感悟到造成祥林嫂悲剧的社会根源是封建礼教的毒害和摧残。通过这样反复多次的训练，就能培养学生的直觉感悟能力。
另外，写作观察活动中，要能从观察对象中迅速提取出本质的东西，也就是透过现象看本质，这也是一种直觉感悟能力。
3.直觉间歇思维
在阅读和写作活动中，要对解决的问题集中精力进行思考，但有时仍然无法理解或无法解决，这时候先休息一段时间，或进行其他学习，就在这个间歇时间，往往直觉突然到来，使无法解决的问题一下子或得了解决。如在写作中卡壳时，如果有一个间歇，思维往往会突然流畅起来，使写作顺利地完成下去。我们对学生常讲以读促写，并不是读了抒情散文，马上就能写好抒情散文，读和写之间其实也有一个间歇，这个间歇的长短可能并不一致，需要用生活的直觉感受来填补这个间歇。当学生以后写作文时，凭着自己对生活的直觉观察和直觉感悟，凭着自己原来对此类文章的阅读感知，往往会写出优秀的作文来，这就是直觉间歇思维的效果。因此，在阅读和写作过程中，我们要特别注意培养学生的直觉思维间歇能力。
4.直觉艺术思维
让学生进行艺术实践活动，感知艺术作品内涵，领悟艺术形象意义，体验艺术魅力，这种属于人的情感、理智的实践活动，有助于学生直觉的出现，能够发展学生的直觉艺术思维。如阅读教学中的分角色朗读，就是让学生体味课文中不同角色的思想和情感，并凭直觉用人物自己的语音、声调去说出人物的话语。写作中，学生深入体会作品中人物的言行和情感，并凭直觉写出人物的活动。语文课外活动中，教师指导学生可以把《最后一课》、《变色龙》、《项链》、《守财奴》等课文改编成课本剧进行演出，还可以把课文中的戏剧如《陈毅市长》、《雷雨》等自导自演，既有利于学生对课文的深入理解，又有利于普及戏剧知识，还有利于提高学生的读写能力和口语交际能力，更有利于培养学生的直觉艺术思维能力。
5.直觉随记能力
直觉是一种突如其来的心理现象，因此，平时要随时随地捕捉自己的直觉，并把它记录下来。如果不随时记录下来，直觉的内容就会很快淡忘，或者淡漠化，就不会对自己以后产生多大影响。如英国著名作家狄更斯，在外面体验生活时，常带着小本子，一旦有了直觉感受，就随时把它记在小本子上，这些就成了他以后创作的素材。因此，我们要教育学生养成随时随地记录自己直觉的好习惯，养成写观察日记的好习惯，培养自己的直觉随记能力。
对学生直觉思维的培养，不是短时间内就能见效

的，必须坚持长期训练，象速读和写观察日记，就要坚持长期训练才能有效。另外，也要教育学生正确判断和鉴别直觉思维，使学生的直觉思维沿着健康、正确的轨迹发展。








数学直觉思维及培养
肖燕鹏
(湖北省黄石市第三中学 湖北黄石 435000)

中学数学教学大纲(试验修订本)将培养学生的三大能力之一“逻辑思维能力"改为"思维能力”，虽然只是去掉两个字，概念的内涵却更加丰富，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的，从而丧失数学学习的兴趣。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是培养创新人才的需求。
从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解决也离不开直觉。简单的说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。
直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点。直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了"跳跃式"的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。高斯在小学时就能解决问题“1+2+　…… +99+100＝?”，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。
在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能

没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”数学直觉是可以通过训练提高的。
(1)扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。
(2)渗透数学的哲学观点及审美观念
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建邻的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如(a+b)2= a2+2ab+b2 ，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。
美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。
(3)重视解题教学
教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。
例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。
(4)设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
"跟着感觉走"是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动

策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思．斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。