1.2.1排列(优质课教案)

11
11
1．
．．
．2
22
2．
．．
．1
11
1排列
排列排列
排列

上课班别
上课班别上课班别
上课班别：
：：
：高二（8）班 授课教师
授课教师授课教师
授课教师：
：：
：
教材
教材教材
教材：
：：
：人教版 选修2—3
教学目
教学目教学目
教学目标
标标
标：
：：
：
1、知识与技能
知识与技能知识与技能
知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，
并能运用排列数公式进行计算。
2、过程与方法
过程与方法过程与方法
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题
3、情感
情感情感
情感、
、、
、态度与价值观
态度与价值观态度与价值观
态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.
教学重点
教学重点教学重点
教学重点：
：：
：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法，间接法
教学难点
教学难点教学难点
教学难点：
：：
：排列数公式的推导
奎屯
王新敞
新疆
授课类型
授课类型授课类型
授课类型：
：：
：新授课
奎屯王新敞
新疆
课时安排
课时安排课时安排
课时安排：
：：
：1课时
奎屯
王新敞
新疆
教
教教
教 具
具具
具：多媒体
奎屯
王新敞
新疆
内容分析
内容分析内容分析
内容分析：
分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的
这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分
类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方
法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的
任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理
更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶
段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生
认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的
基础
奎屯
王新敞
新疆
分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合
问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个

原理贯穿排列、组合学习过程的
始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同
方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是
组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，
但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 教学过程
教学过程教学过程
教学过程：
：：
： 一
一一
一、
、、
、复习引入
复习引入复习引入
复习引入：
：：
：
1
奎屯
王新敞
新疆分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同
的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法
奎屯
王新敞
新疆那么
完成这件事共有 12
nNmmm=+++?种不同的方法
奎屯
王新敞
新疆
2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方
法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有

212
nNmmm=×××? 种不同的方法
奎屯
王新敞
新疆
二
二二
二、
、、
、讲解新课
讲解新课讲解新课
讲解新课：
：：
：
问题
问题问题
问题1
11
1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加
上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

图 1.2一1
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中
任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是
ab,ac,ba,bc,ca, cb,
共有 3×2=6 种．
问题
问题问题
问题2
22
2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同
的三位数？
第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个
数字中去取，有 3 种方法；
第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2
个数字中去取，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，
按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有
4×3×2=24
种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位

数，如图1. 2一2 所示．

由此可写出所有的三位数：
123，124, 132, 134, 142, 143，
213，214, 231, 234, 241, 243，
312，314, 321, 324, 341, 342，
412，413, 421, 423, 431, 432 。
同样，问题 2 可以归结为：
从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种

3不同的排列方法？
所有不同排列是
abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
共有4×3×2=24种.
树形图如下


a b ｃ ｄ

ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ

2．排列的概念：
从n个不同元素中，任取m（mn
≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺
．．．．
序
．
排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
．．．．
奎屯
王新敞
新疆
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同奎屯
王新敞
新疆
3．排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m（mn
≤）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元
素的排列数，用符号m
nA表示
奎屯
王新敞
新疆
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照
一定的顺序
．．．．．
排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn≤）个元素的
所有排列的个数，是一个数
奎屯
王新敞
新疆所以符号m
nA只表示排列数，而不表示具体的排列奎屯
王新敞
新疆
4．排列数公式及其推导：
求3
nA可以按依次填3个空位来考虑，∴3nA=(1)(2)
nnn??，
求m
nA以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)mnAnnnnm=???+
?，
排列数公式： (1)(2)(1)m
nAnnnnm=???+
?
（,,
mnNmn?∈≤）
说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个
少1，最后一个因数是1
nm?+，共有m个因数；
（2）全排列：当nm
=时即n个不同元素全部取出的一个排列奎屯
王新敞
新疆
全排列数：(1)(2)21!n
nAnnnn
=???=?（叫做n的阶乘）奎屯
王新敞
新疆
另外，我们规定 0! =1 . !
()!n
m
n
n
nm
nmA
n
A
Anm?
?==
?.

4例
例例
例7．(课本例
例例
例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在
主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解
解解
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素
的一个排列．

因此，比赛的总场次是2
14A=14×13=182.
例
例例
例8． (1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，有多少种不同的送法？
(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个
元素的一个排列，因此不同送法的种数是 3
5A=5×4×3=60.
(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3
名同学每人各 1 本书的不同方法种数是
5×5×5=125.
例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各
人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不
符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．
例
例例
例9．(课本例
例例
例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：
在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，
因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题
解法
解法解法
解法

1
11
1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上
的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排
百位上的数字，可以从1到9 这九个数字中任选 1 个，
有1
9A种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从
余下的9个数字中任选2个，有2
9A种选法（图1.2一
5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有 12
99AA
?=9×9×8=648（个） .
解法 2：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为3
10A，其中 O 在百位上的排列数
是2
9A，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数， 310A-29A=1
0×9×8-9×8=648.
巩固
巩固巩固
巩固练习
练习练习
练习：
：：
：书本20页１，３,5,6
课外作业：第27页 习题1.2 A组,4,5，6,7
教学反思
教学反思教学反思
教学反思：
：：
：
排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位
置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，
且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列
数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。