《高等数学》专升本(2015-2016)第一节 导数的概念21 导数的概念

高等数学-导数的概念-教案

例4求 f (x ) = sin x 的导函数 (),(+∞-∞∈x ). 解：x x f x x f x y x f x x ?????)()(lim lim )(00-+=='→?→ x x x x x ?-?+=→?sin )sin(lim 0x x x x x ????? ?? ?+=→?2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2 2sin 2cos lim 0=???? ? ???+=→?， 即： x.cos (sin x)'= 类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ???) ()(lim 000-+-→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’ (x 0)；同样，如果x x f x x f x ???) ()(lim 000 -++→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’ +(x 0) . 显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 . 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。 D.课堂小结 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系 E.布置作业

导数的概念及运算

导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所

以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0

高等数学导数的概念学习教案.docx

教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：

教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t

《导数的概念》说课稿与教学说明

《导数的概念》说课稿 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时． 教学内容分析 1．导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数． 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．

教学目的 1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度； 2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念； 3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤； 4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验； 5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程． 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念． 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念． 教学准备 1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法； 2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训； 3．制作《数学实验记录单》及上课课件． 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：

苏教版 导数的概念及运算

导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.

《导数的概念》说课稿(完成稿)

实验探究，让数学概念自然生长 ——《导数的概念》说课 江苏省常州市第五中学张志勇 一. 教学内容与内容解析 1、教学内容：本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2第一章第一节的《导数的概念》第2课时“瞬时变化率——导数”，导数的概念包括三部分教学内容，即平均变化率、瞬时变化率、导数，其中瞬时变化率包括曲线上一点处的切线和瞬时速度、瞬时加速度，本节课之前学生已完成平均变化率的学习． 2、内容解析：导数是研究现代科学技术必不可少的工具，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，在物理学、经济学等领域都有广泛的应用．对于中学阶段而言，导数是研究函数的有力工具，在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题时有着广泛的应用，同时对研究几何、不等式起着重要作用．从而导数在函数研究中的应用应是整个章节的重点，但不能仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，导数的概念无疑是教学的起点也是关键，否则学生很难体会导数的思想及其内涵．事实上导数概念的建立基于“无限逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同．囿于学生的认知水平和可接受能力，教材中并没有引进极限概念（过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解），而是从学生的生活经验出发，通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，直至建立起导数的数学模型． 3、教学设想：导数的本质在于从平均变化率到瞬时变化率的“无限逼近”，而无限逼近有三种方式：数值逼近、几何直观感知、解析式抽象；而达成学生极限思想形成之教学目标，需要以问题为背景，关键是设计活动让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程．因此教学处理时，试图还 原知识建构的完整过 程，实现导数概念的“再 创造”，其中数学探究 环节采用数学实验的方

[2020理数]第三章 第一节 导数的概念及运算定积分

第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算、定积分 [考纲要求] 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1 x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义． 突破点一 导数的运算 [基本知识] 1．导数的概念 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式

f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝ 1x ln a 3.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? f x g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x 2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3 3．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ,则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????π4sin x ＋cos x , ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22 ,

导数的概念与计算练习题带答案

导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-

大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分

大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分 1.导数的定义。对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。与物理学中定义米/秒是一个性质的。把函数f(x)的导数看做是关于x 的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。（以上的“x0”中的“0”都是x的下标，下同。） 导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。 2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。如图所示。绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。

3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。比如说求y=x2在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)2-a2)/Δx的极限。求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x2的导数的过程。 4.函数的可导性与连续性的关系。我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)

第一节 导数概念

第一节 导数概念 一、选择题 1. 设f (x )在x 0处不连续, 则f (x )在x 0处 ( ) A . 一定可导; B . 必不可导; C . 可能可导; D . 无极限. 2. 设f (x ) = x |x |, 则=')0(f ( ) A . 0; B .1; C . -1; D . 不存在. 3. 已知函数f (x ) =???>≤--0,0 ,1x e x x x ，则f (x )在x = 0处 ( ) A . 间断; B . 导数不存在; C . 导数1)0(-='f ; D . 导数1)0(='f . 4. 设函数f (x )在x 0可导，则=--+→h h x f h x f h ) 2()2(lim 000 ( ) A . )(4 1 0x f '; B . )(2 1 0x f '; C .)(0x f ' ; D . 4)(0x f '. 5. 设函数f (x ) =???? ?? ? >+≤ 4,2 24,sin ππx k x x x 在x =4π处可导，则k = ( ) A . 2 2 ; B . 4 22π-; C . )4 1(22π-; D . 任意实数. 二、填空题 1. 设?? ? ??=≠-=0,00,1)(2 x x x e x f x ，则=')0(f . 2. 过曲线y = ln x 上点(1, 0)处的法线方程是 . 3. 设函数f (x ) = x (x - 1)(x - 2)…(x - n )，则=')0(f . 4. 设f (x )为可导函数，且12) ()(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则=')(0x f . 三、解答题 1. 设函数? ??>+≤=1,, 1,)(2x b ax x x x f 在x = 1处连续且可导, 求常数a 与b . 2. 设曲线3x y =上点M 处的切线平行于直线3x - y - 1 = 0, 求点M 的坐标, 并写出曲线在该点的切线与 法线方程. 3. 证明: 双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .

高三数学一轮复习——导数的概念及运算

高三数学一轮复习——导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 知 识 梳 理 1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ?→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx ＝ lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导 函数. 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第三章+第一节+导数的概念和运算、定积分和答案

第三章导数及其应用 全国卷5年考情图解高考命题规律把握 1.本章内容在高考中一般是“一大一小”． 2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与 函数的性质相结合出现在压轴小题中． 3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的 切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或 已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题．第二 问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参 数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷Ⅱ 和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考查了导数 在函数单调性中的应用，总体难度偏大. 第一节导数的概念及运算、定积分

1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x ) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．

第一节 导数的概念

第二章 导数与微分 教学内容与基本要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。 3.了解高阶导数的概念，会求简单的n 阶导数。 4.会求分段函数的一阶、二阶导数。 5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 第一节 导数的概念 ㈠．本课的基本要求 理解导数的定义、几何、物理意义及可导与连续的关系并运用，会用导数描述一些物理量 ㈡．本课的重点、难点 导数的定义为重点，其几何意义为难点 ㈢．教学内容 图1是某城市的一天从早晨7时到下午7时的气温变化曲线，时间单位为小时，其中0=t 表示早晨7时，温度单位是摄氏度（℃）。从这条曲线可以看到，从早晨7时起温度逐渐上升，到下午2时（7=t ）左右达到最高温度，然后开始逐渐下降。问题：任意时刻t 时温度关于时间的变化率。这是客观存在的，例如，我们知道，中午时分太阳直射地面，此时气温上升最快。问此时的温度变化率是多少？ 问题的解答──微分学的主要内容 如果温度是直线上升（或下降）的，则问题很容易回答。设时刻t 的温度是T ，时刻t t ≠1的温度是1T ，那么从时刻t 到时刻1t 的（平均）温度变化率是 t t T T --11它是这条直线的斜率，见图2. 但图1中的情形不同。一方面，温度变化是一条曲线，显然不能用上式来计算温度的变化率；另一方面，温度的变化率又明显与时刻t 有关。那么，如何处理这一问题呢？一个比较自然的想法是“以直代曲”。 例如考虑5=t （即中午12时）时的温度变化率。设曲线在点)3.25,5(附近的部分是一条直线或者说用直线段去近似这段曲线弧，用这条直线的斜率作为在5=t 时的温度的变化率。当然这只是一个近似值，但直观上可以想象到，随着曲线弧段取得越来越短，近似程度将越来越好，见图3。可是“直”和“曲”是一对矛盾，只要曲线弧长不是零，直线永远不能代替曲线。那么，究竟能不能得到准确值呢？这就是微分学的主要内容。温度在某个时刻的变化率，应该只与该时刻附爱的温度有关，这是一个局部性质的问题，大家可以体会到“微分”即“细细地分”的涵义。 问题的提法是：在点)3.25,5(处寻找一条直线l ，它与曲线有相当好的“接触”，它的斜率正

导数的概念、几何意义及其运算

导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -

高数-导数的概念、定义及求法

导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数， ，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数 在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函 数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为 在x 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数

处存在导数简称函数 在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 的导函数。 注：导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限 存在，我们就称它为函数 处的左导数。若极限 在x=x 存在，我们就称它为函数 在x=x 处的右导数。 注：函数 在x 处的左右导数存在且相等是函数

在x 处的可导的充分必要条件 函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： 。其中u、v为可导函数。 例题：已知 ，求 解答： 例题：已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：已知

14导数的定义及导数的计算

第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一．知识要点： 1.导数的定义：割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??，当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率：0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数，导数记为 ()f x '，则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义：()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即：0()l k f x '=. 4.常见导数公式：0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则： （1）.[]()()()()f x g x f x g x '''±=± （2）[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? （3）2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导：(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设，则()().y f u u x '''=? 二．考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 （1）2 348y x x =-+ （2）1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0

导数的概念及运算

导数概念及其意义 自主梳理 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－ y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________________＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即______________________________． (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________．导函数y ＝f ′(x )的值域即为_切线斜率的取值范围． 3．函数f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作____________． 4．基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝______ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝______ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝__________ F (x )＝cos x f ′(x )＝____________ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝____________(a >0，a ≠1) f (x )＝e x f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝__________(a >0， a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝__________ 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )g (x )]′＝______________； (3)????f (x )g (x )′＝______________ [g (x )≠0]．

15导数的概念及计算

导数的概念及计算 一、知识概述 导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛使用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入，展现了从平均变化率到瞬时变化率的过程，指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义．并借助函数图象，运用观察和直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系．导数的计算主要包括两个方面，首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，关键在于使用这些公式和法则求简单函数的导数． 二、重难点知识归纳 1．变化率和导数 (1)平均变化率 通常把式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率． 令，， 则平均变化率可表示为 (2)导数的概念 一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 则称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数(derivative)，记作或，即

当x变化时，便是x的一个函数，则称它为f(x)的导函数(derivative funtion)（简称导数），记作或，则． (3)注意事项： 弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别和联系，可以从以下几个方面来认识． ①函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量和自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． ②导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，根据函数的定义，在某一区间内就构成了一个新函数，即导数． ③函数y=f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即 ＝．这也是求函数在x=x0处的导数的方法之一． (4)导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率k，即． 2．导数的计算 (1)基本初等函数的导数公式 ①若f(x)=c，则； ②若，则； ③若f(x)sinx，则；

第一节 导数定义 学生版

导数定义 一、基础知识 1．导数的概念 (1)函数()y f x =在0x x = 处的导数：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率 ()()000 0lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?=?为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作 ()0f x '或0y x x '=，即()()()0000 0lim lim x x f x x f x y f x x x ?→?→+?'== 函数的导数()f x '反映了函数()f x 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小()f x '反映了变化的快慢，()f x '越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数()y f x =在0x x = 处的导数()0f x '的几何意义是在曲线 ()y f x =上点()00,P x y ?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导 数)．相应地，切线方程为()()000y y f x x x '?=?． ? 曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线是指P 为切点，斜率为()0k f x '=的切线， 是唯一的一条切线. (3)函数()f x 的导函数：称函数()()()0 lim x f x x f x f x x ?→+?'=为()f x 的导函数． (4)()f x '是一个函数，()0f x '是函数在0x 处的函数值(常数)， ()00f x ''=???? . 2．基本初等函数的导数公式

3.导数的运算法则 (1) ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； (2) ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=±????； (3)()()()()()() ()()()2 0f x f x g x f x g x g x g x g x '??''?=≠???????? 4．复合函数的导数 复合函数()() y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二、常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1) 211x x ' ??=? ???； (2) ()1 ln x x '=； (3) ()()()()()210f x f x f x f x '??'=?≠????????； (4) ()()()()af x bg x af x bg x '''±=±????． 三、课堂练习 1.导数的定义和运算 1.定义 例1．设函数2()f x x x =+，则0 (1)(1) lim (x f x f x →+?= ) A ．6? B ．3? C ．3 D ．6 变式1．已知函数()f x 在0x x =处可导，若000 (2)() lim 1x f x x f x x →+?=，则0()(f x '= ) A ．2 B ．1 C ． 12 D ．0 变式2．在函数2y x =图象上取一点(1,1)及附近一点(1+△x ，1+△)y ，则 y x 为( )