新人教A版版高考数学一轮复习第六章数列数列的综合应用教案文
等差数列与等比数列的综合问题（师生共研）
（２0１8·高考北京卷）设{a n}是等差数列，且a１＝ln ２，a２＋a３＝５ln ２．（１）求{a n}的通项公式；
（２）求e a１＋e a２＋…＋e a n.
【解】（１）设{a n}的公差为d.
因为a２＋a３＝５ln ２，
所以２a１＋３d＝５ln ２．
又a１＝ln ２，所以d＝ln ２．
所以a n＝a１＋（n—１）d＝n ln ２．
（２）因为e a１＝e ln ２＝２，错误!＝e a n—a n—１＝e ln ２＝２，
所以{e a n}是首项为２，公比为２的等比数列．
所以e a１＋e a２＋…＋e a n＝２×错误!＝２（２n—１）＝２n＋１—２．
错误!
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
（１）分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差（公比）等，确定解题的顺序．
（２）注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于１的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
[提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．（２0２0·吉林第一次调研测试）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a２＝３，a n＋１
＝２a n＋１．
（１）证明：{a n＋１}为等比数列；
（２）求{a n}的通项公式，并判断n，a n，S n是否成等差数列？说明理由．
解：（１）证明：因为a２＝３，a２＝２a１＋１，所以a１＝１，
因为a n＋１＝２a n＋１，所以a n＋１＋１＝２（a n＋１），
所以{a n＋１}是首项为２，公比为２的等比数列．
（２）由（１）知，a n＋１＝２n，所以a n＝２n—１，
所以S n＝错误!—n＝２n＋１—n—２，
所以n＋S n—２a n＝n＋２n＋１—n—２—２（２n—１）＝0，
所以n＋S n＝２a n，即n，a n，S n成等差数列．
数列的实际应用与数学文化（师生共研）
（２0２0·重庆八中４月模拟）某地区人口总数为４５万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从开始到２0２8年，每年人口总数比上一年增加0．５万人，从２0２9年开始到２0３8年，每年人口总数为上一年的99%.
（１）求实施“二孩”政策后第n年的人口总数a n（单位：万人）的表达式（注：为第一年）；
（２）若“二孩”政策实施后的到２0３8年人口平均值超过４9万，则需调整政策，否则继续实施，问到２0３8年结束后是否需要调整政策？（参考数据：0．99１0≈0．9）
【解】（１）由题意知，当１≤n≤１0时，数列{a n}是首项为４５．５，公差为0．５的等差数列，可得a n＝４５．５＋0．５×（n—１）＝0．５n＋４５，则a１0＝５0；
当１１≤n≤２0时，数列{a n}是公比为0．99的等比数列，则a n＝５0×0．99n—１0.
故实施“二孩”政策后第n年的人口总数a n（单位：万人）的表达式为
a n＝错误!
（２）设S n为数列{a n}的前n项和．从到２0３8年共２0年，由等差数列及等比数列的求和公式得S
＝S１0＋（a１１＋a１２＋…＋a２0）＝４77．５＋４9５0×（１—0．99１0）≈97２．５．
２0
所以“二孩”政策实施后的到２0３8年人口平均值为错误!≈４8．6３，则错误!＜４9，
故到２0３8年结束后不需要调整政策．
错误!
数列实际应用中的常见模型
（１）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差．
（２）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．
（３）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项a n与第n＋１项a n＋１的递推关系还是前n项和S n与前n＋１项和S n＋１之间的递推关系．
１．（２0２0·广东潮州二模）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长５尺，头部１尺，重４斤，尾部１尺，重２斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为（）Ａ．6斤Ｂ．7斤
Ｃ．9斤Ｄ．１５斤
解析：选Ｄ．设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{a n}，
则有a１＝４，a５＝２，
所以a１＋a５＝6，
数列{a n}的前５项和为S５＝５×错误!＝５×３＝１５，即该金箠共重１５斤．故选Ｄ．
２．１979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：５只猴子分一堆桃子，怎么也不
能分成５等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里１只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成５等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第２只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成５等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的３只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？
解：假如我们设最初有a１个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为a２，a３，a４，a５，a6，得到一个数列{a n}，依题意，可知数列的递推公式：a n＋１＝a n—错误!（a n—１）—１，
即a n＋１＝错误!（a n—１），
整理变形，得a n＋１＋４＝错误!（a n＋４）．
故{a n＋４}是以错误!为公比的等比数列，
所以a6＋４＝（a１＋４）错误!错误!，
欲使（a6＋４）∈N*，应有a１＋４＝５５m（m∈N*），
故最初至少有桃子a１＝５５—４＝３１２１个，从而最后至少剩下a6＝４５—４＝１0２0个．
数列与函数、不等式的综合问题（师生共研）
设函数f（x）＝错误!＋错误!，正项数列{a n}满足a１＝１，a n＝f错误!，n∈N*，且n≥２．（１）求数列{a n}的通项公式；
（２）对n∈N*，求证：错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!<２．
【解】（１）由a n＝f错误!，
所以a n＝错误!＋a n—１，n∈N*，且n≥２，
所以数列{a n}是以１为首项，以错误!为公差的等差数列，
所以a n＝a１＋（n—１）d＝１＋错误!（n—１）＝错误!.
（２）证明：由（１）可知
错误!＝错误!＝４错误!，
S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!
＝４[错误!＋错误!＋错误!…＋（错误!—错误!）]
＝４错误!
＝２—错误!<２，得证．
错误!
数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略
（１）数列与函数的交汇问题
１已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
２已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．（２）数列与不等式的交汇问题
１函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；
２放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；
３比较方法：作差或者作商比较．
１．（２0２0·湖南岳阳一模）曲线y＝错误!x＋ln x（n∈N*）在x＝错误!处的切线斜率为a n，则数列错误!的前n项的和为．
解析：对y＝错误!x＋ln x（n∈N*）求导，可得y′＝错误!＋错误!，由曲线y＝错误!x＋ln x（n∈N*）在x＝错误!处的切线斜率为a n，可得a n＝错误!＋错误!＝n.所以错误!＝错误!＝错误!—错误!，则数列错误!的前n项的和为１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!.
答案：错误!
２．（２0２0·浙江杭州４月模拟）已知数列{a n}，{b n}满足a１＝１，且a n，a n＋１是函数f（x）＝x２—b n x＋２n的两个零点，则a５＝，b１0＝．
解析：因为a n，a n＋１是函数f（x）＝x２—b n x＋２n的两个零点，所以a n，a n＋１是方程x２—b n x＋２n＝0的两个根，
根据根与系数的关系，可得a n·a n＋１＝２n，a n＋a n＋１＝b n，
由a n·a n＋１＝２n，可得a n＋１·a n＋２＝２n＋１，
两式相除可得错误!＝２，
所以a１，a３，a５，…成公比为２的等比数列，a２，a４，a6，…成公比为２的等比数列，又由a１＝１，得a２＝２，所以a５＝１×２２＝４，a１0＝２×２４＝３２，a１１＝１×２５＝３２，
所以b１0＝a１0＋a１１＝３２＋３２＝6４．
答案：４6４
[基础题组练]
１．（２0２0·开封市定位考试）等比数列{a n}的前n项和为S n，若a３＋４S２＝0，则公比q＝（）Ａ．—１Ｂ．１
Ｃ．—２Ｄ．２
解析：选Ｃ．法一：因为a３＋４S２＝0，所以a１q２＋４a１＋４a１q＝0，因为a１≠0，所以q２＋４q＋４＝0，所以q＝—２，故选Ｃ．
法二：因为a３＋４S２＝0，所以a２q＋错误!＋４a２＝0，因为a２≠0，所以q＋错误!＋４＝0，即（q＋２）２＝0，所以q＝—２，故选Ｃ．
２．（２0２0·宁夏银川一中一模）已知等比数列{a n}中，有a３a１１＝４a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S１３＝（）
Ａ．２6 Ｂ．５２
Ｃ．78 Ｄ．１0４
解析：选Ｂ．设等比数列{a n}的公比为q，因为a３a１１＝４a7，所以a错误!＝４a7≠0，解得a7＝４，
因为数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，
所以S１３＝错误!＝１３b7＝１３a7＝５２．故选Ｂ．
３．（２0２0·吉林长春５月联考）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＞0，a6和a8是函数f （x）＝错误!ln x＋错误!x２—8x的极值点，则S8＝（）
Ａ．—３8 Ｂ．３8
Ｃ．—１7 Ｄ．１7
解析：选Ａ．因为f（x）＝错误!ln x＋错误!x２—8x，所以f′（x）＝错误!＋x—8＝错误!＝错误!，令f′（x）＝0，解得x＝错误!或x＝错误!.
又a6和a8是函数f（x）的极值点，且公差d＞0，
所以a6＝错误!，a8＝错误!，所以错误!解得错误!
所以S8＝8a１＋错误!×d＝—３8，故选Ａ．
４．设y＝f（x）是一次函数，若f（0）＝１，且f（１），f（４），f（１３）成等比数列，则f（２）＋f（４）＋…＋f（２n）等于（）
A．n（２n＋３）Ｂ．n（n＋４）
Ｃ．２n（２n＋３）Ｄ．２n（n＋４）
解析：选Ａ．由题意可设f（x）＝kx＋１（k≠0），则（４k＋１）２＝（k＋１）×（１３k＋１），解得k＝２，f（２）＋f（４）＋…＋f（２n）＝（２×２＋１）＋（２×４＋１）＋…＋（２×２n＋１）＝n（２n＋３）．
５．（２0２0·山东临沂三模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：１，１，２，３，５，8，１３，２１，３４，５５，…即F（１）＝F（２）＝１，F（n）＝F（n—１）＋F（n—２）（n≥３，n∈N*）．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被２除后的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前２0１9项的和为（）
Ａ．67２Ｂ．67３
Ｃ．１３４6 Ｄ．２0１9
解析：选Ｃ．由于{a n}是数列１，１，２，３，５，8，１３，２１，３４，５５，…各项除以２的余数，
故{a n}为１，１，0，１，１，0，１，１，0，１，…，
所以{a n}是周期为３的周期数列，
且一个周期中的三项之和为１＋１＋0＝２．
因为２0１9＝67３×３，
所以数列{a n}的前２0１9项的和为67３×２＝１３４6．故选Ｃ．
6．（２0１9·高考北京卷）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a２＝—３，S５＝—１0，则a５＝，S n的最小值为．
解析：设等差数列{a n}的公差为d，因为错误!即错误!所以可得错误!所以a５＝a１＋４d＝0，因为S n ＝na１＋错误!d＝错误!（n２—9n），所以当n＝４或n＝５时，S n取得最小值，最小值为—１0．答案：0 —１0
7．若数列{a n}满足错误!—错误!＝0，则称{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{错误!}为“梦想数列”，且b１＋b２＋b３＝１，则b6＋b7＋b8＝．
解析：由错误!—错误!＝0可得a n＋１＝错误!a n，故{a n}是公比为错误!的等比数列，故{错误!}是公比为错误!的等比数列，则{b n}是公比为２的等比数列，b6＋b7＋b8＝（b１＋b２＋b３）２５＝３２．答案：３２
8．（２0２0·河北石家庄４月模拟）数列{a n}的前n项和为S n，定义{a n}的“优值”为H n＝错误!，现已知{a n}的“优值”H n＝２n，则S n＝．
解析：由H n＝错误!＝２n，
得a１＋２a２＋…＋２n—１a n＝n·２n，１
当n≥２时，a１＋２a２＋…＋２n—２a n—１＝（n—１）２n—１，２
由１—２得２n—１a n＝n·２n—（n—１）２n—１＝（n＋１）２n—１，即a n＝n＋１（n≥２），
当n＝１时，a１＝２也满足式子a n＝n＋１，
所以数列{a n}的通项公式为a n＝n＋１，所以S n＝错误!＝错误!.
答案：错误!
9．（２0２0·武汉市部分学校调研）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a１＝—１，b１＝１，a２＋b２＝３．
（１）若a３＋b３＝7，求{b n}的通项公式；
（２）若T３＝１３，求S n.
解：（１）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，
则a n＝—１＋（n—１）d，b n＝q n—１.
由a２＋b２＝３，得d＋q＝４，１
由a３＋b３＝7，得２d＋q２＝8，２
联立１２，解得q＝２或q＝0（舍去），因此{b n}的通项公式为b n＝２n—１.
（２）因为T３＝b１（１＋q＋q２），
所以１＋q＋q２＝１３，
解得q＝３或q＝—４，
由a２＋b２＝３得d＝４—q，
所以d＝１或d＝8．
由S n＝na１＋错误!n（n—１）d，得S n＝错误!n２—错误!n或S n＝４n２—５n.
１0．（２0２0·湖南省湘东六校联考）已知数列{a n}的前n项和S n满足错误!＝错误!＋１（n≥２，n ∈N），且a１＝１．
（１）求数列{a n}的通项公式a n；
（２）记b n＝错误!，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥错误!成立的n的最小值．
解：（１）由已知有错误!—错误!＝１（n≥２，n∈N），所以数列{错误!}为等差数列，又错误!＝错误!＝１，所以错误!＝n，即S n＝n２.
当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝n２—（n—１）２＝２n—１．
又a１＝１也满足上式，所以a n＝２n—１．
（２）由（１）知，b n＝错误!＝错误!错误!，
所以T n＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!.
由T n≥错误!得n２≥４n＋２，即（n—２）２≥6，所以n≥５，
所以n的最小值为５．
[综合题组练]
１．（２0２0·北京市石景山区３月模拟）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{a n}满足a１＝１，且a n＝错误!则解下４个环所需的最少移动次数a４为（）
Ａ．7 Ｂ．１0
Ｃ．１２Ｄ．２２
解析：选Ａ．因为数列{a n}满足a１＝１，且a n＝错误!
所以a２＝２a１—１＝２—１＝１，所以a３＝２a２＋２＝２×１＋２＝４，
所以a４＝２a３—１＝２×４—１＝7．故选Ａ．
２．已知a n＝３n（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，错误!k≥３n—6恒成立，则实数k的取值范围是．
解析：T n＝错误!＝—错误!＋错误!，
所以T n＋错误!＝错误!，
则原不等式可以转化为k≥错误!＝错误!恒成立，
令f（n）＝错误!，
当n＝１时，f（n）＝—错误!，当n＝２时，f（n）＝0，
当n＝３时，f（n）＝错误!，当n＝４时，f（n）＝错误!，即f（n）是先增后减，当n＝３时，取得最大值错误!，所以k≥错误!.
答案：k≥错误!
３．（２0１9·高考江苏卷节选）定义首项为１且公比为正数的等比数列为“M—数列”．
（１）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a２a４＝a５，a３—４a２＋４a１＝0，求证：数列{a n}为“M—数列”；
（２）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b１＝１，错误!＝错误!—错误!，其中S n为数列{b n}的前n项和．求数列{b n}的通项公式．
解：（１）证明：设等比数列{a n}的公比为q，所以a１≠0，q≠0．
由错误!得错误!
解得错误!
因此数列{a n}为“M—数列”．
（２）因为错误!＝错误!—错误!，所以b n≠0．
由b１＝１，S１＝b１，得错误!＝错误!—错误!，则b２＝２．
由错误!＝错误!—错误!，得S n＝错误!，
当n≥２时，由b n＝S n—S n—１，
得b n＝错误!—错误!，
整理得b n＋１＋b n—１＝２b n.
所以数列{b n}是首项和公差均为１的等差数列．
因此，数列{b n}的通项公式为b n＝n（n∈N*）．
４．（２0２0·湖北襄阳二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足：a１＝１，S n＋１—１＝S n＋a n，
数列{b n}为等比数列，满足b１＝４b３，b２＝错误!＜b１，n∈N*.
（１）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（２）若数列错误!的前n项和为W n，数列{b n}的前n项和为T n，试比较W n与错误!的大小．解：（１）由S n＋１—１＝S n＋a n，
可得a n＋１＝a n＋１，又a１＝１，
所以数列{a n}是首项和公差均为１的等差数列，
可得a n＝n.
因为数列{b n}为等比数列，满足b１＝４b３，b２＝错误!＜b１，n∈N*，
所以设公比为q，可得b１＝４b１q２，所以q＝±错误!，
当q＝错误!时，错误!b１＝错误!，可得b１＝错误!＞错误!.
当q＝—错误!时，—错误!b１＝错误!，得b１＝—错误!，不满足b２＜b１，舍去，
所以b n＝错误!错误!.
（２）错误!＝错误!＝错误!—错误!，
W n＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝１—错误!＝错误!＜１．
T n＝错误!＝１—错误!∈错误!，则１＜错误!≤２，故W n＜错误!.
规范答题示范（三）数列
类型一判断等差数列和等比数列
（１２分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知错误!１（１）求{a n}的通项公式；（２）求S n，并错误!２[建桥寻突破]
１看到S２＝２，S３＝—6，想到S２＝a１＋a２，S３＝a １
＋a２＋a３，利用等比数列的通项公式求解．
２看到判断S n＋１，S n，S n＋２是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用２S n＝S n＋１＋S n＋２进行证明.
[规范解答]
（１）设{a n}的首项为a１，公比为q，
由题设可得错误!２分错误!
解得q＝—２，a１＝—２．４分错误!
故{a n}的通项公式为a n＝（—２）n.6分错误!
（２）由（１）可得S n＝错误!＝—错误!＋（—１）n错误!，8分错误!
由于S n＋２＋S n＋１＝—错误!＋（—１）n错误!＝２错误!＝２S n，１１分错误!
故S n＋１，S n，S n＋２成等差数列.１２分错误![评分标准]
１列出关于首项为a１，公比为q的方程组得２分；２能够正确求出a１和q得２分，只求对一个得１分，都不正确不得分；
３正确写出数列的通项公式得２分；
４正确计算出数列的前n项和得２分；
５能够正确计算出S n＋１＋S n＋２的值得２分，得出结论２S n＝S n＋１＋S n＋２再得１分；
⑥写出结论得１分.
[解题点津]
（１）等差（或等比）数列的通项公式，前n项和公式中有五个元素a１、d（或q）、n、a n、S n，“知三求二”是等差（等比）的基本题型，通过解方程组的方法达到解题的目的．
（２）等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等．如本题采用中项法得出２S n＝S n＋１＋S n＋２.
[核心素养]
数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等比数列是高考的常见题型．本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养.
类型二求数列的前n项和
（１２分）已知{a n}为等差数列，前n[建桥寻突破]