函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0
x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法
(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数
法(逆求法)
(7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函
数法
(10)不等式法 (11)平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
① 21)(-=
x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x
x x f -++=21
1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2
1
-x 无意义,
而2≠x 时,分式21
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .
②∵3x+2<0,即x<-32
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x
-21
同时有意义,
∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2
1
x x
例2 求下列函数的定义域:
①14)(2
--=
x x f ②214
3)(2-+--=x x x x f
③=
)(x f x
11111++
④x
x x x f -+=
0)1()(
⑤3
7
3132+++-=
x x y
解:①要使函数有意义,必须:142
≥-x 即: 33≤≤-x
∴函数14)(2--=
x x f 的定义域为: [3,3-
]
②要使函数有意义,必须:??
?≠-≠-≤≥????≠-+≥--131
40
210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠? ?? ? ? ? ? ??x x x ? 2110-≠-≠≠?????x x x ∴函数的定义域为:}2 1 ,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ? ? ?≠-≠+001x x x ???<-≠?01 x x ∴定义域为:{}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ?? ???-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3 7|{-≠x x 例3 若函数a ax ax y 1 2+ -= 的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立, 01 2 ≥+ -a ax ax ∴?? ???≤≤?-=?>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[?1,1],求函数)41(+=x f y )4 1 (-?x f 的定义域解:要使函数有意义,必须: 4343454 34345 14111411≤≤-??????≤ ≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )4 1(-?x f 的定义域为:? ?????≤≤- 4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1 在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2 )的定义域。 答案:-1≤x 2≤1? x 2≤1?-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[?3,2],求函数)2(-x f 的定义域解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤ x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1] 是f(x)的定义域。 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5 -) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 练习: 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( ) A.[]1,1- B?? ? ???- 21,21 C.?? ????1,2 1 D.10,2 ?????? 已知函数()11x f x x +=-的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则 ( ) A.A B B = B.B A ∈ C.A B B = D. A B = 2、求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)(3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 + =(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略 ③ 当x>0,∴x x y 1 + ==2)1(2+- x x 2≥, 当x<0时,)1 (x x y -+ --==-2)1(2--- -x x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数x x y 1 + =的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②;]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142 ∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142 ∈+-=x x x y ; 解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R , ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,min y =-3,m ax y =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值a b a c y 4)4(2 min -=; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值a b a c y 4)4(2 max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值. ②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函 数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 练习:1、求函数y =3+√(2-3x)的值域 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为 [)+∞,3 . 2、求函数[]5,0,522 ∈+-=x x x y 的值域 解: 对称轴 []5,01∈=x [] 20,420,54 ,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x -√1-3x(x ≤1/3)的值域。 解:法一:(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数, 从而y=f(x)+g(x)= 4x -√1-3x 在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增 减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y ≥3}) 法二:换元法(下题讲) 例4 求函数x x y -+=12 的值域 解:(换元法)设t x =-1,则)0(122 ≥++-=t t t y [)(] 2,2 1,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为,时当且开口向下 ,对称轴y t t 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函 数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=√x-1 –x 的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 例5 (选)求函数x x y -+-= 53 的值域 解:(平方法)函数定义域为:[]5,3∈x [][][][] 2 ,24,21,0158,5,315 82)5()3(2222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y 例6 (选不要求)求函数21x x y -+=的值域 解:(三角换元法) 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [] [] 2 ,12 ,1)4 sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π θθθθθy 小结:(1)若题目中含有1≤a ,则可设 )0,cos (2 2 ,sin πθθπ θπ θ≤≤=≤ ≤- =a a 或设 (2)若题目中含有12 2 =+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤ (3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中2 2 π θπ < <- (5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x == 其中?? ? ??∈2,0πθ 例7 求13+--=x x y 的值域 解法一:(图象法)可化为 ?? ? ??>-≤≤---<=3,431,221,4 x x x x y 如图, 观察得值域{} 44≤≤ -y y 可得。 解法三:(选)(不等式法) 4 14114)1(134 )1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 同样可得值域 练习:1y x x =++的值域呢 ()[∞+,1)(三种方法均可) 例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域 解:(换元法)设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 [][] 8,28,3;2,13,12 1 ,2max min 2值域为时时对称轴∴====∴?= +-=y t y t t t t y 例9求函数x x y 2231+-? ? ? ??= 的值域 解:(换元法)令1)1(22 2+--=+-=x x x t ,则)1(31≤?? ? ??=t y t 由指数函数的单调性知,原函数的值域为?? ????+∞,31 例10 求函数 )0(2 ≤=x y x 的值域 解:(图象法)如图,值域为(]1,0 例11 求函数2 1 +-= x x y 的值域 解法一:(逆求法){}1121,≠-+= y y y y x x 原函数值域为观察得解出 解法二:(分离常数法)由12 3 1232≠+-=+-+= x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结:已知分式函数)0(≠++=c d cx b ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内, 值域为??? ???≠ c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) ,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d cx c ad b c a y ≠+- + =,用复合函数法来求值域。 例12 求函数1 33+=x x y 的值域 解法一:(逆求法)10013<<∴>-= y y y x ()1,0原函数的值域为∴ 小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。 解法二:(换元法)设t x =+13 , 则()11 11 31113113>-=+-=+-+= t t y x x x 101 1 01<<∴<<∴>y t t ()01原函数的值域为∴ 练习:y =121 2+-x x ;(y ∈(-1,1)). 例13 函数1 1 22+-=x x y 的值域 解法一:(逆求法)110112 <≤-∴≥-+= y y y x [)1,1-∴原函数的值域为 解法二:(换元法)设t x =+12 ,则 原函数值域即得∴<≤-∴≤< ∴≥1 122 01y t t 解法三:(判别式法)原函数可化为 010)1(2 =++?+-y x x y 1) 1=y 时 不成立 2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 11<≤-∴y 综合1)、2)值域}11|{<≤-y y 解法四:(三角换元法)∴∈R x 设?? ? ??-∈=2,2tan ππθθx ,则 ()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12 2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ θ y ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数3 425 2 +-= x x y 的值域 解法一: (判别式法)化为0)53(422 =-+-y yx yx 1)0=y 时,不成立 2)0≠y 时,0≥?得 500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 50≤<∴y 综合1)、2)值域}50|{≤ 0 1 1 t 1 t 2 0 1 t 2 t 5 1 t t 5 解法二:(复合函数法)令t x x =+-3422 ,则t y 5 = 11)1(22≥+-=x t 50≤<∴y 所以,值域}50|{≤ 例15 函数11 ++ =x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 01)1(2 =+-+x y x (][)∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,1 30 4)1(02 原函数值域为 或y y y 解法二:(不等式法)1)当0>x 时,321 ≥∴≥+y x x 2) 0 综合1)2)知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31, 例16 (选) 求函数)1(1 2 22->+++= x x x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 02)2(2 =-+-+y x y x [)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212 20 )2(4)2(02原函数值域为 舍去 或y x y y y y 解法二:(不等式法)原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2 例17 (选) 求函数)22(1 2 22≤≤-+++= x x x x y 的值域 解:(换元法)令t x =+1 。。 小结:已知分式函数)0(2 22 2≠+++++=d a f ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 (选))(二次式 一次式 或一次式二次式== y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最 大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+ =x x a x y 的单调性去解。 练习: 1 、)0(91 2 2≠++ =x x x y ; 解:∵x ≠0,11)1(912 2 2+-=++ =x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷:119291 22=+≥++=x x y (或利用对勾函数图像法) 2 、3 425 2 +-=x x y 0 3 、求函数的值域 ①x x y -+=2; ②242x x y --= 解:①令x u -= 2≥0,则22u x -=, 原式可化为4 9)2 1 (22 2 + --=+-=u u u y , ②解:令 t=4x?2 x ≥0 得 0≤x ≤4 在此区间内 (4x?2 x )m ax =4 ,(4x?2 x )m in =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式:?? ? ??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象(下图),由图象可知, 函数的值域是{y|y ≥3}. 解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 如图 5、求函数x x y -+=142的值域 解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1?2 t 代入得 t t t f y 4)1(2)(2 +-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 6、(选)求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域 方法一:去分母得 (y?1)2 x +(y+5)x?6y?6=0 ① 当 y?1时 ∵x?R ∴△=(y+5)2+4(y?1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2 ≥0 检验 51-=y (有一个根时需验证)时 2) 5 6 (2551=-?+- -=x (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x?2且 x?3} ∴5 1-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y?1 综上所述,函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y?1且 y?51-} 方法二:把已知函数化为函数3 6 133)3)(2()3)(2(-- =+-=+---= x x x x x x x y (x?2) 由此可得 y?1,∵ x=2时51-=y 即 5 1 -≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y?1且 y?5 1 -} 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 函数定义域总结 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 定义域的求法 一、常规型 注意根号,分式,对数,幂函数,正切 2、常见的定义域 ①当f(x)是整式时,定义域为R 。 ②当f(x)是分式时,定义域为使分母不为零的x 的取值的集合。 ③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x 的取值的集合。 ④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合。 ⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x 的取值的集合。 ⑥正切函数y=tanx, , y=x x 1 x 1 x a log tan x 21-x 32 -x x 0 1求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。 复合函数定义域的求法 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为 所求的定义域。 测试:设函数()f x 的定义域为[]0,1,求函数()()(0)y f x a f x a a =++->的定义域。 (2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤, 求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 测试:已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-,求函数f(x)的定义域。 (2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(t(x))的定义域。 其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤, 求g(x)的值域,也就是t(x)的值域,求出t(x)的定义域 测试、已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-,求函数(21)y f x =-的定义域。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例1 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 例2 已知函数3 kx 4kx 7kx )x (f 2+++= 的定义域是R ,求实数k 的取值范围。 四 参数型 对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 例6 已知)x (f 的定义域为[0,1],求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。 解:因为)x (f 的定义域为[0,1],即1x 0≤≤。故函数)x (F 的定义域为下列不等式 组的解集: ???≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即???+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a 即两个区间[-a ,1-a ]与[a ,1+a ]的交集,比较两个区间左、右端点,知 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解:要使函数有意义,则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ,k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分,得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4, ] (0,] 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域。 (2)其解法是:已知f (x)的定义域是]a , b ]求f [g(x)]的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为[—2, 2],求f (x 2 3 x 3,故函数的定义域是{x | x (2)已知f [g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知f [g(x)]的定义域是]a , b ],求f(x)定义域的方法是:由 a x b ,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为]1,2],求f(x)的定义域。 解:因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是{x 13 x 5}。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立,由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解:令 2 x 2 1 2 ,得 1 x 2 3,即 0 x 2 3,因此0 | x | 3,从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 {x |x 函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号整体的取值围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用,从而围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件 a≤g(x)≤b的x的取值围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a≤x≤b 时,g(x)的取值围。 定义域是X的取值围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的围相同。 ():f(x),f[g(x)] 题型一已知的定义域求的定义域 () ():f g x,f(x) ?? ?? 题型二已知的定义域求的定义域 ()[] ():f g x,f h(x) ?? ?? 题型三已知的定义域求的定义域 () []()[])x(h f x f x g f→ → ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1、求函数8315 22-+--=x x x y 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足?????≠-+≥--0 8301522x x x 即???-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能用常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域,一般有两种情况。 (一)已知)(x f 的定义域,求[])(x g f 的定义域。 其解法是:已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(,即为所求的定义域。 例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-,求)1(2-x f 的定义域。 解:22≤≤-x ,2122≤-≤-∴x ,解得33≤≤- x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x (二)已知[])(x g f 的定义域,求)(x f 的定义域。 其解法是:已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是:b x a ≤≤,求)(x g 的值域,即所求)(x f 的定义域。 例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[,求)(x f 的定义域。 解:21≤≤x ,422≤≤∴x ,5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。 、函数定义域、值域求法总结 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时,g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→ (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3- ] 高一的函数定义域的求法 . 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)的定义域为(1,2),求f (2x+5)的定义域: 已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)的定义域为(1,2),求f(x)的定义域: 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)=x+1,求f(2x+5)的解析式:已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)=x+1,求f(x)的解析式: 已知函数y=f(x+1)定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是 若函数y=f(x)的定义域为[-2,2],则求函数y=f(x+1)+f (x-1)的定义域. 若函数y=f(x)的定义域为〔-1,1〕,求函数y=f(x+1/4)·f(x-1/4)的定义域 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少? 若函数y=f[x]的定义域是【-2,4】,则函数g[x]=f[x]+f[-x]的定义域是多少? 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少? 1、这类题,就是把g(x)看成一个整体y,f(x)和f(y)的定义域是一样的,得出y的围后再求解x的定义域。 f(x)的定义域是(1,2),令y=2x+5,则f(2x+5)=f(y) ,y的定义域是(1,2),所以1<2x+5<2 1<2x+5<2 -2 函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+020 1x x ? ???≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。 求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f , []=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2+-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知:x x x f 2)1(+=+,求f(x); 解:令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知:11)11(2-=+x x f ,求)(x f 。 2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++ 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法. 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f . 解:设b ax x f +=)()0(≠a ,则 ∴???=+=342b ab a , ∴??????=-===3 212b a b a 或 . 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 . 二、 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式 容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法.但要注意所求函数()f x 的定义域不是原 复合函数的定义域,而是()g x 的值域. 例2 已知221)1 (x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式. 解:2)1()1(2-+=+x x x x f Θ, 21≥+x x , 2)(2-=∴x x f )2(≥x . 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.与配 凑法一样,要注意所换元的定义域的变化. 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f . 解:令1+=x t ,则1≥t ,2)1(-=t x . Q x x x f 2)1(+=+, ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x , x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x . 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知:函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式. 解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点. 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ,解得:???-='--='y y x x 64 , Θ点),(y x M '''在)(x g y =上 , x x y '+'='∴2. 把???-='--='y y x x 64代入得:)4()4(62--+--=-x x y . 整理得672---=x x y , ∴67)(2---=x x x g . 五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造 方程组,通过解方程组求得函数解析式. 例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f . 解 Θx x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1,得:x x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组,得:x x x f 323)(--=. 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式. 例7 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立, 求)(x f . 求函数定义域和值域方法总结 一、求函数定义域方法总结 (一)简单函数定义域的类型及方法【必会!!!】 (1)f(x)为整数型函数时,定义域为R. 例如d cx bx ax x f c bx ax x f b kx x f +++=++=+=232)(,)(,)(定义域均为R. (2)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合. 例如-4)(x 41)( ,1)(x 1)(≠+=≠= x x f x x f (3)f(x)为二次根式(偶次根式)型函数时,定义域为使被开方数大于等于零的实数的集合. 例如0)x -2(x 2)( 0),(x )(2≥≤+=≥=或x x x f x x f (4)f(x)为对数型函数时,定义域为使真数大于零的实数集合. 例如-1)(x )1(log )( 0),(x log )(2>+=>=x x f x x f a (5)正切函数)k ,k 2(x tan Z x y ∈+≠=ππ 例如Z)k ,2 k 4(x )2tan()(∈+≠=ππ x x f (6)00没有意义. 例如)2 1(x ,)12()(0≠-=x x f (二)对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出的x 的范围; 例如:已知)(x f 的定义域为]5,1[,则)23(+x f 的定义域为]1,3 1[-. (2)若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈上的值域. 例如:已知)3(-x f 的定义域为]7,0[,则)(x f 的定义域为]4,3[-. 二、求函数值域方法总结 (一)常见函数的值域(结合图像)【必会!!!】 (1)一次函数)0( ≠+=k b kx y 的值域为R . (2)二次函数)0( 2≠++=a c bx ax y 的值域为: 当0>a 时,值域为}44|{2a b ac y y -≥;当0=a a a y x 且的值域为}0|{>y y . (5)对数函数)10( log ≠>=a a x y a 且的值域为R . (6)三角函数: 函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 (6)0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈ ,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a << 确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下,供参考。 1.直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 函 数 值 域 求 法 1.重难点归纳. (1)求函数的值域. 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域. (2)函数的综合性题目. 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强. (3)运用函数的值域解决实际问题. 2.值域的概念和常见函数的值域. 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域: 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R . 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? , 当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?. 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R . 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R . 3.求函数值域(最值)的常用方法. 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域. 2、求函数 y =的值域. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域. 2、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求xy 的最大值。 三、反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型) 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域. 2、求函数224 1 x y x +=-的值域. 四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断) 1、求函数3 27 4222++-+=x x x x y 的值域. 解:由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式,因此可以考虑使用判别式法,将原 函数变形为:7423222-+=++x x y xy y x 整理得:073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时,上式可以看成关于x 的二次方程,该方程的x 范围应该满足 032)(2≠++=x x x f ,即R x ∈此时方程有实根即△0≥, △[2 92(2)]4(2)(37)0[,2]2 y y y y =---+≥?∈-. 注意:判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是2 9 ,2- ==y y )代回方程检验. 将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程,所以)2,2 9 [-∈y . 函数定义域的类型及求法 、已知解析式型(所有同学一定要会的) 即给出函数的解析式的定义域求袪,苴解袪是由解析式有意义列出关于自变量的不等 式或不等式组■解此不等式(或组)即得原函数的定义域° Jx 1 - 2x - 1^ 例求函数p 二 _ 的定文域. I - 15 >0 f Y > 5或丫 < -3 解*要使函数有意5C 则必须满足] ' - 即J ”工+引―8工0 [工疋5且工工―11 解得r > §或斗< 且里工一11 即口数的定义域为{工r > 5或藍丈-3且工上-11 } o 二、含参问题(很重要) 例乳已知函数$ = J 沁亍一6沁一澈十8的定义境为E 求实数战的取值范围° 分析;函数的定文域为R ,表明他:-6林亠用十S 乙0 ,使一切工E R 都成立,由厂 项的系數是刖,所以应分刪=0或旳黑0进行讨论d 解.讨论. ① 当也二0时,函数的定义域为R ; ② 当用=0时,mx ■ - 6)KX + M ? -F X > 0杲二次不等式,其对一切实数X 都成立的充 综上可知;0 £ m 玉1 ° 三、抽象函数(复合函数)的定义域 1已知f(x)的定义域,求f g(x)的定义域 其解法是:若f (x)的定义域为a < x < b ,则在f g(x)中,a < g(x) < b ,从中解得x 的取值范 要条件是. 围即为f g(x)的定义域. 例1 已知函数f(x)的定义域为1,,求f(3x 5)的定义域. 分析:该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f (u)是同一个函数,因此这里是已知 1 < u < 5,即K 3x 5 < 5,求x的取值范围. 4 10 解:Q f(x)的定义域为1,, 1 < 3x 5 < 5,4< x < 10. 3 3 故函数f(3x 5)的定义域为-,10. 3 3 2、已知f g(x)的定义域,求f (x)的定义域 其解法是:若f g(x)的定义域为m < x< n,则由m< x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义域. 2 例2已知函数f(x 2x 2)的定义域为0,3,求函数f(x)的定义域. 分析:令u x2 2x 2,则f(x2 2x 2) f(u), 由于f(u)与f(x)是同一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域. 解:由0 < x < 3,得 1 < x2 2x 2 < 5 . 令u x2 2x 2,贝y f (x2 2x 2) f (u),1< u < 5 . 故f (x)的定义域为1,. 3,已知f g(x)的定义域,求f[h(x)]的定义域 其解法是:若f g(x)的定义域为m < x < n,则由m < x < n确定的g(x)的取值范围即为h(x) 的取值范围,由h(x)的取值范围即可求出f[h(x)]的定义域x的取值范围。 例2 已知函数f(x 1)的定义域为1,,求f(3x 5)的定义域. 分析:令u x 1,t 3x 5,则f(x 1) f(u), f(3x 5) f(t), f (u), f (t)表示的是同一函数,故u的取值范围与t相同。 解:Q f(x)的定义域为1,,即K x < 5 0 < x 1 < 6。 <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见要是满足有意义的情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。 (2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形 函数值域求法小结 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得: )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析:首先由1x +≥0,得1x ++1≥1,然后在求其倒数即得答案。 解: 1x +≥0∴1x ++1≥1,∴0< 1 11 x ++≤1,∴函数的值域为(0,1]. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设:)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:][2,2-∈y 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答:此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数,对u 配方可得: 1)2(2+--=x u ,得到函数u 的最大值1=u ,再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为:],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得: 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易 配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式,再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。 f(x -1x )=x 2+1x 2,函数f(x)的解析式 换元法就是先设t x g =)(,从中解出x (即用t 表示x ),再把x (关于t 的式子)直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ,最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ,这种代换遵循了同一函数的原则。 f(x +1)=x 2 +x,函数f(x)的解析式: 复合函数的定义域 复合函数的定义 一般地:若)(u f y =,又)(x g u =,且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空,则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数,其中)(u f y =叫外层函数,)(x g u =叫内层函数,简言之:复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+; 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x , 22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问:函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同?为什么?(不相同;原因:定义域是 求x 的取值范围,这里x 和5x +所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了。)说明: ⑴复合函数的定义域,就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量,u 称为中间变量,u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ,求))(()),((x f g x g f 复合函数的定义域求法 .已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域总结
函数定义域值域求法十一种
函数定义域、值域求法总结
函数定义域几种类型及其求法
函数定义域值域求法总结
高中一年级的函数定义域的求法
函数定义域、值域求法的总结
函数定义域值域求法(全十一种)
求函数的定义域与值域的常用方法完整版
2017最新函数解析式求法和值域求法总结及练习题
(推荐)高三文科数学一轮复习之求函数定义域和值域方法总结
定义域和值域的求法经典
函数值域求法总结及练习题
(完整版)1求函数定义域类型几方法(word版)
求函数定义域和值域方法和典型题归纳
高中函数值域求法小结
(完整版)几种复合函数定义域的求法