文数高考真题平面向量试卷二
平面向量( 二 )
一、 选择题
1．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( )
A ．(－2，1)
B ．(2，－1)
C ．(2，0)
D ．(4，3)
2．[2014·全国卷] 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
3．[2014·漳州五校期末] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |等于( )
A ．1 B. 3 C. 5 D ．3
4．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，
则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )
A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →
5．[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )
A ．若θ确定，则|a |唯一确定
B ．若θ确定，则|b |唯一确定
C ．若|a |确定，则θ唯一确定
D ．若|b |确定，则θ唯一确定
6．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，
则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )
A ．[4，6]
B ．[19－1，19＋1]
C ．[23，27]
D ．[7－1，7＋1] 二、 填空题
7．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13
.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________． 8．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．
9．[2014·长沙一中月考] 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ， 则n －m ＝____________．
10．[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，
AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．
11．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，
DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．
12．[2014·温州十校联合体期末] 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1.若函
数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32
，则|CO →|的最小值为____________． 三、 计算题
1．[2014·常德期末] 已知向量a ＝cos ????2x －π3，cos ????π4＋x ，b ＝1，－2sin ????π4＋x ，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若A 为等腰三角形ABC 的一个底角，求f (A )的取值范围．
平面向量( 二 )答案
一、 选择题
1．B [解析] b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．
2．B [解析] 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，
所以(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 60°－|b |2＝0.
3．C [解析] 由已知得|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉．又|a |＝1，|b |＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，
则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.
4．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，
即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.
在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →.
在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →，
所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.
5．B [解析] |b ＋t a |≥1，则a 2t 2＋2|a ||b |t cos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，
故最小值为4a 2b 2－4（|a ||b |cos θ）2
4a 2＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b |sin θ＝1. 若|b |确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b |唯一确定．故选B.
6．D [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，
所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，
所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2
＝8＋4cos α＋23sin α
＝8＋27sin(α＋φ)，
所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．
三、 填空题
7．3 [解析] 因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13
＋4×1＝9，所以|a |＝3. 8．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |
， 即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22
， 即5m ＋8＝8m ＋202
，解得m ＝2. 9.13
[解析] ∵a ＝m b ＋n c ?(3，2)＝(－m ，2m )＋(4n ，n )＝(－m ＋4n ，2m ＋n )， ∴?????2m ＋n ＝2，－m ＋4n ＝3，∴?
??m ＝59，n ＝89
，∴n －m ＝13.
10．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34
AB ， 所以AP ·BP ＝????AD →＋14AB ·????AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316
AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，
所以2＝25－316×64－12
AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 . 11．2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，
D (0，3)．设
E (x
1，y 1)， F (x 2，y 2)，由BC →＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，
可得E ????13
，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得 F ? ????1λ，3－3λ.∵AE ·AF ＝????43，－233·? ????1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1， ∴λ＝2.
12.12
[解析] 由CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，可知A ，O ，B 三点共线，所以|CO →|的最小值为AB 边上的高．
又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点，且函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，即点A 到BC 边的距离为32
， 所以∠ACB ＝120°，从而可得|CO →|的最小值为
三、 计算题
1．解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝cos2x －π3－2sin π4＋x cos π4＋x ＝cos2x －π3－sin π2＋2x ＝cos2x －π3
－cos 2x ＝cos 2x ·cos
π3＋sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin2x －π6
， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)∵A 为等腰三角形ABC 的一个底角，