函数极限的定义性质及作用

函数极限的定义性质及作用

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在?的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。

限的概念是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何上的应用.

数列极限标准定义：对数列{}n x ，若存在常数a ，对于任意0ε>，总存在正整数N ，使得当n N >时，n x a ε-<成立，那么称a 是数列{}n x 的极限。

函数极限标准定义：设函数(),f x x 大于某一正数时有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正整数X ，使得当x X >时，n x A ε-<成立，那么称A 是函数()f x 在无穷大处的极限。

设函数()f x 在0x 处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A ，对于任意

0ε>，总存在正数δ，使得当0x x δ-<时，0x x ε-<成立，那么称A 是函数

()f x 在0x 处的极限。

函数极限具有的性质：

性质 1（唯一性） 如果()lim x a

f x →存在，则必定唯一

性质 2（局部有界性） 若0

lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域内有界

性质 3（保序性） 设()()lim ,lim x a

x a

f x b f x c →→==

性质4（迫敛性）设00

lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，且在某0

0(;)U x δ'内有

()()()f x g x h x ≤≤，则0

lim ()x x h x A →=.

数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限

理论就没有微积分。

二、函数极限的计算及多种求法

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设n X {}是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε>0,总存在一个正整数N ，当n N >时,都有n X a -<ε,我们就称a 是数列

n X {}的极限.记为lim n n X a →∞

=.

例1: 按定义证明0!

1

lim =∞→n n . 解:

11112n n n n n =(-)(-)?1≤! 令1n <ε,则让n >ε

1

即可, 存在1N ε=[],当n N >时,不等式: ()()111

n 1n 21n!n n =--?≤<ε成立,

所以0!

1

lim =∞→n n

2.利用极限四则运算法则

应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n 或x 增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运

算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。

例2: 求n

n

n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<

解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限

b

b b b b a a a a a n n

n n

--=++++--=++++++111,1111212

,

原式=

1111

lim

111111lim

11n n n n a b a a b a

b b +→∞+→∞----==---- 3.利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。

例3:求{

2

1n n

+}的极限。 解: 对任意正整数n,显然有

n n n n n n 221122=≤+<, 而01→n ,02

→n ,由夹逼性定理得

01lim 2=+∞→n

n

n

4.利用两个重要极限求极限

两个重要极限是1sin lim

0=→x

x

x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1

0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形

式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。

例4：求极限x

x x x ??

?

??-++∞→11lim

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1

x

+，最后凑指数部分。

解：22

21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x

x x x =????

????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

5.利迫敛性来求极限

设00

lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==,且在某),('

0δx u o 内有()()()f x h x g x ≤≤,则

lim ()x x h x A →=

例5：求01lim x x x

-→??

????

的极限 解： 11x 1x x

??≤<-????

. 且0lim(1)1x x -→-=由迫敛性知

∴ 01lim x x x -

→??

????

做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。

6.用洛必达法则求极限

洛必达法则为：假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数()x ?和()g x 满足：1（）()x ?和()g x 的极限都是0或都是无穷大；（2）

()x ?和()g x 都可导，且()g x 的导数不为0；（3）

'()lim '()f x g x 存在（或是无穷大），则极限()

lim ()

f x

g x 也一定存在，且

等于'()lim

'()f x g x ，即()lim ()f x g x ='()

lim '()

f x

g x 。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。

例6:求20cos 1lim

x x

x -→

解: 是00

待定型

20cos 1lim x

x x -→=21

2sin lim 0=→x x x 注：运用洛比达法则应注意以下几点 1、要注意条件，也即是说，在没有化为

0,0∞

∞

时不可求导。 2、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。

7.利用定积分求极限

设函数()f x 在区间[],a b 上连续，将区间[],a b 分成n 个子区间

[](](](]00112,,,,,,,,.i a x x x x x x b ???在每个子区()1,i i x x -任取一点()i 1,2,,n i ξ=?，

作和式（见右下图），当0λ→时，(λ属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间()a,b 的定积分。要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1、定积分的概念及性质。2、定积分的换元法和分部积分法，3、变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton ）—莱布尼兹（Leibniz ）公式。要求一般理解与掌握的内容有：4、广义积分的概念与计算。

例7:求1123lim (0)p p p p

p n n p n

+→+∞+++∧+> 解: )0(321lim

1>++++++∞→p n n p p p p p n =11lim ()n p n i i n n

→+∞=∑

设p

x x f =)(,则)(x f 在[]0,1内连续,

],1[,1n

i n i n i n x i i -∈==

?ξ取 所以, p i n i

f )()(=ξ

所以原式=1

11

+=

?

p dx x p

难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。

8.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限

首先, 利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。

例8：求2

1

lim

sin x x x →∞的值 解：因为21

lim x x →∞是无穷小量，而limsin x x →∞是有界变量，所以

21

lim sin x x x

→∞还是无穷小量，即

21

lim sin 0x x x

→∞=

9.利用变量替换求极限

为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例9： 已知lim ,lim n n n n x a y b →∞

→∞

==试证11211

lim

n m n x y x y L x y ab n

-→∞+++=

证明：令

,n n n n x a y b αβ=+=

则1211

11||||||

0||0n n n n n L L M

n

n

αβ+αβ+αβ β+ββ--++<≤→时，,0

n n αβ→于是

121111211()()()()()()

lim

n n n n m n a b a b L a b x y x y L x y n n

αβαβαβ--→∞++++++++++++=

12121211

n

n

n n n L L L ab a

b

n

n

n

β+ββα+α+ααβ+αβ+αβ-+++=+++

易知当n →∞时第二、三项趋于零，现证第四项极限亦为零。事实上，因n a →∞（当n →∞时），故{}n a 有界，即0M ?>，使得||n a n N ≤M(?∈)。故

1211

11||||||

0|

|0n n n n n L L M

n

n

αβ+αβ+αβ β+ββ--++<≤→

10.利用递推公式计算或证明序列求极限

借助递推公式计算或证明序列的极限，也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯一性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质。

例10（1）设100<

（2）若c 为任意的正数。置n n cy x =于（1）的递推公式中，给出)2(1n n n cy y y -=+，假设010y c <<

，则当n →∞时，1

n y c

→ 解：（1）对任意的n, 10<

1

21n n n

x x x +=-> 推得1+

=是单调递增且有界，它的极限存在，设为x ，从递推公式)2(1n n n x x x -=+中得到

(2)x x x =-

解得1=x ，即1lim =∞

→n n x 。

（2）因为c y 100<

<且对任意的n ，[]

2

1)1(11n n cy c

y --=+，可以在n 上作归纳证明，对任意的n ，c

y n 1

0<

<。由11221=?->-=+c c cy y y n n n 知，所以序列{}∞=1n n y 是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式)2(1n n n cy y y -=+可求的其极限为

c

1

。 11.利用等价无穷小量代换来求极限

所谓等价无穷小量即()

lim

1()

x f x g x →∞

=称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

定理：设函数)(),(),(x h x g x f 在)(00

x u 内有定义，

且有)(x f )(~x g .)(0x x →

1.若lim ()()x f x g x A →∞

=则lim ()()x h x g x A →∞

=

2.若()lim

()x h x B f x →∞

=则()

lim ()

x h x B g x →∞=

证明：①()

lim ()()lim

lim ()()1()x x x g x g x h x f x h x A A f x →∞

→∞

→∞

=?=?= ②可类似证明，在此就不在详细证明了！

由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限

例11：求3

0tan sin lim

sin x x x

x →-的极限

解：由 ).cos 1(cos sin sin tan x x

x

x x -=-而)0(,~sin →x x x ；

,2

~cos 12

x x -(0)x →；33sin x x -3~x ,(0)x →.

故有23300tan sin 112lim lim sin cos 2

x x x x x x x x x →→?

-=?=

注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于0sin lim

1x x

x

→=，故有x sin ).0(,~→x x 又由于

0arctan lim

1x x

x

→=故有arctan ~x x ，(0)x →。

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除

的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有tan ~x x ，(0)x →；sin ,(0)x x x →→，而推出的

3300tan sin lim

lim 0sin sin x x x x x x

x x

→→--==则得到的结果是错误的。 小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的

简化解题。

12.利用函数的连续性求极限

利用函数的连续性求极限包括：如函数)(x f 在0x 点连续，则 0

0lim ()()

x x f x f x →=及若0

lim ()x x x a ?→=且f(u)在点a 连续，则[]0

lim ()lim ()x x x x f

x f x ??→→??=????

例7：求1cos 2

2arcsin 0

lim x

x x e

-→的极限

解：由于201cos 1lim

2arcsin 4x x x →-=及函数()4

e u

f =在4

1=

u 处连续，故 2

2

01cos 1cos 1

lim

2arcsin 2arcsin 4

lim x x

x

x x x e e

e →--→==

13.利用泰勒公式求极限

由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。 例13：求

22

4

0cos lim

x x x e x -→-24

5242

544000()

cos 112lim

lim 10()12224

(4)x x x x x x e

x x x x x n -→→-+-==--++=

解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为4

x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取(4)n =

24

5cos 10()224x x x x =-++

224

52

10()212

x x x e

x -=-++

24

52

cos 0()12

x x x e

x --=-+

因而求得24

52

4

4000()

cos 1

12lim

lim 12

x x x x x x e x x -→→-+-==- 14.利用两个准则求极限

(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数N ,当n N >时，有n n n

x y z ≤≤且

lim lim n n x x x z a →∞

→∞

==则有lim n x y a →∞

=

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和{}n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例

:14 ......n x =

+

++

求n x 的极限

解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

......n x ≥

+

=

......n x ≤+=

n x ≤≤

又因为

lim

lim

1x x →∞

→∞

==

221lim lim()0

1lim 2

n n n x x n x y y a l l ay y l -→∞

→∞

→∞=+=+>+==

（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例：15 证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,n y y y y ===??????=

证明：从这个数列构造来看

n y 显然是单调增加的。用归纳法可证。

又因为23,n y y y ??????= 所以得2

1n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。

两端除以n y 得1n n

a

y y <

+

因为1n y y ≥

则

n

a y ≤

从而11n a

y +≤

1n y ≤+

即n y 是有界的。根据定理{}n y 有极限，而且极限唯一。 令lim n x y l →∞

=则2

1lim lim()n n x x y y a -→∞

→∞=+

则2

l l a =+.因为0n y >

解方程得l =

所以1lim 2

n x y l →∞

+==

15.利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数

1

n

n μ

∞

-∑收敛，则()0n n μ→→∞运用这个方法

首先判定级数

1

n

n μ

∞

-∑收敛，然后求出它的通项的极限

例：16 求()

2

lim

!n

x n n →∞

解：设()

2

!n

n n a n =

则()()()1

2

121!lim lim 1!n n n n n n n n a

a n n ++→∞→∞+=?+????

11lim 11n

n n n →∞??=?+ ?+??

01=< 由比值判别法知

1

n

n a

∞

-∑收敛，由必要条件知()

2

lim

0!n

n n n →∞

=

16.利用单侧极限求极限

形如：

1） 求含x

a 的函数x 趋向无穷的极限，或求含1

x

a 的函数x 趋于0的极限; 2）求含取整函数的函数极限; 3）分段函数在分段点处的极限;

4）含偶次方根的函数以及arctan x 或arc tan c x 的函数，x 趋向无穷的极限. 这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

例：17 21sin ,0()1,0x x f x x

x x ?>?

=??+≤?

求()f x 在0x =的左右极限

解：01

lim sin

1n x x

→?=

01

lim sin 1n x x

-→?=

lim ()lim ()1n n f x f x +-

→→== 0

lim ()1

x f x →=