电磁感应中的电路与电荷量问题

第一讲电磁感应中的电路与电荷量问题

电磁感应往往与电路问题联系在一起，解决电磁感应中的电路问题只需要三步：

第一步：确定电源。切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，则该导体或回路就相

当于电源，利用求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向。

如果在一个电路中切割磁感线的有几个部分但又相互联系，可等效成电源的串、并联。

第二步：分析电路结构（内、外电路及外电路的串并联关系），画等效电路图。

第三步：利用电路规律求解。主要应用欧姆定律及串并联电路的基本性质等列方程求解。

感应电动势大小的计算——法拉第电磁感应定律的应用。

1、折线或曲线导体在匀强磁场中垂直磁场切割磁感线平动，产生的感应电动势：E=BLvsinθ；

2、直导体在匀强磁场中绕固定轴垂直磁场转动时的感应电动势：；

3、圆盘在匀强磁场中转动时产生的感应电动势：；

4、线圈在磁场中转动时产生的感应电动势：（θ为S与B之间的夹角）。

2、电磁感应现象中的力学问题

（1）通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力作用，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起，基本方法是：

①用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向；

②求回路中电流强度；

③分析研究导体受力情况（包含安培力，用左手定则确定其方向）；

④列动力学方程或平衡方程求解。

（2）电磁感应力学问题中，要抓好受力情况，运动情况的动态分析，导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→周而复始地循环，循环结束时，加速度等于零，导体达稳定运动状态，抓住a=0时，速度v达最大值的特点。

3、电磁感应中能量转化问题

导体切割磁感线或闭合回路中磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，机械能或其他形式能量便转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或电阻的内能，因此，电磁感应过程总是伴随着能量转化，用能量转化观点研究电磁感应问题常是导体的稳定运动（匀速直线运动或匀速转动），对应的受力特点是合外力为零，能量转化过程常常是机械能转化为内能，解决这类问题的基本方法是：

①用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向；

②画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率表达式；

③分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程。

4、电磁感应中图像问题

电磁感应现象中图像问题的分析，要抓住磁通量的变化是否均匀，从而推知感应电动势（电流）大小是否恒定。用楞次定律判断出感应电动势（或电流）的方向，从而确定其正负，以及在坐标中的范围。

另外，要正确解决图像问题，必须能根据图像的意义把图像反映的规律对应到实际过程中去，又能根据实际过程的抽象规律对应到图像中去，最终根据实际过程的物理规律进行判断。

题型一等效电源、电路问题

例1：把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下，磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a，电阻等于R，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触。当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求：

（1）流过棒的电流的大小、方向及棒两端的电压U MN。

（2）在圆环和金属棒上消耗的总热功率。

变式练习：

1、如图所示，半径为r的金属圆盘在垂直于盘面的匀强磁场B中绕O轴以角速度ω沿逆时针方向匀速转

动，则通过电阻R的电流的大小和方向是(金属圆盘的电阻不计)( )

A．由c到d，I＝Br2ω/R B．由d到c，I＝Br2ω/R

C．由c到d，I＝Br2ω/(2R) D．由d到c，I＝Br2ω/ (2R)

2、用均匀导线做成的正方形线框边长为，正方形的一半放在垂直纸面向里的匀强磁场中，如图所示。当

磁场以10 T／s的变化率增强时，线框中a、b两点间的电势差是是多少？

3、如图所示，在绝缘光滑水平面上，有一个边长为L的单砸正方形线框abcd，在外力的作用下以恒定的

速率v向右运动进入磁感应强度为B的有界匀强磁场区域．线框被全部拉入磁场的过程中线框平面保持与磁场方向垂直，线框的ab边始终平行于磁场的边界．已知线框的四个边的电阻值相等，均为R．求：

（1）在ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小；

（2）在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压；

（3）在线框被拉入磁场的整个过程中，线框中电流产生的热量．

题型二电容器所带电荷量的计算

例2：如图所示，两个电阻的阻值分别为R和2R，其余电阻不计，电容器的电容为C，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，金属棒ab、cd的长度均为l，当棒ab以速度v向左做切割磁感线运动，棒cd以速度2v向右做切割磁感线运动时，电容器所带的电荷量为多少？哪一个极板带正电？

变式练习：

1、两根光滑的长直金属导轨MN、M′N′平行置于同一水平面内，导轨间距为l，电阻不计，M、M′处接

有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为R，电容器的电容为C.长度也为l、阻值同为R的金属棒ab垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中。ab在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在ab动距离为s的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q.求

(1)ab运动速度v的大小；

(2)电容器所带的电荷量q.

2、如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在一水平面上，两导轨间距L=，电阻R=Ω，电容

C=2 mF，导轨电阻不计，整个装置处于磁感应强度B=的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．现用一在导轨平面内，且垂直于金属杆CD的外力F，沿水平方向拉杆，使之由静止开始向右运动。求：

（1）若开关S闭合，力F恒为，CD运动的最大速度；

（2）若开关S闭合，使CD以（1）问中的最大速度匀速运动，现使其突然停止并保持静止不动，当CD停止下来后，通过导体棒CD的总电量；

（3）若开关S断开，在力F作用下，CD由静止开始作加速度a=5m/s2的匀加速直线运动，请写出电压表的读数U随时间t变化的表达式．

例3：如图所示，空间存在垂直于纸面的均匀磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度为B。一半径为b、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。当内、外磁场同时由B均匀减小到零的过程中，通过导线截面的电荷量q=____________。

变式练习：

1、如图所示，矩形裸导线框abcd的长边长度为2L，短边长度为L，在两端变上均接有电阻R，其余部分

电阻不计。导线框一长边与x轴重合，左边的坐标x=0，线框内有一垂直于线框平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B．一质量为m、电阻也为R的光滑导体棒MN与短边平行且与长边接触良好．开始时导体棒静止于x=0处，从t=0时刻起，导体棒MN在沿x轴正方向的一拉力作用下，从x=0处匀加速运动到x=2L处．则导体棒MN从x=0处运动到x=2L处的过程中通过导体棒的电量为（）

A．8BL24BL22BL22BL2/R

2、如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置匀速拉出运强磁场。若第一次用

时间拉出，外力所做功为W1，通过导线截面的电量为q1；第二次用时间拉出，外力所做的功为W2，通过导线截面的电量为q2，则：（）

A．W1＜W2，q1＜q2B．W1＜W2，q1=q2 C．W1＞W2，q1=q2D．W1＞W2，q1＞q2

3、一个电阻为R的长方形线圈abcd沿顺时针所指的南北方向平放在北半球的水平桌面上，ab=L1，bc=L2，

如图所示，现突然将线圈翻转180°，使ab与dc互换位置用冲击电流计测得导线中流过的电量为Q1，然后维持ad边不动，将线圈绕ad边转动至东西方向，使之突然竖直，这次测得导线中流过的电量为Q2，试求该处地磁场的磁感应强度的大小。

第二讲 电磁感应的能量转化与守恒

一、电磁感应中的能量转化与守恒

1、电磁感应中的能量转化 （1）．在线圈的磁通量发生变化的电磁感应现象中，磁场能转化为电能，若电能是纯电阻电路，转化过来的电能将全部转化为电阻的内能。 （2）．在导线切割磁感线的电磁感应现象中，通过克服安培力做功，把机械能或其他形式的能转化为电能，克服安培力做多少功，就产生多少电能。若电路是纯电阻电路，转化过来的电能也将全部转化为电阻的内能。

2、求解电磁感应中的能量守恒问题的一般思路

（1）分析回路，分清电源和外电路。在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，其余部分相当于外电路。 （（3）根据能量守恒列方程求解。 3、电能的三种求解思路

（1）利用克服安培力做功求解；电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。 （2）利用能量守恒求解；相应的其他能量的减少等于产生的电能。 （3）利用电路特征求解；通过电路中所消耗的电能来计算。 二、反电动势

（1）定义：电动机转动时，线圈中也会产生感应电动势，这个感应电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势称为反电动势。 （2）方向：与电源电动势方向相反。

（3）作用：抵消电源电动势的一部分作用，使电路中的电流减小，从而阻碍线圈的转动。

知识点回顾

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导入

考点一：电磁感应中的能量问题

例题1.如图所示，在平行金属导轨与水平面间的倾角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B。有一质量为m、长为l的导体棒从ab位置以平行于斜面的大小为v的初速度向上运动，最远到达a′b′的位置。已知ab与a′b′之间的距离为s；导体棒电阻的阻值也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ。则（）

A．上滑过程中导体棒受到的最大安培力为B2L2v/R

B．上滑到a′b′过程中电流做功发出的热量

C．上滑到a′b′过程中安培力、滑动摩擦力和重力对导体棒做的总功为

D．上滑到a′b′过程中导体棒机械能减小量为

变式练习：

1、如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成θ角（0＜θ＜90°），其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中（）

A．运动的平均速度大小为 B．下滑位移大小为qR/BL

C．产生的焦耳热为qBLν D．受到的最大安培力大小为B2L2v/R

2、如图所示，两根足够长的光滑金属导轨MN与PQ间距为l=，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°夹角。完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒的质量均为，电阻均为R=Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B=，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，

而棒cd恰好能保持静止。取g=10m/s2，问：

（1）通过cd棒的电流I是多少，方向如何？

（2）棒ab受到的力F多大？

（3）棒cd每产生Q=的热量，力F做的功W是多少？

期中、期末、高考高频考点

3、如图所示，两根竖直固定放置的无限长光滑金属导轨，电阻不计，宽慰L，上端接有定值电阻R0，导轨上接触良好地紧贴一质量为m、有效电阻为R的金属棒MN，R=2R0。整个装置处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，金属杆MN由静止开始下落，下落距离为h时重力的功率刚好达到最大，设重力的最大功率为P。求：（1）磁感应强度B的大小。

（2）金属杆从开始下落到重力的功率刚好达到最大的过程中，电阻产生的热量。

4、如图（a）所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上。在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度为Bt的大小随时间t变化规律如图（b）所示。t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．

已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2l，在t=tx时刻（tx 未知）ab棒恰进入区域Ⅱ，重力加速度为g．

求：（1）通过cd棒电流的方向和区域I内磁场的方向；

（2）当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率；

（3）ab棒开始下滑的位置离EF的距离；

（4）ab棒开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量．

例题3.如图所示，两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，除电阻R外其余电阻不计，导轨所在平面与一匀强磁场垂直，静止时金属棒位于A处，此时弹簧的伸长量为△l．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则（）

A.释放瞬间金属棒的加速度为g

B．电阻R中电流最大时，金属棒在A处上方的某个位置

C．金属棒在最低处时弹簧的拉力一定小于2mg

D．从释放到金属棒最后静止的过程中，电阻R上产生的热量为mg△l

变式练习：

1、如图所示，在竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中，放置着一个宽度为L的金属框架，框架的右端接有电阻R。有一根质量为m，电阻忽略不计的金属棒受到外力冲击后，以速度v沿框架向左运动。已知棒与框架间的摩擦系数为μ，在整个运动过程中，通过电阻R的电量为q，求：（设框架足够长）

（1）棒运动的最大距离；

（2）电阻R上产生的热量。

考点四：利用等效电路图辅助求解

例题4.如图所示，金属框中ad、be、cf段导轨长均为L，电阻均为R，且导体abc和def的电阻均忽略不计。金属框处在一个垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场中，在外力作用下以速度v向左匀速拉出，求：

（1）金属框运动到图示位置时，各段导体中的电流强度；

（2）作用在金属框上的外力。

1、如图所示，两根足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L=1m，导轨平面与水平面夹角为α=30°，

导轨电阻不计。磁感应强度为B1=2T的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L=1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m1=2kg、电阻为R1=1。两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离和板长均为d=，定值电阻为R2=3，现闭合开关S并将金属棒由静止释放，重力加速度为g=10m/s2，试求：

（1）金属棒下滑的最大速度为多大？

（2）当金属棒下滑达到稳定状态时，整个电路消耗的电功率P为多少？

（3）当金属棒稳定下滑时，在水平放置的平行金属间加一垂直于纸面向里的匀强磁场B2=3T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一质量为m2=3×10―4kg、带电量为q=－1×10-4C的液滴以初速度v水平向左射入两板间，该液滴可视为质点。要使带电粒子能从金属板间射出，初速度v应满足什么条件？

考点五：动态问题的分析求解

例题5.如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面间的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直与导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的A、C 端连接一个阻值为R的电阻。一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。求ab 棒的最大速度。（已知金属棒ab和导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻不计）

如图所示，两条相互平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l=，在导轨的一端接有阻值为R=Ω的电阻，在x≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B= 。一质量为m = 0. lkg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v0= 2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F的共同作用下作匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s2、方向与初速度方向相反。设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好。求：

(1)电流为零时金属杆所处的位置

(2)电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向

(3)保持其他条件不变，而初速度v0取不同值，求开始时F的方向与初速度v0取值的关系