2015年考研数一真题及答案解析(完整版)

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2015年考研数学（一）试题解析

一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数

()

''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 3

【答案】（C ）

【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶

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导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.

(2)设211()23

=+-x

x

y e

x e 是二阶常系数非齐次线性

微分方程'''++=x

y ay by ce 的一个特解，则( )

(A) 3,2,1=-==-a b c

(B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c

(D)

3,2,1

===a b c

【答案】（A ）

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和

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结构来求解，也就是下面演示的解法.

【解析】由题意可知，212x

e 、1

3

x

e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程2

r

ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从

而原方程变为32x

y y y ce '''-+=，再将特解x

y xe =代入得

1

c =-.故选（A ）

(3) 若级数1∞

=∑n n a 条件收敛，则

=x 3=x 依次

为幂级数1

(1)∞

=-∑n

n

n na x 的 ( )

(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）

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【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.

【解析】因为1n n a ∞

=∑条件收敛，即2x =为幂级数

1

(1)n

n

n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1

(1)n

n

n a x ∞

=-∑的收敛半径

为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)n

n

n na x ∞

=-∑的收敛区间还是(0,2).因而

x =3x =依次为幂级数1

(1)n

n

n na x ∞

=-∑的收敛点，发散

点.故选（B ）.

(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线

y x =，y =

围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上

连续，则(),D

f x y dxdy =?? ( )

(A) ()1

3sin 214

2sin 2cos ,sin d f r r rdr

π

θπ

θ

θθθ?

?

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(B)(

)3

4

cos ,sin d f r r rdr π

π

θθθ?

(C) ()13sin 214

2sin 2cos ,sin d f r r dr

π

θπ

θ

θθθ??

(D) (

)3

4

cos ,sin d f r r dr

π

π

θθθ?

【答案】（B ） 【分析】

下的累次积分

【解析】先画出D 的图形， 所以(,)D

f x y dxdy =??3

4

(cos ,sin d f r r π

π

θθ?

故选（B ） (5) 设矩阵

21111214A a a ??

?= ?

???

，

21b d d ??

?= ?

???

，若集合{}1,2Ω=，

则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )

x

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(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D)

,a d ∈Ω∈Ω

【答案】(D) 【解析】

22111

11111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a

d a d a d a a d d ????

? ?=→-- ? ? ? ?----?

???

，

由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ） (6)设二次型()1

2

3

,,f x x x 在正交变换为=x Py 下

的标准形为2221

23

2+-y

y y ，其中()1

2

3

,,=P e e e ，若

()

132,,=-Q e e e ，则()1

2

3

,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准

形为( )

(A)

222

123

2-+y y y

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(B) 222

1232+-y y y (C) 2221232--y y y (D)

222123

2++y y y

【答案】(A)

【解析】由x Py =，故222

123

()2T

T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.

且

200010001T P AP ??

?

= ?

?-??

.

由已知可得:100001010Q P PC

??

?

== ? ?-??

故有

200()010001T T T Q AQ C P AP C ??

?

==- ?

???

所以222

123

()2T

T T f x

Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ）

(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )

(A) ()()()≤P AB P A P B (B)

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()()()

≥P AB P A P B

(C)

()()()

2

≤

P A P B P AB (D)

()()()

2

≥

P A P B P AB

【答案】(C)

【解析】由于,AB A AB B ??，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而

()()

()2

P A P B P AB +≤≤

，选(C) .

(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=????E X X Y ( )

(A) 3

- (B) 3 (C)

5

-

(D) 5

【答案】(D) 【解析】

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22[(2)](2)()()2()

E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++?-

23221225

=++?-?=，选(D) .

二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9)

20ln cos lim

_________.x x

x

→=

【答案】12

- 【分析】此题考查00

型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.

【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222

x x x x

x x x x x x →→→--===-

方法二：

2

222200001

ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2

x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====-

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(10) 2

2sin ()d ________.1cos x

x x x

π

π-

+=+?

【答案】2

π4

【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.

【解析】

22

2

02sin 2.1cos 4x x dx xdx x π

π

ππ-??+== ?+??

??

(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2

+++=x

e

xyz x x 确定，

则(0,1)

d ________.

z

=

【答案】dx -

【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令(,,)cos 2

z

F x y z e xyz x x =+++-，则

(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy

'''=+-==+

又当0,1x y ==时1

z

e

=，即0z =.

所以(0,1)

(0,1)

(0,1,0)

(0,1,0)1,

(0,1,0)(0,1,0)

y x z z F F z

z

x

F y

F ''??=-

=-=-

=''?

?，因而

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(0,1)

.

dz

dx =-

(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω

++=???

【答案】14

【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.

【解析】由轮换对称性，得

1

(23)66z

D x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy

Ω

Ω

++==?????????，

其中z

D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，

其面积为2

1(1)2

z -.所以 11232

0011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ

++==?-=-+=????????

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(13) n 阶行列式

2002120

2

___________.00220012

-=-L L M M O M M L L

【答案】1

2

2

n +-

【解析】按第一行展开得

11112002120

2

2(1)2(1)2200220

012

n n n n n D D D +----=

=+--=+-L

L L L L

221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++L 122

n +=-

(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布

(1,0;1,1,0)

N ，则{0}________.P XY Y -<=

【答案】 12

【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y

、相互独立，从而

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{0}{(1)0}{10,0}{10,0}

P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>

11111

{1}{0}{1}{0}22222

P X P Y P X P Y =><+<>=?+?=

.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分) 设函数

()ln(1)sin =+++f x x a x bx x

，3

()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是

等价无穷小，求,,a b k 的值.

【答案】,,.a b k =-=-=-11

123

【解析】法一：原式()3

ln 1sin lim 1x x a x bx x

kx

→++

+= ()()233333

0236lim

1x x x x x a x o x bx x o x kx →????+-+++-+ ? ?

????==

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()()2343

3

1236

lim

1

x a a b a x b x x x o x kx →??++-

+-+ ??

?==

即10,0,123a a

a b k +=-== 111,,23

a b k ∴=-=-=-

法二：

()3

ln 1sin lim

1x x a x bx x

kx

→+++=

2

1sin cos 1lim

13x a

b x bx x x kx

→++++==

因为分子的极限为0，则1a =-

()

2

1

2cos sin 1lim

1

6x b x bx x x kx

→--+-+==，分子的极限为0，

12

b =-

()02

2sin sin cos 13lim 16x b x b x bx x

x k

→-

---+==，13

k =- 111,,23

a b k ∴=-=-=-

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(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0

x I ∈，由线()=y f x 在

点()()0

,x f x 处的切线与直线0

x x =及x 轴所围成区域的

面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.

【答案】f x x

=

-8

()4.

【解析】设()f x 在点()()0

,x f x 处的切线方程为：()()()0

,y f x f x x x '-=-

令0y =，得到()()

0f x x x f x

=-+'， 故由题意，()()0

014

2

f x x

x ?-=，即()()

()

0142f x f x f x

?='，可以转化为一阶微分方程，

即

2

8

y y '=

，可分离变量得到通解为：11

8

x C y =-+， 已知()02y =，得到12

C =，因此111

82x y =-+；

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即()84f x x =-+. (17)(本题满分10分)

已知函数(),=++f x y x y xy ，曲线C ：

223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线

C 上的最大方向

导数.

【答案】3

【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.

()()',1,',1x y f x y y f x y x

=+=+，

故

(){},1,1gradf x y y x =++

此题目转化为对函数

(),g x y =

在约

束条件2

2:3

C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问

题.

为了计算简单，可以转化为对

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()()

2

2

(,)11d x y y x =+++在约束条件2

2:3

C x

y xy ++=下的最大

值.

构造函数：()()

()()

2

2

22,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-

()()()()22

2120

212030

x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'?=+++=?

'=+++=??'=++-=?，得到()()()()

12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----.

()()()()12348,0,9,9

d M d M d M d M ====

所以最大值为

3

=.

(18)(本题满分 10 分)

（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()()

（II ）设函数()()()

1

2

n u x ,u x ,,u x L

可导，

n f x u x u x u x =L 12()()()()

，写出()f x 的求导公式.

【解析】（I ）0

()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h →++-'=

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0()()()()()()()()

lim

h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h

→++-+++-=

00()()()()

lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h

→→+-+-=++

()()()()

u x v x u x v x ''=+

（II ）由题意得

1

2

()[()()()]n

f x u x u x u x ''=L

121212()()()()()()()()()

n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L

(19)(本题满分 10 分) 已知曲线L

的方程为

,

z z x ?=??=??

起点为

()A

，终点为()0,B ，计算曲线积分

()()2222d d ()d L

I y z x z x y y x y z

=++-+++?.

【答案】

π2

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【解析】由题意假设参数方程

cos cos x y z θ

θθ=??

=??=?

，

ππ

:

22

θ→-

π22

π2

[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ

-

-++++?

π222

π2

sin cos (1sin )sin d θθθθθθ

-=+++?

π220

sin d π2

θθ==

(20) (本题满11分) 设向量组1

,

23

,α

αα内3

R 的一个基，1

1

3

=2+2k βαα，

22

=2βα，()3

1

3

=++1k βαα. （I ）证明向量组1

β

2β3

β为3

R 的一个基;

（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基

1,23,ααα与基1β2

β3β下的坐标相同，并求所有的ξ

.

【答案】