一元二次方程第7课时

《解一元二次方程——公式法》教案设计

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

3.第7课时 一元二次方程及其应用

第二章方程（组）与不等式 第7课时一元二次方程及其应用 (建议时间：分钟) 基础过关 1. (2019山西)一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为() A. (x＋2)2＝3 B. (x＋2)2＝5 C. (x－2)2＝3 D. (x－2)2＝5 2. (2019怀化)一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是() A. x1＝1，x2＝－1 B. x1＝x2＝1 C. x1＝x2＝－1 D. x1＝－1，x2＝2 3. (苏科九上P29习题第3题改编)某农场的粮食产量在两年内从3000 t增加到3630 t，设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是() A. 3000(1＋x)＝3630 B. 3000(1＋2x)＝3630 C. 3000(1＋x)2＝3630 D. 3000(1＋x)＋3000(1＋x)2＝3630 4. (2019自贡)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是() A. m<1 B. m≥1 C. m≤1 D. m>1 5. (2019遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为() A. 0 B. ±1 C. 1 D. －1 6. (2019河南)一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是() A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. (2019新疆)在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为( ) A. 12x (x －1)＝36 B. 12 x (x ＋1)＝36 C. x (x －1)＝36 D. x (x ＋1)＝36 8. (2019哈尔滨)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为( ) A. 20% B. 40% C. 18% D. 36% 9. 若关于x 的一元二次方程(m －6)x 2－2x ＋3＝0有两个实数根，则整数m 的最大值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. (2019广西北部湾经济区)扬帆中学有一块长30 m ，宽20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花.小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为x m ，则可列方程为( ) 第10题图 A. (30－x )(20－x )＝34 ×20×30 B. (30－2x )(20－x )＝14 ×20×30 C. 30x ＋2×20x ＝14 ×20×30 D. (30－2x )(20－x )＝34 ×20×30 11. (2019桂林)一元二次方程(x －3)(x －2)＝0的根是 .

九年级数学专训1一元二次方程的解法归类

2020-2021学年 专训1　一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值． 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解

6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )　A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( )　A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝

北师大九上第7讲 一元二次方程的解法公式法

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法 【要点梳理】 要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程 ，当 时， . 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当 时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程 的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出 的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若 ，则原方程无实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 类型一、公式法解一元二次方程 1.用公式法解下列方程． (1) x 2+3x+1=0； (2)； (3) 2x 2 +3x-1=0． 2 241x x =-

举一反三： 【变式】用公式法解方程：x 2﹣3x ﹣2=0． 2．用公式法解下列方程： (1) 2x 2+x=2； (2)3x 2﹣6x ﹣2=0 ； （3）x 2﹣3x ﹣7=0． 举一反三： 【变式】用公式法解下列方程： ； 类型二、因式分解法解一元二次方程 3．一元二次方程x 2﹣4x=12的根是（ ） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 D ．x 1=2，x 2=6 4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2 +4(2x+1)+4＝0； (2)． 【变式】（1）（x+8）2 -5(x+8)+6=0 （2） 2 221x x +=(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-3(21)42x x x +=+

九年级数学上册-21.1-一元二次方程(第2课时)教案-(新版)新人教版

21．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2．?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 10 8 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，?苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2?中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．

7、一元二次方程

豪迈职校数学导学案 2.1 一元二次方程 班级： 命题人：张淑慧审核人：孙海森 学习目标 姓名： 1．理解什么是“一元二次方程” ； 2．会用配方法解一元二次方程； 一、回顾旧知： 1、同学们，你们知道什么是一元二次方程吗？你以前见过吗？判断下面几个例子是否为一元二次方程？并说明理由。 （1） x 2 3x80 （） 3x 2 20 2 （3）7x 6 0（4）8x29 2、根据上面的一元二次方程，你知道什么是一次项，什么是二次项，什么是常数项吗？你能说出一次项系数，二次项系数是什么吗？写写吧： 一元二次方程二次项二次项系数一次项一次项系数常数项（1）x23x 80 （2）3x220 （3）7x60 （4）8x29 二、探究新知：（预习课本 20-21 页，回答下列问题。） 1、一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 ,b24ac （1）根的情况 000 2、你会用配方法解方程吗？观察课本21 页的四个例题的求解过程，试着自己总结一下用配方法解方程的一般步骤： （1） （2） （3） 3、仿照课本 21 页例题的第 1 题，你会解下面的方程吗？（用你会的方法解一下吧） （ 1）x26x 7 0（2）x26x 70 三、课堂检测 1、说出下列一元二次方程的根 （1）x24 （2）( x 1)( x 2) 0 （3）x(x 3) 0 （4） ( x 1)2 0 （5）x2 1 0 第1页，共 4页第2页，共4页

（6）2（）2（）2 ( x 3)2 x 6x 7 0 783x 2x 1 0 2、用配方法解下列一元二次方程。 （1）x22x 8 0（2）x27 x 80 2 （4）t 2 3、已知关于 x 的方程x2ax a0 有两个相等的实数根，求实数 a 的值。 （3）2 x +3=7 x t 1 0 （5）x26x 9 0（6）x23x 30 四、我的收获： 第3页，共 4页第4页，共4页

初中数学七年级一元二次方程的四种解法

二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二 元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元 一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一 次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的 解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数由多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做 代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个 未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝ 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简 称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数 乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。 二元一次方程组应用题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个 未知数； 3、找：找出能够表示题意两个相等关系； 4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 一．解答题（共16小题）

九年级数学上册-认识一元二次方程第2课时一元二次方程的根及近似解教案新版北师大版

第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念,培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解,理解方程解的实际意义. 一、情境导入,初步认识 学生活动:请同学独立完成下列问题. 问题1:如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm,那么, 根据题意,可得方程为x2+82=102. 整理,得x2-36=0. 列表: 问题2:一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm,则长为（x+2）m. 根据题意,得x（x+2）=120. 整理,得x2+2x-120=0. 列表:

【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解,确定未知数的大致范围. 二、思考探究,获取新知 提问:（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题,问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评:（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中,x=10是x2+2x-120=0的解. （2）如果抛开实际问题,问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别,我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看:x2-36=0有两个根,一个是6,另一个是-6,但-6不满足题意；同理,问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知,深化理解 1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把它代入等式,看它是否能使等式两边相等即可. 解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根. 2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值. 分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解. 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0（2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义来求解. 4.x（x-1）=2的两根为（D） A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2

中考数学总复习学案：第7课时 一元二次方程

第1页（共3页） 第7课时 一元二次方程 一、选择题 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．2x ＋1＝0 B ．y 2 ＋x ＝1 C ．x 2 ＋1＝0 D ． 2．用配方法解方程2 250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()2 16x += B ．()2 16x -= C ．()229x += D ．()2 29x -= 3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2 12350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对 4．方程2 x =x 的解是 （ ） A ．x =1 B ．x =0 C ． x 1=1 x 2=0 D ． x 1=﹣1 x 2=0 5．若关于x 的一元二次方程2 210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ． 1k >-且0k ≠ C ．1k < D ．1k <且0k ≠ 6．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2 ，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满 足的方程是（ ） A ．2 13014000x x +-= B ．2 653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2 653500x x --= 二、填空题 7．若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 8．某种品牌的手机经过四．五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ． 9．两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342 =+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是 ． 10．若方程022 =+-cx x 有两个相等的实数根，则c = ． 11．已知：m 是方程0322 =--x x 的一个根，则代数式=-2 2m m ． 11=+x x 第6题图

一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【典型例题】

一元二次方程及解法归类

寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

268.九年级新人教版数学上册21.2解一元二次方程(第1课时)-教案

21.2解一元二次方程 第1课时 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x 2-8x+______=（x -______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ ）2 ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：x ·2x=8 B C A Q https://www.sodocs.net/doc/0015837152.html, P 2p 2p 12

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B） （C）（D） 习题2. 若,则_________.

7.3一元二次方程的解法(去括号)青岛版

一元二次方程的解法（去括号） 【学习目标】： 1.正确理解和运用乘法分配律和去括号法则解方程 2.领悟到解方程是运用方程解决实际问题的组成部分，体验去括号是解一元一次方程的一个基本步骤；体会去括号和移项法则的不同之处 3.通过参与探索一元一次方程解的过程的数学活动，体会解方程中分析和转化的思想方法 【学习重点】：重点：正确用去括号法则解一元一次方程 【学习难点】：难点：去括号时需要注意的问题 课前准备 知识回顾 1.把下列各式去括号 (1) 0.8x+（10-x）（2） -3x-（5-2x） (3) 9-5（1-2x） (4) 6x-3(11-2x) (5) -2(1+2x) (6) 3(x+2)-2(2x-3) 2.一元一次方程的解法我们学习了哪几步？ 3.移项、合并、系数化成1注意什么？ 4.用移项法解方程 (1). 5+2x=1 (2). 8-x=3x+2 课内探究 例1解方程 3-(4x-3)=7 跟踪训练1 解方程： （1） 0.8x+（10-x）=9 （2） -3x-（5-2x）=6

例2 解方程： 3（x+6）=9-5（1-2x） 跟踪训练2 课本162页练习1题（2）、（3）、（4） 跟踪训练3 下列变形对吗?若不对,请说明理由,并改正: 解方程3-2(0.2x+1)=0.2x 解:去括号,得 3 - 0.4x + 2=0.2x 移项,得 - 0.4 x + 0.2x=-3 - 2 合并同类项,得 - 0.2 x=- 5 两边同除以-0.2,得 x=25 思考：解带括号的一元一次方程有哪些基本程序？ 课堂小结： 回顾这节课咱们学到了什么？ 达标测试： 1.解方程-2（x-1）-4（x-2）=1，去括号结果正确的是（） A.-2x+2-4x-8=1 B.-2x+1-4x+2=1 C.-2x-2-4x-8=1 D.-2x+2-4x+8=1 2.判断下面方程的解法是否正确，如果不正确，请加以改正。 14x-3（20-x）=5x-3（8-x） 解：14x-60-3x=5x-24-3x 14x-3x-5x+3x=60-24 9x=36 X=4 2.解下列方程： (1). 3(y+1)=2y-1 (2). 3(x+2)-2(2x-3)=12 课后提升： 1.基础题：课本162页 CT7.3 3题 2.提高题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4x)]＝1

2020年中考数学一轮复习练习题 第9课时 一元二次方程(含答案)

第9课时 一元二次方程 分) 一、选择题(每题4分，共24分) 1．[2019·滨州]用配方法解一元二次方程x 2－4x ＋1＝0时，下列变形正确的是( ) A ．(x －2)2＝1 B ．(x －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＝3 D ．(x －2)2＝3 2．[2019·盐城]关于x 的一元二次方程x 2＋kx －2＝0(k 为实数)根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不能确定 3．[2019·兰州]x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0的解，则2a ＋4b ＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．4 D ．－6 4．[2019·新疆]若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ≤54 B ．k >54 C ．k <5 4 且k ≠1 D ．k ≤5 4 且k ≠1 5．[2019·达州]某公司今年4月的营业额为2 500万元，按计划第2季度的总营业额要达到9 100万元，设该公司5,6两月的营业额的月平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是( ) A ．2 500(1＋x )2＝9 100 B ．2 500(1＋x %)2＝9 100 C ．2 500(1＋x )＋2 500(1＋x )2＝9 100 D ．2 500＋2 500(1＋x )＋2 500(1＋x )2＝9 100 6．[2019·龙东地区]某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题(每题4分，共16分)

2019年河北中考数学复习第7讲 一元二次方程

第 7 讲 一元二次方程 1. (2014，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax ＋ bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时， 对于 b － 4ac >0 的情况，她是这样做的： 由于 a ≠0，方程 ax 2 ＋bx ＋c ＝0 变形为： b c x ＋ x ＝－ ，…第一步 aa a a 2 c b 2 x ＋ x ＋ ＝－ ＋ ，…第二步 a a b 2 b －4a c x ＋ ＝ 2a 4a ，…第三步 b b －4ac x ＋ ＝ (b －4ac >0)，…第四步 2a 4a －b ＋ b －4ac x ＝ .…第五步 2a (1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当 b － 4ac >0 时，方程 ax ＋bx ＋c －b ± b － 4ac ＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝ ）； 2a (2)用配方法解方程：x － 2x －24＝0. 【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤： (1) 形如 x ＋px ＋q ＝0 型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． (2)形 如 ax ＋bx ＋c ＝0 型．方程两边同时除以二次项系数，即化成 x ＋px ＋q ＝0 型，然后配方． －b ± b － 4ac 解：(1)四 x ＝ 2a (2)移项，得 x － 2x ＝24. 配方，得 x － 2x ＋1＝24＋1，即(x －1) ＝25. 开方，得 x －1＝±5. ∴x ＝6，x ＝－4. 1 2 2. (2015，河北)若关于 x 的方程 x ＋ 2x ＋a ＝0 不存在实数根，则 a 的取值范围是(B) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1 【解析】 ∵关于 x 的方程 x ＋ 2x ＋a ＝0 不存在实数根，∴b －4ac ＝2 －4×1×a ＜0.解 得 a ＞1. 3. (2016，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c ) >a ＋ c ，则关于 x 的方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的 情况是(B) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为 0 【解析】 由(a －c ) >a ＋c 得出－2ac ＞0，∴Δ ＝b － 4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根． 一元二次方程的概念及解法 例 1 解下列方程： (1)x －2x －1＝0； 2 2 2 2 2a 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

特殊的一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程及其解法（一） 特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项． 要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

094.北师大版九年级数学上册2.1 第2课时 一元二次方程的解及其估算1-教案

第2课时一元二次方程的解及其估算 1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点) 2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点) 一、情景导入 在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的解 下列哪些数是方程x2－6x＋8＝0的根？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10. 解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2－6x＋8＝0中，发现当x＝2和x＝4时，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根． 方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． (2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根． 探究点二：估算一元二次方程的近似解 请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)． 解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根． 解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，… x 0123… x2－2x－1－1－2－12… 由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x－2x－1＜2； (2) x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5… x2－2x－1－0.79－0.56－0.31－0.040.25… 由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x－2x－1＜0.25； (3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4. 方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计

第7讲一元二次方程课后作业

作业七一元二次方程 一、选择题 1、（2014?襄阳，第9题3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设 2、（2017?兰州）如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（C） A．m＞9 8 B．m＞ 8 9C．m= 9 8 D．m= 8 9 3、（2017?河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（B） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 二、填空题 4、（2016·湖北鄂州）方程x2－3=0 5、（2015?绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=26 6、(2016大连改编)若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是1 a>-。 三、解答题 7、（2016·四川成都）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围．解：∵3x2+2x﹣m=0没有实数解， ∵b2﹣4ac=4﹣4×3（﹣m）＜0， 解得：m＜，故实数m的取值范围是：m＜． 8、（2016·江苏泰州）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率． 解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x， 根据题意，得：200（1+x）2=392， 解得：x1=0.4，x2=﹣2.4（不符合题意，舍去）． 答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．

9、（2016·湖北鄂州）关于x 的方程(k －1)x 2+2kx +2=0 （1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根。 （2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2+2kx +2=0的两个根，记S =x x 12+x x 21+ x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值。若不能，请说明理由。 解：⑴①当k -1=0即k =1时，方程为一元一次方程2x =1, x =1/2有一个解； ②当k -1≠0即k ≠1时，方程为一元二次方程， ⑴=（2k ）2-4×2（k -1）=4k 2-8k ＋8=4(k -1) 2 ＋4＞0 方程有两不等根 综合①②得不论k 为何值，方程总有实根 ⑴⑴x ?＋x ?＝－2k / k -1 ,x ? x ?=2 /k -1, ⑴s = (x ? 2＋ x ? 2)/x ? x ?＋(x ?＋x ? ) =[ ( x ?＋x ?) 2－2 x ? x ? ]/ x ? x ?＋(x ?＋x ?) =(4k 2-8k ＋4)/2（k -1）=2 k 2－3k ＋2=0 k ?=1 k ?＝2 ⑴方程为一元二次方程，k -1≠0 ⑴k ?=1 应 舍去 ⑴当k =2时，S 的值为2 ⑴S 的值能为2，此时k 的值为2.

苏科版2014年中考数学复习：方程与不等式(第7课时 一元二次方程的解法及根的判别式)

第7课时一元二次方程的解法及根的判别式 【学习目标】 了解一元二次方程的概念及其一般形式，掌握一元二次方程的四种解法；了解一元二次方程根的判别式与方程根的情况的对应关系，能够不解方程判别方程的根的情况以及确定方程中待定系数的取值范围． 【课前热身】 1．（2013．陕西）一元二次方程x2－3x＝0的根是_______． 2．（2013．遵义）若x＝－2是方程x2＋mx－6＝0的一个根，则方程的另一个根是_______．3．（2013．沈阳）若关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 4．(2013．泰州)下列有两个不相等的实数根的方程是( ) A．x2－3x＋1＝0 B．x2＋1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2＋2x＋3＝0 5．(2013．南昌)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直线边长，且S△ABC ＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程_______． 6．选择适当的方法解下列方程： (1)(2x－1)2－(x＋4)2＝0；(2)3(x－3)2＝x2－9. 【课堂互动】 知识点1 根据实际问题列一元二次方程 例（2013．南京）已知如图所示的图形的面积为24.根据图中的条件，可列出方程：_______． 跟踪训练 1．（2013．昆明）如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少？设道路的宽为xm，则可列方程为( ) A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644 C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝7644 2．（2013．青岛）某企业2010年年底缴税40万元，2012年年底缴税48.4万元，设这两