经典中值定理与导数的应用(学习指导

第三章微分中值定理与导数的应用

3.1 中值定理及其应用

1 学习指导

1. 基本要求

⑴掌握罗尔定理、拉格朗日定理，理解柯西定理，了解泰勒定理；会用中值定理的结论解决一些问题，如证明方程根的存在性、证明不等式等。

⑵掌握函数()()a

x x

1

ln

cos

,

,的麦克劳林公式，会用泰勒

sin

,

,

x

x

x

+1

e+

公式做近似计算和估计误差。

⑶掌握洛必达法则的条件和结论，熟练运用洛必达法则求未定式的极限。

2. 重点与难点

重点：罗尔定理，拉格朗日定理，洛必达法则。

难点：中值定理的证明和应用，特殊类型未定式极限的求法。

3. 学习方法

⑴微分中值定理揭示了函数与其导数之间的内在联系，它们是利用导数研究函数的理论根据，其中拉格朗日定理为核心，罗尔定理是它的特殊情形，而柯西定理与泰勒定理是它的不同形式的推广。

⑵四个中值定理具有以下共性：

①建立了函数在一个区间上的增量（整体性）与函数在该区间内某点处的导数（局部性）之间的联系，从而使导数成为研究函数性态的工具。

② 它们都只是中值ξ的存在性定理且定理本身未提供ξ在区间内的准确位置，而仅显示ξ介于区间的两个端点a 与b 之间，注意不能将中值理解为区间的中点

2

b

a +。一般来讲，除了较简单的函数能求出中值ξ的精确值外，通常ξ的值很难确定，但它的存在性在理论和实际中仍有广泛的应用。

③ 中值定理的条件都是充分而非必要的。这就是说，当条件满足时，结论一定成立；但当条件不满足时，结论也可能成立。

④ 如果用条件“()x f 在[]b a ,上可导”去代替条件“()x f 在()b a ,内可导”，定理的结论仍然成立，但适用范围将相应缩小，如()21x x f -=在[]1,1-上满足罗尔定理条件，故存在()1,10-∈=ξ，()0'=ξf ，但

()2

'1x

x x f --=

在1±=x 都不存在。

⑤ 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理具有相同的几何意义：对于()b a ,内处处有非铅直切线的曲线()x f y =来说，其上至少有一点处的切线与联结两个端点()()a f a A ,与()()b f b B ,的弦AB 平行。

⑶ 通常称拉格朗日中值定理的结论为拉格朗日中值公式，常用的拉格朗日中值公式有下列形式：

①()()()a

b a f b f f --=

ξ' （ξ介于a 与b 之间）；

②()()()()a b f a f b f -=-ξ' （ξ介于a 与b 之间）； ③()()()()()a b a b a f a f b f --+=-θ' ()10<<θ； ④()()()x f x f x x f ?=-?+ξ' （ξ介于x 与x x ?+之间）；

⑤()()()()x x x x f x f x x f ??+=-?+θ' ()()10<

1

212'x x x f x f f --=

ξ （ξ介于1x 与2x 之间）。

其中[]21,,,,,x x b a h x x x x ∈+?+是()b a ,内任意两点且21x x ≠. ⑷ 求函数()x f 的泰勒公式有两种方法：

直接法：求出函数在0x 处的各阶导数()()()()()00''0'0,,,,x f x f x f x f n 及()()()θ001x x x f n -++ ()10<<θ，代入公式即得。

间接法：利用已知函数的麦克劳林公式，通过四则运算、复合运算或变量代换等，得所求函数的泰勒公式。

几个常用的初等函数的麦克劳林公式为：

①()

()()()1212153!12cos 1!121!

5!3sin +--+-+--+-+-=n n n n x n x

n x x x x x θ ()10<<θ ②()()()()221242!22sin 1!21!

4!21cos +++-+-+-+-=n n n

n x n x

n x x x x θ ()10<<θ ③()1

2!

1!!2!11+++

++++=n x n x

x n e n x x x e θ ()10<<θ ④()()()()()

1

11321111321ln ++-++-+-+-+-=+n n n

n

n x n x n x x x x x θ ()10<<θ ⑤()=+n x 1

()()()()()()()

1

121!11!11!21!11++-++--++--++-++

n a n n x x n n a a a x n n a a a x a a ax θ (a ,10<<θ为实数），这里，余项()()()()1

1!

1+++=

n n n x n x f x R θ()10<<θ为柯西型余项。

⑸ 求未定式极限的洛必达法则是柯西中值定理的一个应用，它

是求极限的一个重要方法，应注意只有

“00”型、“

∞

∞”型的极限才可以直接用洛必达法则，而对“∞?0”型等其他未定式极限，必须通过通分、取对数等变形方法将其转化为“0

0”型或“

∞

∞

”型后，才能使用洛必达法则。 ⑹ 中值定理的应用非常广泛，有关中值定理的计算题与证明题是其重要的组成部分，掌握这方面的解题方法和技巧是高等数学的基本要求，中值定理的主要应用为：

① 求极限

与中值定理有关的求极限的方法主要有：利用洛必达法则求未定式的极限；当极限式中出现()x f 的增量形式时，可考虑利用拉格朗日中值公式；利用麦克劳林公式()()()()

n k

n

k k x x k f x f 0!

00+=∑

=.在利用麦克劳林公式求极限时，一般要用到如下的性质：当0→x 时，有

()()()n m n x x x 000=+ ()m n <<0， ()()(

)

m n m n x x x +=000 ()0,0>>m n ；

② 研究函数或导数的性态

由于微分中值定理都是以某种形式表示函数与导数之间的联系，所以它们是由函数性质去研究导数性质或是由导数性质去研究函数性质的理论依据，如利用拉格朗日中值定理研究函数的单调性（见3.2节）等。

③ 证明恒等式

设()x f 在区间Ⅰ上可导，C 是任意常数，则在Ⅰ上有

()()0

'=?=x f C x f

由此便可证明恒等式，方法是构造函数()x f ，将欲证等式表为()0=x f ，求()x f '得()0'=x f ，从而知()x f 是常数，此常数恒等于它在Ⅰ上的任一函数值，故任取∈0x Ⅰ，计算()0x f ，便得()0x f C =，从而()()0x f x f =.

有时为求导数简便，也可利用结论

()()()()x g x f C x g x f ''=?+=

进行证明，其中()()x g x f ,在Ⅰ上可导且C 为常数。

④ 证明不等式

将中值定理结论所得等式的一端放大或缩小，便得到不等式，一般地，将欲证不等式经过简单变形，如果不等式一端形如()()a

b a f b f --，

可利用拉格朗日定理；如果不等式一端形如

()()()()

a g

b g a f b f --，可利用柯西定理；如果不等式中有一部分是n 次多项式，或题设条件中函数具有二阶或二阶以上的导数且最高阶导数有界或大小可知，可利用泰勒定理证明。

⑤ 证明方程根的存在性或惟一性

微分中值定理的共同特点之一，就是指出在某个区间内至少有一点ξ=x ，使某个等式成立，这就为判断方程根的存在性提供了理论依据，特别是罗尔定理的结论，换种说法就是，某个方程在指定区间内至少有一个实根，因此它在判别方程根的存在性问题中应用最多。一般地，研究含有导数的方程在某区间上存在实根，如果方程中仅含有一阶导数，常用罗尔定理，有时也用拉格朗日定理或柯西定理；如果方程中有二阶及二阶以上的导数，则用罗尔定理或泰勒定理。研究方程根的惟一性，一般是利用函数的单调性讨论，有时也利用中值定理

采用反证法讨论。

⑥ 讨论中值的存在性

讨论中值存在性的一般方法是：先用逆向分析法寻求辅助函数，再验证该辅助函数满足某个微分中值定理的条件，从而由该定理结论导出欲证结果。通常，能用拉格朗日定理或柯西定理证明的命题，也可以用罗尔定理证明。证题时选用哪种方法，以简便为原则。

⑦ 利用泰勒公式或麦克劳林公式做近似计算或误差估计。 ⑺ 利用辅助函数是求解数学证明题的一个重要方法，难点是构造辅助函数。构造辅助函数的基本思想是，从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。辅助函数不是惟一的，证题时只要找到一个即可，证明与微分中值定理有关的命题，做辅助函数的常用方法有以下两种。

原函数法：用原函数法做辅助函数的一般步骤为，将欲证结论中的ξ换为x ，通过恒等变形将结论化为某函数的微分形式并且用

()0=x f 表示，观察或求不定积分（第4章内容）得()x f 的一个原函数()x F ，使()()x f x F ='，如果()x F 已满足要求，则()x F 为所找辅助函数；

如果()x F 不满足题设要求，则对()x F 作恒等变形直至所做函数满足要求。

常数k 值法：这种方法适用于常数可分离出的命题，构造辅助函数的步骤为：

① 将常数部分令为k .

② 做恒等变形，使等式一端为a 及()a f 构成的代数式，另一端为

b 及()b f 构成的代数式。

③ 分析所得表达式是否为关于端点()()a f a A ,与()()b f b B ,的对称式或轮换对称式。若是，则换a （或b ）为x ，()a f （或()b f ）为()x f ，于是变换后的表达式即为所寻求的辅助函数。

3 解题指导

1. 求极限

例1 求下列极限：

⑴??? ??--→11ln 1lim 1

x x x ； ⑵x x x ln sin lim 0+→ ； ⑶x

x x ln 1

arctan 2lim ??

?

??-+∞→π ；

⑷()x

x x -→

22

tan lim π

π

； ⑸()x

x

x e x 1101lim ???

?

???

?

+→ ； ⑹??

? ??-→2201tan 1lim x x x . 分析 洛必达法则是求未定式极限的一种常用方法，但必须注意使用的条件，且当条件满足时可连续使用。

解 ⑴ 这是“∞-∞”型的极限，求解方法是通分或有理化因式将其化为“0

0”型或“

∞

∞

”型极限后用洛必达法则。对本题，通分后化为“0

0”型可两次使用洛必达法则。

()x

x x x x x x x x x x x x 1ln 1

1lim ln 1ln 1lim

11ln 1lim 111-+

-

=---=??? ??--→→→ 2

1

11ln 1lim 1ln 1lim 11=++=-+-=→→x x x x x x x . ⑵ 这是“∞?0”型的极限，求这类极限的方法是将部分函数取倒数变形为

“0

0”型或“

∞

∞

”型极限后用洛必达法则，变形时应注意对函数求导数时运算相对简便。对本题，将x sin 取倒数变形为“∞

∞

”型计算。

x

x x x x x x x x x cot csc 1

lim csc ln lim ln sin lim 000-==+

++→→→ 0cos lim cos sin lim 2

020=-=-=++

→→x

x x x x x x x . ⑶ 这是“00”型极限，利用对数性质有()()

()()

x u x v x v x x e x u ln lim lim +∞

→=+∞

→，

问题归结为求“∞?0”型极限。本题变形后为“

∞

∞

”型极限，则 ????????? ??-=??

? ??-+∞→+∞→x x x x x

x arctan 2

ln ln 1lim ex p arctan 2lim ln 1

ππ

()

???

????

???

????????????????

+??? ??--=+∞→x x x x 11arctan 21lim exp 2π ?

?

?

?

??

????

????? ?-+-=+∞→x x

x

x arctan 21lim

exp 2

π（“00”型）

()

??

?

????

?

????????

??+-+-+-=+∞

→2222

211121lim exp x x x x x 1

2211lim exp -+∞→=?

??

? ??+-=e x x x . ⑷ 这是“0∞”型极限，与⑶同理可将问题归结为求“∞?0”型极限。

()x

x x -→

2

2

tan lim π

π

?????

???????????????????-=???

????????

??-=→→x x x x x x 21tan ln lim exp tan ln 2lim exp 22ππππ

???????

?????

????? ??-=??

?????????????????????????

???? ??-=→→x x x x x x x 2sin 22lim exp 21tan sec lim exp 2

2222ππππ 12cos 224lim

exp 02==?????

?

????????? ??--=→e x x x ππ. ⑸ 这是“∞

1”型极限，这类极限除了利用重要极限e x x

x =??

?

??+∞

→11lim 求解外，也可由()[]()()()x u x v x v e x u ln =归结为“0?∞”型极限求解。

()()????????????-+=???

????

?

+→→e x x e x x x x

x

x ln 1ln 1lim exp 1lim 10110 ()?

??

?????????-+=→11ln 11lim exp 0x x

x x

()??

???

?

??????-+=??????-+=→→x x x x x x x 2111lim exp 1ln lim exp 020 ()21

012lim exp -→=?

?

?

???+-=e x x x x . ⑹这是“∞-∞”型极限，通分得

x x x x x x x x 22220220tan tan lim 1tan 1

lim -=??

? ??-→→， 是“0

”型极限，将分子分解因式并对分母利用等价无穷小代换后再用洛必达法则计算较简便。此时 原式()()3

4

tan lim tan lim tan tan lim

x x

x x

x x x x x x x x x x -+=+-=→→→

()()x

x x x x x x x 220220cos 1cos 1cos lim

32

3sec 1lim 2-+=-=→→ 32

2sin lim 341cos lim cos cos 1lim 3202020-=-=-+=

→→→x x x

x x x x x x . 说明 将洛必达法则与求极限的其他方法（特别是等价无穷小）联合使用，常可以简化计算。一般，如果表达式中某些因式的极限是确定的，可将这些因式分离出来单独求极限，而对余下的未定式部分使用洛必达法则。

例2 求下列极限：

⑴???

?

?

+-∞

→1arctan arctan lim 2n a n

a n n ()0≠a ；⑵()()x

x x e x e 10ln ln lim ??

????-+→ ； ⑶()()x x x x x e x x tan cos 11sin lim 0-+-→ ； ⑷?????

???? ??+-+∞→x x x x 11ln lim 2 . 分析 除利用洛必达法则求未定式的极限外，拉格朗日公式与麦克劳林公式也是常用的方法。

解 ⑴ 这是“0?∞”型极限，注意到1

arctan

arctan +-n a

n a

是函数ax x f arctan )(=在区间]1

,11[

n

n +上两个端点值之差，且2)(1)(ax a x f +=

'在区间)1

,11(

n

n +上存在，从而由拉格朗日定理有 )1

1

1(11arctan arctan 2

2+-+=+-n n a a n a n

a ξ， 其中

n

n 1

11<<+ξ.当∞→n 时0→ξ，所以 原式=???

?

?

+-∞

→1arctan arctan lim 2n a n

a n n ??

? ??+-+?=∞→111

1lim

222n n a a n n ξ 2

221)1(lim ξa a

n n n n +?

+=∞→a a a =+=→2201lim ξξ. ⑵这是“∞1”极限，由对数性质，有

原式=)]

ln(ln )ln([ln 1

lim 0

x e x e x

x e

--+→.

于是对t t f ln ln )(=在区间],[x e x e +-或],[x e x e -+上应用拉格朗日定理可得

ξ

ξξξln 2)]()[(ln 1)ln(ln )ln(ln x x e x e x e x e =--+=

--+， 其中ξ介于x e -与x e +之间，当0→x 时e →ξ，从而

e

x x x e x e x

e x x 2

ln 1lim 2ln 2lim )]ln(ln )ln([ln 1

lim

0===--+→→→ξξξξξ， 所以 原式e

e 2

=.

⑶这是“0

0”型极限，注意到表达式中有一部分是二次多项式

x x +2，故用麦克劳林公式计算。因为0→x 时2

2

1~

cos 1,~tan x x x x -，而 )(!31!211332x o x x x e x +++

+=， )(!

31

sin 33x o x x x +-=， 于是 )](!31!211[sin 332x o x x x x e x ++++=)](!31

[33x o x x +-

)(3

1

332x o x x x +++=，

所以 ()()x x x x x e x

x tan cos 11sin lim 0-+-→322

1)(31lim 32

3320=--+++=→x

x x x o x x x x . ⑷这是“∞-∞”型极限，因为

?????

???? ??+-+∞

→x x x x 11ln lim 2????????? ??+-=+∞→x x x x 11ln 1lim 2 2/111ln 1lim x

x x x ???

??+-=+∞→ ()201ln lim

t t t t +-=+→ )1

(x

t =令，

而)(2

)1ln(22

t o t t t +-=+，所以

原式()201ln lim t t t t +-=+→2

1)]

(2[lim 222

0=

+--=+→t t o t t t t . 2. 正确理解微分中值定理 例3 解下列各题：

⑴ 验证罗尔定理对函数x x f sin )(=在区间],[ππ-上的正确性； ⑵验证拉格朗日定理对函数

?????>-≤-=1,1,

1,2)(2

2x x x x x f

在区间]2,0[上的正确性；

⑶ 验证柯西定理对函数x x f sin )(=及x x x F cos )(+=在区间]

2

,0[π

上的正确性。

解题思路 验证中值定理正确与否，其解题步骤为：先验证所论定理的条件是否全部满足；当条件满足时，再求出定理结论中的ξ值。

解 ⑴ 显然，x x f sin )(=在区间],[ππ-上满足罗尔定理的三个条件，因此由罗尔定理，应至少有一点),(ππξ-∈，使0cos )(=='ξξf 成立。

由0cos )(=='x x f ，得2

π

π+

=n x ),2,1,0( ±±=n .当1-=n 时有

2

1π

ξ-

=，当0=n 时有2

2π

ξ=

，显然1ξ，2ξ都在),(ππ-内，由此可知罗尔

定理正确。

⑵ 由初等函数的可导性，可知)(x f 在)1,(-∞及),1(+∞内可导，又由导数定义有

1

)

1()(lim

)1(1--='+

→+x f x f f x =22lim 1

)1(1

lim 3121==----

++

→→x x x x x ，

1

)

1()(lim )1(1--='-

→-x f x f f x 2)1(lim 1)1(2lim 121=+=----=--→→x x x x x ， 所以2)1(='f ，故)(x f 在),(+∞-∞可导，从而)(x f 在]2,0[上可导，即)(x f 在]2,0[上满足拉格朗日定理条件，于是应存在)2,0(∈ξ，使

2)

0()2()(--=

'f f f ξ成立。因为

8

722410

2)

0()2(=

---

=

--）

（f f ，

???

????

>=<<=',1,2

,1,2,10,2)(3x x x x x x f

所以，由872=x 得1671=x ，由8723=x 得329872=x ，而1671=ξ与3298

7

2

=ξ都在)2,0(内，故拉格朗日定理正确。

⑶显然，x x f sin )(=与x x x F cos )(+=在]2

,0[π上连续，在）

（2

,0π

内可导，且x x F sin 1)(-='在）

（2

,0π

内不为0，由柯西定理，应至少存在一点）（2,0πξ∈使)

0()2

()0()2()()(F F f f F f --=

''ππ

ξξ，即22sin 1cos -=-πξξ成立。令t x -=2π，三角方程22sin 1cos -=-πx x 变为22cos 1sin -=

-πt t ，即22

2cot -=πt ，从而2

2

2tan -=

πt . 因为1220<-<π，所以存在0t 使4200π<

00π

<

222tan 0-=πt ，故存在002t x -=π使200π<

2

sin 1cos -=

-πx x ，所以存在0x =ξ在）

（2

,0π

内，即柯西定理正确。 例4 当0>x 时，试证：)(1x x x xe e θ+=，其中1)(0<

2

1)(lim 0

=

→x x θ. 分析 移项可得)(1x x x xe e θ=-，易知，等式左边为函数t e t f =)(在

],0[x 上的增量形式，而右边与)(x θ有关，故利用拉格朗日定理证明。

证明 令t e t f =)(，则当0>x 时)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日定理条件，因此有

)0))(()0(0()0()(--+'=-x x x f f x f θ （1)(0<

e e

x x x 1

)

(-=θ，即 x e x x x 1

ln 1)(-=θ，

故 x e x x x x x 1ln 1lim )(lim 00-=→→θ )"00

("型 201

1lim x e xe e x x x x x +-?-=→ 2

1

2lim 1lim

020==+-=→→x xe x e xe x x x x x . 例5 当10=x 时，求函数x xe x f =)(的n 阶泰勒公式。

分析 求)(x f 的n 阶泰勒公式，有直接法与间接法两种方法。对本题用直接法应先求x xe x f =)(的直到1+n 阶的导数，用间接法则需利用x e 的n 阶麦克劳林公式。

解 方法1（直接法）由x xe x f =)(易知，

x x x e x xe e x f )1()(+=+='，

最新微分中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数 的应用

第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论； 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式； 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式； 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法； 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系； 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义； 7.知道弧微分的定义与弧微分公式； 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9.知道求方程的近似解的基本方法。 （二）领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义； 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系； 3.领会洛必达法则； 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系； 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系； 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系； 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 （三）运用 1.会用中值定理证明等式和不等式； 2.会用洛必达法则求末定式的极限； 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值； 4.会用导数求函数的单调区间和极值； 5.会用函数的单调性证明不等式； 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点； 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8.会求一些最值应用问题； 9.会求曲率和曲率半径； 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 （四）分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性；

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计

第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0

根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条

中值定理与导数习题

习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的 ； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则；

11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点 处的切线平行于轴,那么函数的表达式是; 20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;

22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且 是在至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且, ,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).

; ; ; 5. 函数,它在( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 7. 设是的可导函数,是的任意两点,则( ) .

中值定理与导数的应用(包括题)

第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<

(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；

微分中值定理与导数应用

第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x

2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；

(C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件； (C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( )

第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)

第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(>

第三讲 导数(中值定理部分)

第三讲 导数（中值定理部分） 1．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =；证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得 2() ()f f ξξξ '=- 。 证明：作2 ()()F x x f x =，(0)(1)0F F ==，2 ()()2()F x x f x xf x ''=+，由Rolle 定理知，至少存 在一点(0,1)ξ∈，使得2 ()()2()[()2()]0F f f f f ξξξξξξξξξ'''=+=+=，因为0ξ≠，故有 ()2()0f f ξξξ'+=，即2() ()f f ξξξ '=- 。 （本题思路：由2() ()f f ξξξ '=- 得()2()0f f ξξξ'+=，疑似某个函数与()f x 相乘后求导，不难 看出该函数的导数比原函数低1次且为2倍，考虑是2 x ，即2 ()()F x x f x =。） 2．设()f x 在[,]a b 上二阶可导，1x ，2x ，3x 为[,]a b 内三点，123x x x <<，且 123()()()f x f x f x ==；证明在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()0f ξ''=。 证明：因为12()()f x f x =，且()f x 在12[,]x x 上满足Rolle 定理条件，故至少存在一点 112(,)y x x ∈，使得1()0f y '=；同理由于23()()f x f x =，故至少存在一点223(,)y x x ∈，使 得2()0f y '=；综上，()f x '在区间12[,]y y 上可导且12()()0f y f y ''==，故至少存在一点 12(,)[,]y y a b ξ∈?，使得()0f ξ''=。 3．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导；连接点(,())a f a 和(,())b f b 的直线与曲线()y f x =交于点(,())c f c （a c b <<），证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ''=。 证明：由Lagrange 中值定理可知 在[,]a c 上，存在11(,)a c η∈，使1()()()() ()f c f a f b f a f c a b a η--'== --， 在[,]c b 上，存在2(,)c b η∈，使2()()()() ()f b f c f b f a f b c b a η--'== --， 所以12()()f f ηη''=。 在12[,]ηη上，由Rolle 定理，至少存在一点12(,)ξηη∈，使()0f ξ''=。 4．设在[,]a b 上，()0f x >且可导；证明存在一点(,)a b ξ∈，使得()() ln ()()() f b f b a f a f ξξ'=-。 证明：因为()0f x >，作()ln ()F x f x =，() ()() f x F x f x ''= 在[,]a b 上运用Lagrange 中值定理，存在一点(,)a b ξ∈，使得()()() ()() F b F a f F b a f ξξξ'-'==-，即 得()() ln ()()() f b f b a f a f ξξ'=-。 （本题思路：由()()ln ()()()f b f b a f a f ξξ'=-得ln ()ln () [ln ()]x f b f a f x b a ξ =-'=-， 故取()ln ()F x f x =。） 5．设()f x 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ''<，证明：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=。

微分中值定理与导数的应用练习题

题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程 内容 一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则 一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等） 三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五．函数的渐近线

水平渐近线、垂直渐近线 典型例题 题型I 方程根的证明 题型II 不等式（或等式）的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题： 一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim

第三章中值定理与导数的应用答案

(A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x -

计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点

微分中值定理与导数的应用习题

第四章微分中值定理与导数得应用习题 §４、1 微分中值定理 1. 填空题 (1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是. （2)设,则有３个实根，分别位于区间中. 2.选择题 (1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ). A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件 （2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）． A、B、C、Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ). A. B. 在之间 C. Ｄ. 3.证明恒等式：. 证明: 令，则,所以为一常数. 设，又因为, 故． ４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得. 证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上 符合罗尔定理得条件,故有,使得． 5. 证明方程有且仅有一个实根. 证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根. 6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、 证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立． 7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使 证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、 ８．证明下列不等式 (1)当时，. 证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (） 因此, 当时,. (2)当时,. 证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有 因为,所以,又因为，所以，从而 . §4、2 洛毕达法则 １. 填空题 (１) (２)０ （3）= (4)１ 2.选择题

第四章.中值定理与导数的应用

第四章．中值定理与导数的应用 要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形 一、罗尔定理 如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数 最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、洛必达法则。 教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点ｘ0的某邻域U (x ０)内有定义, 并且在x ０处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f （x ）≤f (ｘ0) (或f （x )≥f (ｘ0）), 那么f '（x ０)=0. 罗尔定理 如果函数ｙ=f (x )在闭区间[a ， b ]上连续, 在开区间(a , ｂ)内可导, 且有ｆ(a )=f (b ), 那么在(a , b ）内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1）如果f (x ）是常函数, 则f '（ｘ）≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(ａ, ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(ａ, b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x ,

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第四章 微分中值定理与导数的应用 第一节 中值定理（2课时） 要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。 重点：理解中值定理及简单的应用。 难点：中值定理证明的应用。 一、罗尔(Rolle)定理 罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件 （1）在闭区间],[b a 上连续； （2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =． 则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等 于零，即0)(='ξf ． 几何解释 设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示， AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个 端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找． 例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．

)2 (2 4 2 ) (- = - = 'x x x f 且0 )3( )1(= =f f 函数) (x f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得 )2 (2 ) (= - = 'ξ ξ f， 于是)3,1( 2∈ = ξ． 故确实在区间)3,1(内至少存在一点2 = ξ使得0 )2(= 'f，结论成立． 二、拉格朗日中值定理（微分中值定理） 几何分析 拉格朗日中值定理设函数) (x f满足条件 （1）在闭区间] , [b a上连续； （2）在开区间) , (b a内可导． 则在区间) , (b a内至少存在一点) (b a< <ξ ξ，使得等式 ) )( ( ) ( ) (a b f a f b f- ' = -ξ成立． 推论1如果函数) (x f在区间I上的导数恒为零，那么函数) (x f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）． 例2．试证 2 cot arctan π = +x arc x) (+∞ < < -∞x． 证明构造函数x arc x x f cot arctan ) (+ =， 因为函数) (x f在) , (+∞ -∞上可导，且 1 1 1 1 ) ( 2 2 = + - + = ' x x x f

微分中值定理

微分中值定理 班级： 姓名： 学号：

摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]() ()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使 ()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ

至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x → (1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-a b ξ<<；

第三章中值定理与导数的应用综合练习参考答案

第三章 中值定理与导数的应用 一、是非题 1．函数12+=x y .在区间［－１,１］上满足罗尔中值定理条件的是（ √ ） 2．方程0155 =+-x x 在()1,1-内有且仅有一个实根 ( √ ) 3．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则对任意()b a x ,∈，有()()x g x f =， (× ) 4．sin lim x x x →∞是未定型。. ( × ) 5．在罗比塔法则中，A x g x f x x =→)(')('lim 0是 A x g x f x x =→) ()(lim 0的充要条件. （ × ） 6．.因 x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim +-=+-∞→∞→不存在，所以x x x x x sin sin lim +-∞→不存在. ( × ) 7．.3 2122lim )'1()'1(lim 11lim 1221221=+=-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x . ( × ) 8． 若函数)(x f 在区间 ),(b a 内可导，则0)('>x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的充分必要条件. ( × ) 9．. 若0x 是)(x f 的极值点，则一定有)('0x f =0. ( × ) 10．. 若0x 是)(x f 的一个不可导点，则一定是)(x f 的一个极值点.( × ) 二、选择题 1. 函数x x x f -=3)(在［０，３］上满足罗尔中值定理的=ξ（ D ） （A ）0； （B ）３； （Ｃ） 23； （Ｄ）２. 2．函数x x f 21)(=满足拉格朗日中值定理条件的区间是( A ) （A ） [1，2]； （B ）［－２，２］； （Ｃ）［－２,０］； （Ｄ）［０，１］. 3．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( C ) A ．四个极值点； B ．三个极值点 C ．二个极值点 D ． 一个极值点 4．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( C )