九年级数学上册2.2.1配方法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程导学案(新版)湘教版

第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

1．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤，并能熟练运用配方法解二次项系数为“1”的一元二次方程．

2．经历用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会化归的思想方法．

3．通过运用变形的思维方式解方程，培养逻辑思维能力，领悟转化的数学思想．

自学指导 阅读教材第32至33页的部分，完成以下问题.

问题1 ①a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b)2． ②x 2－4x ＋2 ＝x 2－4x ＋22－22＋2 ＝(x －2)2－2．

③x 2＋2x －7＝x 2＋2x ＋1－8＝(x ＋1)2－8．

当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，

就能使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．

问题2 解方程：x 2－6x ＋2＝0.

解：把原方程的左边配方，得x 2－6x ＋(3)2－(3)2＋2＝0.

即(x －3)2－7＝0.

将方程右边化为0，左边配方后就可以用平方根的意义解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法．

自学反馈

1.用适当的数填空：

①x 2－8x ＋(4)2＝(x －4)2；

②x 2＋10x ＋(5)2＝(x ＋5)2.

2.用配方法解下列方程：

①x 2＋2x ＝7； ②x 2－5x ＋14

＝0. 解：原方程可化为 解：原方程可化为

x 2＋2x ＋12－12－7＝0. x 2－5x ＋(52)2－(52)2＋14

＝0. (x ＋1)2＝8, (x －52

)2＝6， x ＋1＝±22， x －52

＝±6， ∴x 1＝－1＋22，x 2＝－1－2 2. ∴x 1＝52＋6，x 2＝52

－ 6. 知识探究

1.如果方程能化成a(x+b)2

=c 的形式，那么可得x=_c b a -±___. 2.以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？不行

3.什么叫配方法？能过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法

4.配方法的目的是什么？降次

5.配方法的关键是什么？配平

活动1 小组讨论

例 用配方法解下列关于x 的方程：

(1)x 2-8x+1=0； (2)x 2+1=3x.

解：(1)x 1

=4+15，x 2=4-15；(2)x 1=5322+，x 2=5322

-+. (1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为1的，可以将方程各项除以二次项系数.

(2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方.

(3)注意：配方时一定要在方程两边同加.

活动2 跟踪训练

1. 把二次三项式x 2＋8x ＋2进行配方，正确的是( B )

A ．(x ＋8)2－1

B ．(x ＋4)2－14

C ．(x ＋4)2+18

D ．(x ＋2)2－16

2. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是( B )

3. 若方程x 2＋kx ＋64＝0的左边是完全平方式，则k 的值是( D )

A ．±8

B ．16

C ．－16

D ．±16

4.把一元二次方程x2-6x-4=0化成（x+m ）2=n 的形式，m+n 的值为（ D ）

A.8

B.6

C.3

D.2

5. 填空：（1）x 2－4x ＋__4____＝(x －__2____)2；

（2）x 2+6x ＋__9____＝(x+___3___)2；

（3）x 2

－7x ＋__4

49____＝(x －__27____)2． 6.解方程0232=--x x ，配方得：-x (_23___2)+__417-____=0． 7．一元二次方程x 2﹣ax +6=0，配方后为(x ﹣3)2=3，则a = 6 ．

8.小明设计了一个魔术盒，当任意实数队（a,b ）进入其中，会得到一个新的实数322+-b a ，若将实数（x,-2x ）放入其中，则x= -2 .

9. 用配方法解下列方程：

(1)x 2﹣2x =1； (2)x 2+6x ﹣2=0；

解：配方，得x 2﹣2x +1=1+1． 因此(x ﹣1)2=2， 由此得x ﹣1=2或x ﹣1=﹣2．

解得x 1=1+2，x 2=1﹣2．

解：原方程可化为x 2+6x =2．

配方，得x 2+6x +9=11．

因此(x +3)2=11，

由此得x +3=11或x +3=11-． 解得x 1=11﹣3，x 2=﹣11﹣3． (3)x 2+4x +3=0； (4)x 2+x ﹣1=0．

解：原方程可化为x 2+4x =-3． 配方，得x 2+4x +4=-3+4． 因此(x +2)2=1，由此得x +2=1或x +2=-1． 解得x 1=﹣1，x 2=﹣3．

解：原方程可化为x 2+x =1．

配方，得x 2+x +41=1+41．因此45)21(2=+x ，

由此得2

521=+x 或2521-=+x ．

解得x 1=251+-，x 2=2

51--．

（5）x 2+2x-12=0； （6）x 2-4=2x.

解：1311+-=x ,1312--=x . 解：511+=x ,512-=x .

活动3 课堂小结

1.应用直接开平方法解形如x 2+2ax+a 2

=b(b ≥0)，那么可得x+a=±b 达到降次转化的目的.

2.用配方法解一元二次方程的步骤.

3.用配方法解一元二次方程的注意事项.

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.

人教版九年级数学一元二次方程的解法测试题

一元二次方程的解法 一.选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，不能用直接开平方法的是_____ A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 一元二次方程230x x +=的解是_____. A. 3x =- B. 120,3x x == C. 120,3x x ==- D. 3x = 3. 方程220(0)x m m +=<的根为_____ A.2m - B. C.± 4. 方程2(3)5(3)x x x -=-的根是_____. A.52x = B. 3x = C. 125,32x x == D. 52 x =- 5. 下列方程中，不适合用因式分解法的是_____. A.2210x x -+= B. 2210x x --= C.2430x x -+= D. 240x -= 6. 已知方程220x mx m +-=的一个根为-1，那么方程260x mx -=的根为_____ A. 2x = B. 0x = C.122,0x x == D. 以上答案都不对 7. （2008滨州）关于x 的一元二次方程21(1)420m m x x ++++=的解为______ A. 121,1x x ==- B. 121 x x == C. 121x x ==- D. 无解 8.已知一直角三角形的三边长为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++= 的根的情况是———— A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 二.填空题（每小题3分，共24分） 1. 当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式293x x -+的值为零。 2. (2008威海)关于的一元二次方程2(2)0x mx m -+-=的根的情况是______________. 3. 如果关于x 的方程2360x x a ++=有两个相等的实数根，那么a =______ 4. 若关于x 的方程220x x k +-=没有实数根，则k 得取值范围是______ 5.若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______ 6. 当a =______时，22410x x a ++-=是关于x 的完全平方式. 7. 如果23100a a --=，则a b +的值为__________________. 8. 若222(3)25a b +-=，则22a b +=_____________ 三.解答题（8个题，共72分） 17.选择合适的方法解下列方程. （1）2435x -= （2）25(1)70x x +-= （3）(2)(2)21x x -+=

2019-2020年九年级数学上册 2.2配方法(第1课时)教案 北师大版

2019-2020年九年级数学上册 2.2配方法(第1课时)教案北师大版 配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程. 本节的重点、难点是配方法．根据课程的特点，以及学生的认知结构特点，本节内容分三课时．在教学时，首先从前面两节课的实例引入求精确解.因为我们已经能解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程，所以想到要求一个一元二次方程的精确解时，是否可把方程转化为已经能解的方程，这时引入了一元二次方程的解法——配方法． 配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征． 教学方法主要是学生自主探索、发现的方法． 2.2配方法(一) 教学目标 (一)教学知识点 1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． (二)能力训练要求 1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法． 2．体会转化的数学思想方法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． (三)情感与价值观要求 通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力． 教学重点 利用配方法解一元二次方程 教学难点 把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式． 教学方法 讲练结合法 教具准备

投影片六张： 第一张：问题(记作投影片§2．2．1 A) 第二张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 B) —第三张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 C) 第四张：想一想(记作投影片§2．2．1 D) 第五张：做一做(记作投影片§2．2．1 E) 第六张：例题(记作投影片§2．2．1 F) 教学过程 Ⅰ．创设现实情景，引入新课 [师]前面我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质? [生甲]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根． [生乙]平方根有下列性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的． (2)零的平方根是零． (3)负数没有平方根． [师]很好，那你能求出适合等式x2=4的x的值吗? [生]由x2＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值为2和-2． [师]很好；下面我们来看上两节课研究过的问题．(出示投影片§2．2．1 A) 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? [师]由前节课的分析可知：梯子底端滑动的距离x(m)满足x2+12x-15＝0．上节课我们已求出了x 的近似值，那么你能设法求出它的精确值吗?

浙教版九年级数学上册第3章测试题

浙教版九年级数学上册 第3章测试题 一、选择题(每题3分，共30分) 1．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是() A．15°B．60°C．45°D．75° 2．如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，连结AD，BC，则α和β的关系是() A．α＝βB．β＞2αC．β＜2αD．β＝2α 3．如图，要拧开一个边长为6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口a至少为() A．6 2 mm B．12 mm C．6 3 mm D．4 3 mm 4．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是() A．AD＝AB B．∠BOC＝2∠D C．∠D＋∠BOC＝90° D．∠D＝∠B 5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为() A．60° B．50° C．40° D．20° 6．点A，B，C，D分别是⊙O上不同的四点，∠ABC＝65°，则∠ADC＝()

A ．65° B ．115° C ．25° D ．65°或115° 7．如图，某厂生产横截面直径为7 cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在 罐头侧面．为了获得较佳的视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( ) A ．π4 cm B ．7π4 cm C ．7π 2 cm D ．7π cm 8．如图，在半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形AOB 中，分别以OA ，OB 为直径 作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.? ????π2 －1cm 2 B.? ?? ??π2＋1cm 2 C ．1 cm 2 D.π2cm 2 9．如图，已知点A ，B ，C ， D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿 OC —CD ︵ —DO 的路线做匀速运动．设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y (度)与t (秒)之间的函数关系最恰当的是( ) 10．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B 为劣弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则P A ＋PB 的最小值为( ) A. 2 B ．1 C ．2 D ．2 2 二、填空题(每题3分，共24分) 11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠AOB ＝100°，则∠ACB ＝________°. 12．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比值是________．

最新人教版初中九年级上册数学《配方法》教案

第2课时配方法 【知识与技能】 掌握用配方法解一元二次方程. 【过程与方法】 理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法. 【情感态度】 在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 【教学重点】 用配方法解一元二次方程. 【教学难点】 用配方法解一元二次方程的方法和技巧. 一、情境导入，初步认识 问题要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？ 思考如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为，由题意可列出的方程为，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？ 【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的. 二、思考探究，获取新知 【教学说明】让学生阅读第6~7页探究内容，再完成下面的“想一想”. 想一想1.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？谈谈你的看法. （1）x2+10x+( )=(x+ )2; (2)x2-3x+( )=(x- )2;

(3)x2-2 3 x+( )=(x- )2; (4)x2+1 2 x+( )=(x+ )2. 2.利用上述想法，试试解下列方程：(1)x2+10x+3=0; (2)x2-3x+1=0; (3)x2-2 3 x=4; (4)x2+ 1 2 x-7=0. 1.依次填入：（1）25；5；（2）9 4 ， 3 2 ；（3） 1 9 ； 1 3 ；（4） 1 16 ， 1 4 . 2.解：（1）原方程可化为：x2+10x=-3,配方，得x2+10x+25=-3+25,即（x+5）2=22,∴x+5=±22,即x1=-5+22,x2=-5-22; 试一试1.请说说用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法是怎样的？与同伴交流. 2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1时，还能用配方法解这个一元二次方

课题： 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

课题： 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【学习目标】 1．运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练掌握其基本步骤． 2．通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想方法． 3．培养学生主动探究的精神，提高学生积极参与的意识． 【学习重点】 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程． 【学习难点】 通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想。 情景导入 生成问题 回顾： 1．根据完全平方公式填空： (1)x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2； (2)x 2－8x ＋16＝(x －4)2； (3)x 2＋10x ＋(5)2＝(x ＋5)2; (4)x 2－3x ＋????322＝????x －322 . 2．解一元二次方程：x 2－4x ＋3＝0. 解：x 2－4x ＝－3，∴x 2－4x ＋4＝－3＋4，∴(x －2)2＝1，∴x －2＝±1，∴x 1＝3，x 2＝1. 自学互研 生成能力 知识模块一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 阅读教材P 34～P 35，完成下面的填空： 解方程2x 2－4x －1＝0. 解：将方程两边同时除以2，得x 2－2x －12 ＝0． 把方程的左边配方，得x 2－2x ＋1－1－12 ＝0， 即(x －1)2－32 ＝0. (以下步骤请继续完成) x －1＝±62，∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62 . 师生合作探究、共同归纳出用配方法解“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)”的步骤． 归纳：当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解． 【例1】 用配方法解方程： (1)2y 2－4y －126＝0； (2)3x(x ＋3)＝94 . 解：原方程可化为 解：原方程可化为 y 2－2y －63＝0. x 2＋3x －34 ＝0.

九年级数学一元二次方程知识点及练习

知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x= +2) (的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x+是b的平方根，当0 ≥ b时，b a x± = +，b a x± - =，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 2 2 2) ( 2b a b ab a+ = + ±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 2 2 2) ( 2b x b bx x± = + ±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的求根公式： )0 4 ( 2 4 2 2 ≥ - - ± - =ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax中，ac b4 2-叫做一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b4 2- = ? 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”， 1 / 5

(完整)九年级上册数学总复习资料

九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即

正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么 方程的两个根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公

2.2.1配方法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

2.2.1配方法第2课时用配方法解二次项系 数为1的一元二次方程 第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 课题第2课时用配方法解二 次项系数为1的一元二次方程授课人 教 学 目 标知识技能 1.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程． 2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤． 数学思考理解配方法的思想，掌握用配方法解形如x2＋px＋q＝0(p为偶数)的一元二次方程． 问题解决经历用配方法解一元二次方程的过程，体会用配方法解方程的首要任务是正确配出完全平方式，体会转化的数学思想方法，增强学生的数学应用意识和能力． 情感态度通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．

教学重点会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程． 教学难点探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程． 授课类型新授课课时 教具多媒体 教学活动 教学步骤师生活动设计意图 回顾填上适当的数，使下列等式成立： (1)x2＋12x＋________＝(x＋6)2； (2)x2－12x＋________＝(x－________)2； (3)x2＋8x＋________＝(x＋________)2. 从以上可知：完全平方式中，常数项等于一次项系数的一半的平方．回顾完全平方公式，体会一次项系数与常数项的关系. 活动 一： 创设 情境 导入 新课【课堂引入】 1．(多媒体出示)如图2－2－2的两个图形各验证了什么公式？与同伴交流一下．

图2－2－2 2．把x2－4x＋1化为(x＋h)2＋k(其中h，k是常数)的形式是________．设计问题引人入境，激发学生探究的兴趣. 活动 二： 实践 探究 交流新知【探究1】配方 (1)课堂引入第2题，你们小组都完成了吗？你们发现了什么规律？ (2)对于含x2＋ax的式子如何配成完全平方式？(请各小组合作交流，是否可以提出合理的措施) 归纳：含x2＋ax的式子配方的方法：加上并减去一次项系数一半的平方，把x2＋ax与加上的数一起配成完全平方式，原式中的常数项与减去的数合并成新常数项，即能化成(x＋h)2＋k的形式． 【探究2】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程(1)你能把方程x2＋8x－9＝0配方化成(x＋m)2＝n的形式吗？各小组比比看，哪一组做得又快又好． (2)你能从上面的配方中总结出用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤吗？ 归纳：(1)配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：在一次项后加上并同时减去一次项系数一半的平方，

九年级数学一元二次方程(带答案)

第二章 一元二次方程 第 1 讲 一元二次方程概念及解法 知识要点 】 . 知识结构网络 、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 x 2 b b 0 或 2 x a 2 b 的形式的方程求解。当 b 0时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0 时，方程无实数根。 2. 因式分解法解方程的步骤： （ 1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积； （ 3）令每个 一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。 3. 配方法解一元二次方程的步骤为： （1）化二次项系数为 1（ 2）移项，使方程左边为二次项和一次 项，右边为常 数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（ 4）原方程变为 （x m ）2 n 的形式（ 5）如果右边是非 负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 4. 公式法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程化为一般形式 ax 2 bx c 0 ，确定 a 、 b 、 c 的值； （2）计算 2 2 b b 2 4ac b 2 4ac 的值并判别其符号；（3）若b 2 4ac 0，则利用公式 x 求方程的解，若 2a 2 b 2 4ac 0，则方程无实数解。 典型例题】 2

解：(3x 1)( 2x 3) 0 ，x 2 解： x 2 11 4 经典练习】 、直接开方法 二、配方法注： （1） 2x 2 2x 30 0 二、公式法 1. 用求根公式法解下列方程 2 （1）x 2 2x 2 0； ∴ 3x 1 0或 2x 2)3x 2 4x 1（用公式 法） 解： 3x 4x 4) 2 3×( 1) 28 0 ( 4) 28 2 × 3 ±7 x 1 27 3 ，x 2 2 3 27 3 3） 2x 2 2x 30 用配方 法） x 2 (x 2 x 2 22 4) ( 42) 2 4 15 ( 42)2 121 8 ∴ x 1 3 2， x 2 5 2 2 1) (x 1)2 (1 2x)2 2)(x a)2 b x 1 15 ∴x 2 2)3x 2 4x 1

北师大版九年级数学上册教案：第三章概率的进一步认识复习

本章复习 【知识与技能】 回顾本章内容，用所学的概率知识去解决某些现实问题，再归纳和总结试验频率与理论概率的关系. 【过程与方法】 学会与人合作，进一步发展学生合作交流的意识和能力.[来源:https://www.sodocs.net/doc/0016844985.html,] 【情感态度】 形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神. 【教学重点】 用所学的概率知识去解决某些现实问题. 【教学难点】 用所学的概率知识去解决某些现实问题. 一、知识结构 【教学说明】通过回顾知识点，使学生掌握各知识点之间的联系. 二、释疑解惑，加深理解 1.用树状图或表格求概率. 回顾：用树状图或表格求概率时应注意什么情况？ 2.用频率估计概率. 如何用频率估计概率？ 【教学说明】让学生通过知识性内容的小结，了解本章所学内容，如何用所学知识解决实际问题.

三、典例精析，复习新知 1.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（） A.1/3 B.5/12 C.1/12 D.1/2 解析：让黄灯亮的时间处于总时间即为抬头看信号灯时，是黄灯的概率.每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒共60秒，所以是黄灯的概率是5/60=1/12.故选C. 解答：C 2.以下说法合理的是（） A.小明在10次抛图钉的试验中发现有3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30% B.抛掷一枚普通的正方体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6 C.某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定有2张中奖 D.在一次课堂上进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51 解析：概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生.A选项，10次抛图钉的试验太少，错误；B选项，概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；C选项，概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；D选项，根据概率的统计定义，可知正确. 解答：D[来源学优高考网] 3.如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（） A.2/5 B.3/10 C.3/20 D.1/5 解析：列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情

人教版九年级数学上册教案《配方法》

《21.2.1配方法》教学设计 第1课时 教材分析: 本节仍然结合实际问题展开，重点讨论用配方法解一元二次方程.首先课本先讨论了直接开平方法，直接开平方法的依据是求一个数的平方根，另外循序渐进地安排了两类方程：x2=p和(x+n)2=p，后者可以看成是前者的推广.学习完直接开平方法后介绍了配方法，利用配方将一般式转换为可进行直接开平方法的形式，配方法也为后面推到公式法提供了方法依据. 教学目标： 【知识与能力目标】 1.使学生知道形如x2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2.使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方； 3.使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解； 【过程与方法】 1.在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法． 2.通过利用数的平方根得到用直接开平方法解一元二次方程，使学生能够解答符合条件的一

元二次方程，同时为配方法的学习打好基础． 【情感态度与价值观】 通过利用直接开平方法解一元二次方程使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值．教学重难点： 【教学重点】 使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解. 【教学难点】 探究一元二次方程(x－m)2＝a的解的情况，培养分类讨论的意识 课前准备： 多媒体 教学过程： 问题1：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？（请设未知数列方程解决） 【解】设这个正方形舞台的边长是x米．列方程，得x2＝144. 根据平方根的意义，得x＝±144＝±12， ∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12. ∵边长不能为负数， ∴x＝12. 即这个正方形舞台的边长是12米． 【设计意图】用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活． 问题2：（1）将下列各数的平方根写在旁边的括号里． A：9( ±3)，5( ± 5 )，49( ±7)； B：8( ±2 2 )，24( ±2 6 )，14( ±14 )； C：3( ± 3 )，1.2( ±30 5 )，2( ± 2 )． (2)．若x2＝4，则x＝__±2__． 【设计意图】通过对平方根的复习为本节课做准备，同时对平方根概念的掌握情况进行教学诊断，起到承上启下的作用．建议：在做第1小题时最好先让学生回顾平方根和算术平方根的概念．对于第2题，根据平方根的概念求解，从而导出新课．

北师大版九年级数学上册第三章测试题及答案 证明(三)(A)

北九上第三章证明（三）水平测试（A ） 1、四边形的四个内角中，最多时钝角有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2、四边形具有的性质是 A 对边平行 B 轴对称性 C 稳定性 D 不稳定性 3、一个多边形的每一个外角都等于720 ，则这个多边形的边数是 A 四边 B 五边 C 六边 D 七边 4、下列说法不正确的是 A 平行四边形对边平行 B 两组对边平行的四边形是平行四边形 C 平行四边形对角相等 D 一组对角相等的四边形是平行四边形 5、一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为 A ?30 B ?45 C ?60 D ?75 6、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是 A 2 对 B 3对 C 4对 D 5 对 7、 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A .内角和是360°； B. 对角相等； C. 对边平行且相等； D. 对角线互相垂直. 8、 平行四边形各内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是 A. 矩形； B. 平行四边形； C. 菱形； D. 正方形 9、 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC= a cm ，∠A=60° ，BD 平分∠ABC ，则这个梯形的周长是 A. 4a cm ； B. 5a cm ； C.6a cm ； D. 7a cm ； 10、等边三角形的一边上的高线长为cm 32，那么这个等边三角形的中位线长为 A cm 3 B cm 5.2 C cm 2 D cm 4 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题3分，共24分）。 11. 中，对角线相交于点O ，AC ⊥CD ， AO = 3，BO = 5，则CO =_____，CD=______，AD =________ 12. 如图，在中，AB 、BC 、CD 的长度分别为2x +1， 3x ，x +4的周长是_____________ 13. 在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，若△ABC 的周长为30 cm ，则△DCE B B

九年级上册数学配方法

（1）x 2=4 (2)x 2=16 (3)2x 2=32 (4)2x 2=82. (5)(x +1)2=0 (6)2(x －1)2=0 (7)(2x +1)2=0 (8)(2x －1)2=1 一、1.方程x 2=16的根是x 1=__________,x 2=__________. 2.若x 2=225，则x 1=__________,x 2=__________. 3.若x 2－2x =0，则x 1=__________,x 2=__________. 4.若(x －2)2=0，则x 1=__________,x 2=__________. 5.若9x 2－25=0，则x 1=__________,x 2=__________. 6.若－2x 2+8=0，则x 1=__________,x 2=__________. 7.若x 2+4=0，则此方程解的情况是____________. 8.若2x 2－7=0，则此方程的解的情况是__________. 9.若5x 2=0，则方程解为____________. 10.由7，9两题总结方程ax 2+c =0(a ≠0)的解的情况是：当ac ＞0时__________________；当ac =0时__________________；当ac ＜0时__________________. 二、选择题 1.方程5x 2+75=0的根是 A.5 B.－5 C.±5 D.无实根 2.方程3x 2－1=0的解是 A.x =± 3 1 B.x =±3 C.x =± 3 3 D.x =±3 3.方程4x 2－0.3=0的解是 A.075.0=x B.30201 - =x C.27.01=x 27.02-=x D.302011=x 3020 1 2-=x 4.方程2 7 252-x =0的解是 A.x = 57 B.x =± 5 7 C.x =± 5 35 D.x =± 5 7

用配方法解二次项系数是1的一元二次方程

【教材分析】 《配方法解一元二次方程》是山东教育出版社初中数学实验教材八年级下册第八章第二节“降次----解一元二次方程”的内容，本节共3课时，本节课为第二课时。主要内容是用配方法简单数字系数的一元二次方程。一元二次方程的解法是本章的重点内容，“配方法”是学生接触到的的第二种一元二次方程的解法，它是以直接开方法为基础的一次深入探究，是由特殊到一般的一个拓展过程，又对继续学习后面的公式法有着指导和铺垫的作用。 配方法是以配方为手段、以平方根定义为依据解一元二次方程的一种基本方法，其中所涉及的完全平方式、求一个非负数的平方根以及解一元一次方程等都是学生已有的知识与技能，本节在此基础上，通过经历探索解方程的过程，使学生进一步体会转化、归纳等数学思想，总结配方法的基本步骤。配方法是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用，也是进一步完善方程体系的有效载体。在“配方法”的探索过程中体现了“化未知为已知”的数学思想方法，为今后学习高次方程、函数等奠定了基础，具有承上启下的作用。通过这节课的学习，不但可以使学生掌握一种基本的运算方法，还可以培养学生探索与归纳能力，提高小组合作意识。因本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，所以如何配方就成为本节课的学习重点与难点，如何找到对应的常数项成为解决问题的关键。弄清楚配方法就是将方程变形为熟悉的能用直接开平方法求解的形式，在这里关键要掌握配方的方法，也就是配方法解一元二次方程的基本步骤，这是基本，也是关键。因此本节课根据教材的特点确立教学的重点、难点，分别是： 教学重点和难点： 教学重点：用配方法解一元二次方程 教学难点：理解配方法的基本过程

九年级上册数学：配方法(一)

课题：配方法（一） 教学目标：1、知道直接开平方法适用于解形如(x+h) 2=m的方程，它的依据是数的开方； 2、会用直接开平方法解形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程； 3、在把(x－a) 2=b (b≥0)看成x 2=b (b≥0)的过程中，引导学生体会“换元”的数学方法。 教学重点:用开平方法解一元二次方程 教学难点:怎样的一元二次方程适用于开平方法。 教学过程： 一、新课引入：1、平方根的意义。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 求适合等于x 2=4的x 的值。 (x=2或x=－2)， 二、新课讲解： 问题1 如果一元二次方程：aX2 + bX + c = 0 (a≠0)的一次项系数b、常数项c中至少有一个为0，那么就能得到那些特殊的一元二次方程？ (1) ax2 = 0 (2) ax2 + c = 0 (3) ax2+ bx = 0 问题2 怎样解方程ax2 = 0？(如：3x2 = 0，有两个相等的实数根x=x=0) 问题3 怎样解方程ax2 + c = 0 (a≠0)？ 可以(1) x2－4 = 0，(2) 2x2－50 = 0，(3) 2x2+50= 0等方程为例， 进而引导学生归纳方程ax2+c = 0的解的情况：当a、c异号时，方程ax2+c = 0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，方程ax2+c = 0没有实数根。 例题解析：例1 课本例2 在讲解例1时注意： 1、对于形如“(x－a) 2=b (b≥0)”型的方程，教科书给出的例子是解方程(x+3) 2=2 。这时，只要把x+3看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。 2、在对方程(x+3) 2=2 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法例2 不解方程，说出下列方程根的情况： (1) 1－3x2 = 2x2；（2）－4x2+1 = 0；（3）－0. 5x2－2 = 0. (通过训练，使学生明确一元二次方程的解有三种情况) 例2 解下列方程：

【浙教版】九年级数学上册 第三章 圆的基本性质能力提升训练(一)及答案

第三章圆的基本性质能力提升训练(一）一．选择题： 1．在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（）A. BE = AE= B. AC BC C. EO = CE= D. AD BD 2.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（） A.20° B.40° C.50° D.80° 3.在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（） A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直. B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有四个公共点. C.若两条弦所在直线平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的直径. D.若两条弦所在直线不平行，则这两条弦一定在圆内有公共点.

4．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=2； ④若d=1，则m=3；⑤若d＜1，则m=4.其中正确命题的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 5.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O 于点E，连结EC.若AB=8，CD=2，则EC的长为（） A. 210 B. 213 C. 215 D. 8 6.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO 的度数是（） A.51° B.56° C.68° D.78° 7.如图，圆O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD的度数是（） A.120° B.130° C.140° D.150° 8.如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（） A.42 B.2 C.4 D.2 2

九年级数学一元二次函数教案

最新九年级数学一元二 次函数教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

个性化教学辅导

纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的 交点，由方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解 时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--=-=-=44422 212 212 2121 课 后 作 业 １.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 C A E F B D 第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0

新北师大版九年级数学上册第三章检测题(附答案)

新北师大版九年级数学上册第三章检测题(附答案)

九年级数学上册第三章检测题 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．事件A ：打开电视，它正在播广告；事件B ：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C ：在标准大气压下，温度低于0 ℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P (A )、P (B )、P (C )，则P (A )、P (B )、P (C )的大小关系正确的是( ) A ．P (C )＜P (A )＝P ( B ) B ．P ( C )＜P (A )＜P (B ) C ．P (C )＜P (B )＜P (A ) D ．P (A )＜P (B )＜P (C ) 2．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( ) A ．0 B.13 C.23 D ．1 3．如图，2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的7个点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是( D )

A.12 B.25 C.37 D.47 4．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，问抽取的两个球数字之和大于6的概率是( ) A.12 B.712 C.58 D.34 5．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为( ) A.118 B.136 C.112 D.115 6．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是( )

A.14 B.34 C.13 D.12 ,第6题图) ,第7题图) 7．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是( ) A.1925 B.1025 C.625 D.525 8．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面

九年级数学上册第三章知识点总结(北师大版)

九年级数学上册第三章知识点总结（北 师大版） 一、平行四边形 、平行四边形的性质定理： 平行四边形的对边相等。 平行四边形的对角相等（邻角互补）。 平行四边形的对角线互相平分。 2、平行四边形的判定方法： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 二、矩形 、矩形的性质定理： 矩形的四个角都是直角。 矩形的对角线相等。 2、矩形的判定方法： 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。 （对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）

三、菱形 、菱形的性质定理： 菱形的四条边都相等。 菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。 2、菱形的判定方法： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。） 四、正方形 、正方形的性质定理： 正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 2、正方形的判定定理： l 有一个角是直角的菱形是正方形。 l 有一组邻边相等的矩形是正方形。 l 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。

l 对角线相等的菱形是正方形。 l 对角线互相垂直的矩形是正方形。 l 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 l 对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。 五、等腰梯形 、等腰梯形的性质定理： 等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形在同一底上的两个角相等。 2、等腰梯形的判定方法： 定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。 判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 六、三角形的中位线 、定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、性质定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 七、其他定理或结论： 、夹在两条平行线间的平行线段相等。