人教课标版高中数学必修1第一章 集合与函数概念函数及其表示教案
人教课标版高中数学必修1第一章 集合与函数概念函数及其表示
一、知识概括
1、集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），通常用小写拉丁字母a,b,c ,…表示。 把一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C ，…表示。 集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义概念。某些教材中对集合的描述是：指定的某些对象的全体称为集合。 其中，注意理解（1）指定即说明某些对象具有共同的特征或共同的属性，说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准，而不是随意组合。（2）对象在不同的集合中，应有不同的内涵。在不同的集合中，元素还可能是人、物、质点或抽象事物等。（3）全体说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列要求，没有一定的顺序关系。
【注】（1）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
（2）构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任何确定的
对象。
2、集合元素的特性
集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。
（1）确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不够明确，而“身高超过170cm 的同学”这一组对象可以构成一个集合。
（2）互异性
集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次。如方程0122
=+-x x 的解构成的集合是{1}，而不能写成{1,1}
（3）无序性
集合中元素的排列次序无先后之分，如集合{1,2}和{2,1}是同一个集合。
3、集合与元素的关系
元素与集合有属于（∈）和不属于（?）两种关系。如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ?A 。
注：符号“∈”和“?”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。
4、特定集合表示法
特定集合是人们约定俗成的用固定字母、符号来表示的特殊集合，解题中作为已知使用。主要有以下几种：
非负整数集（自然数集），记作N ；正整数集，记作+N N 或*
；整数集，记作Z ；有理数集。记作Q ；实数集，记作R 。
5、集合的表示方法
我们知道方程0232
=+-x x 的解为x=1或x=2，不等式x-2>4的解集为x>6，如何利用数学语言表示由它们的结果构成的集合呢？
集合的表示方法常见的有自然语言法、列举法和描述法，以后还会学到Venn 图法。
（1）自然语言法
自然语言是用文字叙述的形式描述集合的方法，使用此方法要注意叙述清楚即可，如被3除余数是2的正整数的集合。
（2）列举法
把集合的元素一一列举出来，并用“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。如由方程0232=+-x x 的解构成的集合可以表示成{1,2}
【注】：使用列举法时要注意：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复（互异性）；③元素之间不用考虑先后顺序（无序性）；④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数构成的集合，可表示成{1,2,3，…，100}；⑤可以表示有限集，也可以表示无
限集。
（3）描述法
①用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法
②具体方法是：在括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
③描述法的一般形式是{x ∈I|p(x)}，其中x 是集合中元素的代表形式，I 是元素的取值（或变化）范围，p(x)是这个集合中元素所具有的共同特征，如不等式x-2>4的解集x>6可表示成{x ∈R|x>6}
【注】：使用描述法时要注意：①写清该集合中元素的代表符号，如实数或实数对等，再如{x ∈R|x>1}不能写成{x>1}；②用简洁、准确的语言说明该集合中元素的性质，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被说明的字母，如{x ∈Z|x=2m }中m 未被说明，故此几何元素是不明确的；④所有描述的内容都要写在集合括号内，如{x ∈Z|x=2m }，*
N m ∈便不符合要求，应将*N m ∈写进“{ }”中，即{x ∈Z|x=2m ，*N m ∈}；⑤元素的取值（或变化）范围，从上下文来看，若是明确的可省略不写，如集合D={x ∈R|x<10}也可表示为D={x |x<10}；⑥多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x |x<10或x>10}等。 6、集合的不同表示方法的转换
（1）列举法和描述法的优缺点
列举法具有直观、明了的特点。其缺点是不易看出元素所具有的属性，且有些集合是不能用列举法表示的，如x-1>0的解集
描述法把集合中的元素所具有的特征性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点，其缺点是不易看出集合的具体元素。
（2）有限集、无限集
根据集合中元素的个数还可以将集合分为有限集和无限集，当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集。
对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，一般不写成{2,1,4,3，…}
7、数集与点集的区分方法
集合的元素类型多少以数、点、图形或集合等形式出现的。对于已知集合必须弄清楚几何元素的形成，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性（如表示数集、点集等）。
例如：集合{x|01-22
=+x x }表示方程的解集，即{2-1-21-，+}；集合{y|y=1-22x x +}表示函数y=1-22x x +的所有函数值组成的集合，即{y|y ≥-2}；集合{x|y=12+x }表示函数y=12+x 的所有自变量的取值组成的集合，即{x|x ∈R }，它们都是数集，即均可在数轴上表示；集合{（x,y ）| y=12+x }表示函数y=12+x 的图像上所有点组成的集合。
【易错点】：（1）书写上的错误，误把点集{（2,3）}写成{2,3}或{x=2,y=3}
（2）理解上的错误，误认为{ y|y=62+x ,x ∈R}等价于{（x,y ）| y=62+x ,x ∈R }或{ x|y=62+x ,x ∈R}
8、集合语言
集合语言就是将数学中的许多概念和知识用集合知识来叙述。
9、集合中含参问题的处理方法
分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，它适用于解答从整体上难以解决的数学问题。运用分类讨论思想解决问题时，把所给的已知条件的集合进行科学的划分十分必要，必须遵循不重不漏和最简原则，其一般步骤是：
（1）考察分类讨论思想；
（2）明确分类讨论对象，确定对象的范围；
（3）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
（4）逐类讨论，获得阶段性结果；
（5）归纳总结，得出结论。
二、典例归纳
考点一：集合含义，常用数集及其记法（选择题）
【例1】下列每组对象是否构成一个集合：
（1） 数学必修1课本中所有的难题；
（2） 不超过20的非负数
（3） 方程016-2=x 在实数范围内的解；
（4） 3的近似值的全体
【例2】已知集合A={12,52,22a a a +-}，且-3∈A ，求a 的值。
【例3】集合A={Z b Z a b a x x ∈∈+=,,2|}，判断下列元素231,121.
0--=x 与集合A 之间的关系。
【例4】由实数x ，－x ，||x ，2x ，33x -，所组成的集合最多含有元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【变式1】下列各项中，不可以组成集合的是（ ）
A 所有的正数
B 等于2的数
C 接近于0的数
D 不等于0的偶数
★【变式2】下面命题正确的有（ ）
（1） 很小的实数可以构成集合；
（2） 集合}1|{2-=x y y 与集合}1|),{(2-=x y y x 是同一个集合；
（3） 5.0|,2
1|,46
,23,1-这些数组成的集合有5个元素； （4） 集合},,0|),{(R y x xy y x ∈≤是指第二和第四象限内的点集
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
【变式3】下面四个命题中正确的个数是（ ）
（1）集合N 中最小的数是1,；（2）若-a 不属于N ，则a 属于N ；（3）若a ∈N ，b ∈N ，则a+b 的最小值为2；（4）x x 212
=+的解可以表示为{1,1}
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
【变式4】若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 等腰三角形
★【变式5】设非空集合S={x|m ≤x ≤l}满足：当x ∈S 时，有S x ∈2，给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m=21-，则141≤≤l ；③若21=l ，则02
2≤≤-m 其中正确的命题个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3
★【变式6】由实数33222,)(,|,|,x x x x x x --所组成的集合中最多含有 个元素。 方法总结：（1）判断一组对象能否组成集合，关键看对象的标准是否明确．如果此组对象的限定范围满足确定性，就可组成集合；否则，不能组成集合
（2）判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性。
（3）解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析、解决。一方面，要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，解决问题的同时，应注意检验元素是否满足它的“三性”。
（4）由集合相等求参数，应从集合相等的概念入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，需进行分类讨论．注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍 考点二：元素与集合的关系（选择题）
【例1】已知集合M={（x,y ）|x+y=2},N={（x,y ）|x-y=4},若N a M a ∈∈且，那么a 为（ ）
A {3，-1}
B （3，-1）
C {（3，-1）}
D {x=3,y=-1}
【例2】用“∈”或“?”符号填空：
（1）8 N ； （2）0 N ；
（3）-3 Z ； （4
【例3】（1）用适当的符号填空：已知A={x|x=3k+2,k ∈Z},B={x|x=6m-1,m ∈Z}，则有： 17 A ；-5 A ；17 B
（2）已知集合M={x|x=3n,n ∈Z}，N={x|x=3n+1,n ∈Z}，P3={x|x=3n-1,n ∈Z}且a ∈M,b ∈N,c ∈P,设d=a-b+c ，则（ ）
A d ∈M
B d ∈N
C d ∈P
D 以上都不对
【变式1】已知集合A={y|y=R x x x ∈-+,45-2},则有（ ）
A 1∈A ，且4∈A
B 1∈A ，但4?A
C 1?A ，但4∈A
D 1?A ，且4?A
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A *0N ∈
B Q ∈2
C Q ∈π
D Z ∈2-
【变式3】用适当的符号填空
（1≤2}, (1,2) {(x,y)|y=x+1}
（2）2+≤32+}
【变式4】已知321-=
a ，},,3|{Z n m n m x x A ∈+==，则a 与A 之间是什么关系
★【变式5】设b ax x y ++=2，A={x|y=x}={a}，M={（a,b ）}，求M
★【变式6】集合A={x|x=3n+1,n ∈Z}，B={x|x=3n+2,n ∈Z}，M={x|x=6n+3,n ∈Z}
（1）若m ∈M ，问：是否有a ∈A,b ∈B ，使m=a+b 成立？
（2）对于任意a ∈A,b ∈B ，是否一定有a+b=m 且m ∈M ？证明你的结论。
★【变式7】设P 是一个数集，至少含有两个数，若任意a,b ∈P ，都有a+b,ab,b
a ∈P （除数
b ≠0），则称P 是一个数域。例如有理数集Q 是数域；数集Q}b a,|2b {a ∈+=F 也是数域。下列命题：①整数集是数域；②数域必为无限集；③存在无穷多个数域
其中正确的命题序号是 。
方法总结：（1）a ∈A 与a ?A 取决于a 是不是集合A 中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a 和A ，a ∈A 与a ?A 这两种情况中必有一种且只有一种成立。
（2）符号∈和?是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系 考点三：集合表示的常用方法（选择题、解答题）
【例1】用列举法表示下列集合：
（1） 小于10的所有自然数组成的集合A ；
（2） 方程x 2=x 的所有实数根组成的集合B ；
（3） 由1到20以内的所有质数组成的集合C ；
（4） D={（x,y ）|x+y=4,x ∈*N ,y ∈*
N }；
（5） E={y|y=4-2+x ,x ∈N,y ∈N}； （6） 方程组20;20.x y x y +=??-=?
的解组成的集合F （7） G={x|*,,5,N q N p q p x q
p ∈∈=+=} 【例2】用集合语言表示下列集合：
（1） 坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合；
（2） 所有被3除余1的整数的集合；
（3） 使6
12-+x x 有意义的实数x 的集合 【例3】用特定的方法表示下列集合：
（1） A={（x,y ）|x+y=5,x,y ∈N}；（列举法）
（2） B={7
564534231，，，，}；（描述法）
【例4】可以表示方程组???-=-=+1
3y x y x 的解的集合是
①{x=1,y=2}；②{1，2}；③{（1,2）}；④{（x,y ）|x=1或y=2}；⑤{（x,y ）|x=1且y=2}；
⑥{（x,y ）|???==2
1y x }；⑦{（x,y ）|0)2()1(22=-+-y x } ★【例5】设集合S 是满足下面两个条件的集合：①S ?1；②若S a ∈，则
S a ∈-11。 （1） 求证：若S a ∈，则S a
∈-11； （2） 若S ∈2，则在S 中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
（3） 求证：集合S 中至少有三个不同的元素
【变式1】方程组?
??=-=+52y x y x 的解集用列举法表示为 ；用描述法表示为 。 【变式2】已知集合}68|
{N x
N x A ∈-∈=，试用列举法表示集合A
【变式3】设集合P={3,4,5}，Q={4,5,6,7}，若定义新集合P*Q={(a,b)|a ∈P,b ∈Q},则集合P*Q 中元素的个数为（ ）
A 3
B 4
C 7
D 12
*【变式4】已知集合A={1,2,3,4,5}，B={（x,y ）|x ∈A,x-y ∈A},则B 中所含元素的个数为（ ）
A 5
B 4
C 3
D 2
*【变式5】设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A,如果A k A k ?+?-11且，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，
不含“孤立元”的集合共有 个。
方法总结：（1）元素法 描述法
（2）用列举法表示集合，需先辨析集合中元素的特征及满足的性质，再一一列举出满足条件的元素
（3）用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质，且用“|”隔开；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围
考点4：集合中含参问题（解答题）
【例1】已知集合A={33,)1(,222++++a a a a }，若I ∈A ，求实数a 的值。
【例2】A 是由方程)(0122
R a x ax ∈=++的实数根组成的集合
（1）当A 中有两个元素时，求a 的取值范围；
（2）当A 中没有元素时，求a 的取值范围；
（3）当A 中有且仅有一个元素时，求a 的值，并求出此元素
【变式1】已知集合},023|{2R a x ax R x A ∈=+-∈=
（1）若A 中不含有任何元素，求A 的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；
（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。
通过对元素规律的观察，概括出特征
根据特征，找出具体规律
方法总结：分类讨论的思想
三、课堂练习
1.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A ．高一全体女生
B ．高三（1）班家长全体
C ．高中所有课程
D ．高一（1）班中个子较高的学生
2、下列各组对象，能构成集合的有( )
①对环境污染不太大的塑料；
②中国古典文学中的四大名著；
③所有的正方形；
④方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根．
A ．①
B ．①②
C ．②③④
D ．①②③④
3、下列表述中正确的是( )
A.{}00?
B.{}{}1,33,1=
C.{}00=
D.0N ?
4、下列关系：①0.21∈Q ；②
510?N *；③4-∈N *；④4∈N .其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5、已知集合A ＝{x ∈N |－1≤x ≤2}，则必有( )
A ．－1∈A
B ．0∈A C.∈A D ．2∈A
6、已知集合A ＝{x ∈N ＋|－5≤x ≤5}，则必有 ( )
A.－1∈A
B.0∈A
C.3∈A
D.1∈A
7、 定义集合运算：A ⊙B {}
(),,z z xy x y x A y B ==+∈∈，其中{}{}3,2,1,0==B A ，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ ）
A 0
B 6
C 12
D 18
8、集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为 ( )
A. 0
B. 1
C. 0或1
D. 小于等于1
9、用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( )
A.{1,1}
B.{1}
C.{x ＝1}
D.{x 2－2x ＋1＝0}
10、若a ∈N ，但a ?N *，则a ＝________
11、用符号∈或?填空：
(1)1________{1} (2)a ________{a ，b ，c }
(3)－3________{4，－2} (4)0________N *
(5)π Q (6)3________R
(7)若A ＝{x |x 2＝x }，则－1________A ；
(8)若B ＝{x |x 2＋x －6＝0}，则3________B ；
(9)若C ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，则8________C ；
(10)若D ＝{x ∈Z |－2＜x ＜3}，则1.5________D
12、已知M ＝{x|x ≤22}，且a ＝32，则a 与M 的关系是
13、.已知P ＝{x|2＜x ＜a ，x ∈N }，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a ＝ .
14、若－3∈{a －3,2a －1，a 2－4}，则实数a 构成的集合为________
15、由大于1小于5的自然数组成的集合用列举法可以表示为________．用描述法可以表示为________。
16.a b 、均为非零实数，且a b y a b
=+，则y 可能取值的集合为 17、求方程组??
?=-=+9
122y x y x 的解集
18、若1∈{x 2＋1,2，x }，求x 的值
19. 已知集合{}33,)1(,222++++=a a a a A ，若1A ∈，求a 的值.
20.设P Q 、为两个非空数集，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5},P = }6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的个数是.
21、用列举法表示集合
（1） {}
234A x x x =+=；
（2）集合
{}24,B y y x x y N ==-∈、；
（3）集合6,3D x
Z x N x ??=∈∈??-??
；
22、用描述法表示集合
（1）100内被3除余2的正整数所组成的集合P ；
（2）平面直角坐标系内在x 轴上方的点组成的集合.
23、集合}1{2+==x y x A ,集合}1{2+==x y y B ,集合}1{2+==t y t C ,集合
}1),{(2+==x y y x D ,辨析四个集合有什么不同；
24.已知集合{}
2210A x ax x =++=.
（1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 是单元素集，求a 的值；
（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围.
25.已知集合{}22,,,{2,2,}M a b N a b ==，且M N =，求实数a b 、的值.
26.（1）设集合{},,P x y x y xy =-+，{}
2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求x y 、的值及集合P 、Q ；
27、已知集合{}
2,,0,,,
1b b a Q b b a P +=??????=，且Q P =，求20112011b a +的值.
四、课后作业
1.下列给出的对像中，能表示集合的是( )
A.一切很大的数
B.无限接近零的数
C.聪明的人
D.方程22-=x 的实数根
2.集合{5,}x x x N +<∈的另一种表示法是（ ）
A.{0，1，2，3，4}
B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5}
D.{1，2，3，4，5}
3.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ） A.{311,}x x x Q -<<∈ B.{311}x x -<< C.{311,2,}x x x k k N -<<=∈ D.{311,2,}x x x k k Z -<<=∈
4.方程的解集为{}
22320x x x --=，用列举法表示为___________________________.
5.在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________________________.
6.设集合{}**(,)6,,A x y x y x N y N
=+=∈∈，用列举法表示集合A =
7.已知集合126A x N
N x ??=∈∈??-??
,用列举法表示集合A =
8.已知2{8160}A x kx x =-+=中只有一个元素，则实数k 的取值范围为.
9、已知集合A ＝{x|ax 2－3x －4＝0，x ∈R }． (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；
(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
高一数学必修一 函数知识点总结
3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1
第一章-集合与函数概念教案典型例题
集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}
2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( )
陕西省高中数学人教新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值
陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大 （小）值 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数 的图像只可能是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知y=f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，与g（x）图象关于x=1对称，当x∈[2，3]时，g （x）=2a（x﹣2）﹣3（x﹣2）2 ， a为常数，若f（x）的最大值为12，则a=（） A . 3 B . 6 C . 6或 D .
3. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间 上有最大值3，最小值，则的值是（） A . B . C . D . 4. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A . y=﹣3|x| B . y= C . y=log3x2 D . y=x﹣x2 5. （2分）已知f(x)是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数a,b,若a C . D . 7. （2分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A . 0＜a≤3 B . a≥2 C . 2≤a≤3 D . 0＜a≤2或a≥3 8. （2分）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则（） A . B . C . D . 9. （2分） (2016高一上·杭州期中) 下列函数中，值域为（0，+∞）的是（） A . y= B . C . D . y=x2+x+1 10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（） A . 高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间 阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课 教学目标1、通过复习熟练掌握集合概念及其运算，以及集合的几种表示方法 2、通过复习熟练掌握函数的概念以及函数的性质，进一步体会运动变化、数形结合、代数转化以及集合与对应的数学思想方法 教学重难点教学重点：集合的概念与表示、集合的运算、函数的概念以及函数的性质教学难点：集合的运算、函数的概念以及性质的具体运用 教 学 过 程 课后作业：教学反思： 知识点一：集合的性质与运算 例1、已知集合{}2 1,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件. 例2、设{} 022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62 =++++=q x p x x B ，若? ?????=21B A ， 则=B A （ ） （A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 例3、如图U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、()u M P C S D 、 ()u M P C S 例4、设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[- 例5、设{ }{} I a A a a =-=-+241222 ，，，，，若{}1I C A =-，则a =__________。 知识点二：判断两函数是否为同一个函数 例6、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x x f =)(，?? ?<-≥=; 01 , 01 )(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f =)(1+x ，x x x g += 2)(； （5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g 第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示． 对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D 【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修1 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中 元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用. 自 主 预 习 1.元素与集合的相关概念 . 统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) . 组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) . 、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) . 我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示 . 表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) . 表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系 .A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ . A ?a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N * 或 N ＋ Z Q R 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( ) (2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( ) (3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( ) 提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确. (2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错 误. (3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体 著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合. 高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/ 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 集合（第1课时） 一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特征 等集合的基础知识。 ②重点：集合的基本概念及集合元素的特征 ③难点：元素与集合的关系 ④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元 素的基本属性的理解与把握。 二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合， 培养分析、判断的能力； ②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。 三、教学过程： Ⅰ）情景设置： 军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 Ⅱ）探求与研究： ①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） ②为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个 整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、 B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记 为……（板书） 另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母a、b、c……（或x1、x2、x3……）表示 同学口答课本P5练习中的第1大题 ③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出： 对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合 A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a A ④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。 ⑤在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅读课本P4上与数集有 关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书N、Z、Q、R、N*（或N+）） 注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4……的概念有所不同 同学们完成课本P5练习第2大题。 人教版高中数学必修1 集合与函数概念教学设计 一、教材分析 集合语言是现代数学的基本语言使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容本章中只将集合作为一种语言来学习学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象发展运用数学语言进行交流的能力函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变思维从静止走向了运动、从运算转向了关系函数是高中数学的核心内容是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系用函数的思想去理解这些内容是非常重要的出发点，反过来通过这些内容的学习加深了对函数思想的认识函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终高中数学课程中函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数在必修四将学习三角函数函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 二、学情分析 1学生的作业与试卷部分缺失导致易错问题分析不全面通过布置易错点分析的任务让学生意识到保留资料的重要性。 2学生学基本功较扎实学习态度较端正有一定的自主学习能力但是没有养成及时复习的习惯有些内容已经淡忘通过自主梳理知识让学生感受复习的必要性培养学生良好的复习习惯. 三、设计思路 本节课新课中渗透的理念是“强调过程教学启发思维调动学生学习数学的积极性”在本节课的学习过程中教师没有把梳理好的知识展示给学生而是让学生自己进行知识的梳理一方让学生体会到知识网络化的必要性另一方面希望学生养成知识梳理的习惯在本节课中不断提出问题采取问题驱动引导学生积极思考让学生全面参与整个教学过程尊重学生的思维方式引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题通过自主分析、交流合作从而进行有机建构解决问题改变学生模仿式的学习方式在教学过程中渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想在教学过程中通过恰当的应用信息技术从而突破难点。 四、教学目标分析 (一)知识与技能 1了解集合的含义与表示理解集合间的基本关系集合的基本运算 A能从集合间的运算分析出集合的基本关系 B对于分类讨论问题能区分取交还是取并。 2理解函数的定义掌握函数的基本性质会运用函数的图象理解和研究函数的性质 A会用定义证明函数的单调性、奇偶性 B会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系 (二)过程与方法 1通过学生自主知识梳理了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的 基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数高中数学必修一函数难题
集合与函数概念复习教案一对一教案
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