初三数学重点难点总复习专题圆生

初三数学重点难点总复

习专题圆生

集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

2018年九年级数学总复习—

圆专题复习

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内?d r

2、点在圆上?d r

=?点B在圆上；

3、点在圆外?d r

>?点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离?d r

>?无交点；

2、直线与圆相切?d r

=?有一个交点；

3、直线与圆相交?d r

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）?无交点?d R r

>+；

外切（图2）?有一个交点?d R r

=+；

相交（图3）?有两个交点?R r d R r

-<<+；

A

内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD

例题1、 基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（ ）

A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心

D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（ ）．

A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B ．过弦的中点的直线必过圆心

C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

D ．弦的垂线平分弦所对的弧

图4

图5

B

D

例题2、垂径定理 1、

在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如

果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.

2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .

（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.

4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．

5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是

的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：

AD=21

BF.

例题3、度数问题

1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.

A

E F

2、已知：⊙O的半径1

=

OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC

∠的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的

半径分别为b

a,.求证：2

2b

a

BD

AD-

=

?.

例题7、平行与相似

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于

CD

AE⊥E，CD

BF⊥于F.求证：FD

EC=.

A B

D

C

E

O

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；

③OC OF =；④ 弧BA =弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角

∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，

相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==

B

B

A

∴△ABC是直角三角形或90

∠=?

C

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所

表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形

【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平

分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

（1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长；（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长．

【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．

（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立请说明理由．

（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结

论，并证明你填写结论的正确性．

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴180

C BAD

∠+∠=?180

B D

∠+∠=?DAE C

∠=∠

例1、如图7-107

，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C

四点共圆．

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MN OA

⊥且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

E

D

C

B

A

O

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠

利用切线性质计算线段的长度

例1：如图，已知：AB 是⊙O 的直径，P 为延长线上的一点，PC 切⊙O 于C ，CD ⊥AB 于D ，又PC=4，⊙O 的半径为3．求：OD 的长．

利用切线性质计算角的度数

例2：如图，已知：AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于C ，AE ⊥CD 于E ，BC 的延长线与AE 的延长线交于F ，且AF=BF ．求：∠A 的度数．

B

O

利用切线性质证明角相等

例3：如图，已知：AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：∠MCN=∠MDN．

利用切线性质证线段相等

例4：如图，已知：AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：CD=CE．

利用切线性质证两直线垂直

例5：如图，已知：△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：DE⊥AC．

十一、圆幂定理

（1） 相交弦定理：圆内两弦相交， （2） 交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ?=?

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =?

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =?

D

B

B

A

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线

∴PC PB PD PE

?=?

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝

_________cm。

图2

例3.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3

例4.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

例5.如图5，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB

图5

例6.如图6，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC 于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。求证：BC＝2OE。

图6

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB

十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：12Rt O O C ?

中，221AB CO =

（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?

中进行：

::2OD BD OB =；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?

中进行，

::OE AE OA =

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?

中进行，

::2AB OB OA =.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180

n R

l π=

；

l

O

（2）扇形面积公式： 21

3602

n R S lR π=

= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

2S S S =+侧表底=222rh r ππ+

（2）圆柱的体积：2V r h π= 3 .圆锥侧面展开图

（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+

（2）圆锥的体积：21

3

V r h π=

C 1

D 1