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小学奥数几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积=底?高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13

，则三角形面积与原来的一样．这

就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 12::S S a b =

S 2S 1 D

C B

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

三角形等高模型与鸟头模型

反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3

个面积相等的三角形；

⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，

答案不唯一：

C D

B A G D B A

⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

⑸

⑷⑶⑵⑴

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

【例 2】如图，BD

长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？

⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？

【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC

为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高

所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43

倍；

三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。

【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，

那么图中阴影部分的面积是平方厘米。

【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326?÷=(平方厘

米)。

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是

50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米。

【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的

一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米。

【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD

的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是。

F B

【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为

20121202

??=。

【例 4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD

边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。

E B

A 【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。

连接BH 、CH 。 ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．

同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，

∴1156282

ABCD S S ==?=阴影长方形(平方厘米)．

【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方

形的边长是12，那么阴影部分的面积是。

G E

【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三

段。把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个

边上，它们的长度都E G

是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等。

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

【例 5】长方形ABCD 的面积为

362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意

一点，问阴影部分面积是多少？

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：

可得：12EHB AHB S S ??=、12

FHB CHB S S ??=、1

DHG DHC S S ??=，

而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ???=++= 即11

()36182

EHB BHF DHG AHB CHB

CHD S S S S S S ??????++=++=?=；

而

EHB BHF DHG EBF

S S S S S ????++=+阴影，

11111

()()36 4.522228

EBF S BE BF AB BC ?=??=????=?=。

所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ?=-=-=阴影

解法二：特殊点法。找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，

那么图形就可变成右图：

(H )

这样阴影部分的面积就是DEF ?的面积，根据鸟头定理，则有： 11111113636363613.52222222

ABCD AED BEF CFD S S S S S ???=---=-??-???-??=阴影。

【例 6】长方形ABCD 的面积为

36，E 、F 、G 为各边中点，H

为AD 边上任意一

点，问阴影部分面积是多少？

【解析】（法1）特殊点法。由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点

与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ?与ADG ?的面积

之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18

和14

，所以阴

影部分面积为长方形ABCD 面积的1138

+=，为33613.58

?=。

（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图。

可得：12

EHB AHB S S ??=、12

FHB CHB S S ??=、12

DHG DHC S S ??=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ???=++=，

即11()36182

EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ??????++=++=?=；

而EHB BHF DHG EBF S S S S S ????++=+阴影，11111()()36 4.52

EBF S BE BF AB BC ?=??=????=?=。

所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ?=-=-=阴影。

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边

二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积。

【解析】（法1）特殊点法。由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，

假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14

和16

，所以阴影部分的面积为

211

6()1546

?+=平方厘米。

（法2）连接PA 、PC 。

由于PAD ?与PBC ?的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14

，同理可知左、

右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16

，所以阴影部

分的面积为2116()154

?+=平方厘米。

【例 7】如右图，E

在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形

ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？

B A

【解析】因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，

AD 是三角形ABC 的高，ED 是三角形EBC 的高，

于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =?÷=?

三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =?÷=?

所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．

【例 8】如图，在平行四边形

ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF

那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？

【解析】 AEC 、AFC 、ABF ．

【巩固】如图，在ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，

那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？

D C

B A

【解析】 3个，AEC 、BED 、DEC ．

【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

【解析】 ABD 与ACD ，ABC 与DBC ，ABO 与DCO ．

【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，

2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？

B E

C D

C E

B A

【解析】连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE

ACB

又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===．

【例 10】

(2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面

积为5平方厘米，ABC ?的面积是平方厘米．

【解析】连接CD ．根据题意可知，DEF ?的面积为DAC ?面积的13

，DAC ?的面积为

ABC ?面积的12，所以DEF ?的面积为ABC ?面积的111

236

?=．而DEF ?的面积

为5平方厘米，所以ABC ?的面积为15306

÷=(平方厘米)．

【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE

长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？

【解析】 ABD ，ABC 等高，所以面积的比为底的比，有1

ABD

ABC

BD S

BC =

所以

ABD

180902

ABC

S ?=?=(平方厘米)．同理有

90303

ABE

ABD

AE S

S AD

?=?=(平方厘米)，3

AFE

ABE

FE S S BE

3022.5?= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．

【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24

AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．

C D

Z Y

【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =??，14

ZCY DCB S S =，

又∵ABCD 是长方形，∴11124442

ZCY DCB ABCD S S S ==?= (平方厘米)．

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．

E D

【解析】三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，

三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．

三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．

【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB

和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？

E C

【解析】 ∵F 是AC 的中点

∴2ABC ABF S S =

同理2ABF BEF S S =

∴486246BEF ABC S S =÷=?÷÷=(平方厘米)．

【例 11】

如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．

F E G

D C B

D C B A

【解析】如右图分割后可得，243649EFG DEFC ABCD S S S =÷=÷=÷=矩形矩形（平方单位）．

【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，

N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？

【解析】连接BM ，因为M 是中点所以ABM △的面积为14

又因为2AN BN =，所以

BDC △的面积为111

4312?=，

又因为BDC △面积为12

，所以阴影部分的面积为：

115112212

-=.

【例 12】

如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．

【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB =

=+，241

24483

CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212

+++??=．

【例 13】

如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20

平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？

【解析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =，4ADC

ADE

=；

又∵2DC BD =，∴1.5BC DC =，1.56120ABC ADC ADE S S S ===(平方厘米)．

【例 14】

(2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已

知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是．

【解析】根据题意可知，8928117ADC ADE DCE S S S ???=+=+=，

所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ??===，

那么::2:9DBE ADE S S BD AD ??==，

故222789(901)20199

DBE S ?=?=-?=-=．

【例 15】

(第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．

【解析】如右图，作AB 的平行线DE ．三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面

积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：21054?÷=(分米)，梯形面积是：154230?÷=(平方分米)．

【例 16】图中AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形

ABCD 的面积．

【解析】在ABD 中，因为215cm AOB

=，且3OB OD =，所以有235cm AOD

AOB

=÷=．

因为ABD 和ACD 等底等高，所以有ABD ACD S S =．

从而215cm OCD S =，在BCD 中，2345cm BOC OCD S S ==，所以梯形面积：

2155154580cm +++=（）

．

【例 17】

如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．

A′A

【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形

与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A 移到CB 的延长线上的A ′处，A ′BD 与 ABD 面积相等，从而A ′DC 面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形A ′DC ．问题是A ′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A ′点．具体做法：⑴ 连接BD ；

⑵ 过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′．

⑶ 连接A ′D ，则A ′CD 与四边形ABCD 等积．

【例 18】

（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，

绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？

红

绿

黄红

【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方

形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%-=．

已知黄色三角形面积是221cm ，所以长方形面积等于2135%60÷=（2cm ）．

【例 19】

O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ?的面积是25cm ，OAB ?的面积是

22cm ，求OBD ?的面积是多少？

【解析】由于ABCD 是长方形，所以

AOD BOC ABCD

S S S ??+=，而

ABD ABCD

S S ?=，所以

AOD BOC ABD S S S ???+=，则BOC OAB OBD S S S ???=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ???=-=-=．

【例 20】

如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？

【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面

积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差．如右上图，连接CP 、AP ．

由于12

BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ?????+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ???-=．

而12

BCP BCFE S S ?=，12

ABP ABHG S S ?=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ???-=-==(平方分

米)．

【例 21】

如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ?的面积是15，求阴影BPD ?的面积．

【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，

可得//PO DC ，所以DPO ?与CPO ?面积相等(同底等高)，所以有：

BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ?????+=+=，

因为1120544

BOC ABCD S S ?==?=，所以15510BPD S ?=-=．

【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ?的面积是5，求阴影BPD ?的面积．

【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，

可得//PO DC ，所以DPO ?与CPO ?面积相等(同底等高)，所以有:

BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ?????+=+=，

因为134

BOC ABCD S S ?==，所以532BPD S ?=-=．

【例 22】

在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ?的面积为16，等腰DOC ?的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ?的面积是多少？

【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去DOC ?的面积(长方形面积的18%)，

再减去AOD ?的面积，即可求出AOC ?的面积．

根据模型可知12

COD AOB ABCD S S S ??+=，所以1

1618%502

ABCD S =÷-=（），

又AOD ?与BOC ?的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD ?的面积等于长方形面积的14

，

所以125%18%2

AOC ACD AOD COD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S ????=--=--2512.593.5=--=．

【例 23】

（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ? 的面积为215cm ，而BCG ?的面积恰好是梯形ABCD 面积的720

，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．

A B C D

A B C

【解析】如果可以求出ABG ?与CDG ?的面积之和与梯形ABCD 面积的比，那么就可

以知道ADG ?的面积占梯形ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形ABCD 的面积．

如图，连接CE 、DE ．则AEG DEG S S ??=，BEG CEG S S ??=，于是ABG CDG CDE S S S ???+=．要求CDE ?与梯形ABCD 的面积之比，可以把梯形ABCD 绕F 点旋转180?，变成一个平行四边形．如下图所示：

从中容易看出CDE ?的面积为梯形ABCD 的面积的一半．(也可以根据

12BEC ABC S S ??=，12AED AFD ADC S S S ???==，111

222

BEC AED ABC ADC ABCD S S S S S ????+=+=得来)

那么，根据题意可知ADG ?的面积占梯形ABCD 面积的173122020

--=，所以

梯形ABCD 的面积是2315100cm 20

÷=．

小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G 与E 重合，则CDE ?的面积占梯形面积的一半，那么ADG ?与BCG ?合起来占一半．

【例 24】

如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

B A

【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等

和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接BE ．(我们通过ABE △把这两个看似无关的平行四边形联

系在一起．)

∵在平行四边形ABCD 中，12

ABE S AB AB =??△边上的高，

∴12

ABE ABCD S S =△．

同理，12

ABE AEGF

S S

=△，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．

【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

A B

C E F D

A B

F D

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方

形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一

起)．

∵在正方形ABCD 中，G 12

AB S AB AB =??△边上的高，

∴12

ABG ABCD S S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的

一半)

同理，12

ABG EFGB S S =△．

∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等．长方形的宽8810 6.4=?÷=(厘

米)．

【例 25】

如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的

面积为．

F E

D C

A A B

F G

【解析】连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．

三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

66 1.562262 4.54216.5DEF S =?-?÷-?÷-?÷=△,所以长方形

EFGH 面积为33．

【例 26】

如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE 的面积为4

平方厘米．求三角形CDF 的面积．

F B

【解析】连结

AF 、CE ．

∴ADE ACE S S =；CDF ACF S S =；

又∵AC 与EF 平行，∴ACE ACF S S =． ∴ 4ADE CDF S S ==(平方厘米)．

【巩固】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，

若1ADE S =△，求BEF △ 的面积．

B C

【解析】本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在

一组平行线之间的三角形面积相等)和等量代换的思想．连接AC ． ∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S =△△ 同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S =△△

又ACF ACE AEF S S S =+△△△，ABF BEF AEF S S S =+△△△，∴ ACE BEF S S =△△，即1BEF ADE S S ==△△．

【例 27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三

角形的面积是多少平方厘米．

【解析】 4428?÷=．

【例 28】

如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中

正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．

A K E

【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方

向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．

如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ??=，KGE FGE S S ??=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．

【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．

【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正

方形的边长没关系．连接AD (见右上图)，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428?÷=．

【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH

的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．

【解析】如图，连接AF ，比较ABF ?与ADF ?，由于AB AD =，FG FE =，即ABF ?与ADF

?的底与高分别相等，所以ABF ?与ADF ?的面积相等，那么阴影部分面积与ABH ?的面积相等，为6平方厘米．

【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？

【解析】方法一：三角形BEF 的面积2BE EF =?÷，

梯形EFDC 的面积22EF CD CE BE EF =+?÷=?÷=（）三角形BEF 的面积，

而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形DHF 的面积=三角形BCH 的面积，

进而可得，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积1010250=?÷=(平方厘米)．

方法二：连接CF ，那么CF 平行BD ，

所以，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积

50=(平方厘米)．

【巩固】(人大附中考题)已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．

【解析】如果注意到DF 为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的

斜边)，那么容易想到DF 与CI 是平行的．所以可以连接CI 、CF ，如上图．

由于DF 与CI 平行，所以DFI ?的面积与DFC ?的面积相等．而DFC ?的面积为1104202

??=，所以DFI ?的面积也为20．

【例 29】

(2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．

D C

G F

D C B

【解析】连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．

由于HCG ?面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12

，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ?的面积为12平

方厘米，AHF ?的面积为6平方厘米，AHC ?的面积为3平方厘米．

那么正方形CGEF 的面积为()612236+?=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ?的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =?÷=(厘米)，即正方形

ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21

369349.52

++?=(平

方厘米)．

【例 30】

(第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份，则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比三角形等高模型与鸟头模型【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方图⑵

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形么三角形ABC的面积是多少？ ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ ADE的面积等于1，那 = 15S ADE =15 . 【巩固】【解析】连接AD . 【解析】

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020

几何五大模型——鸟头模型本讲要点一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。）二一点在边上，一点在边的延长线上：

例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大

如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求 CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使 2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少家庭作业例6 A C E

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型一、共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ；反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC 的面积是平方厘米．例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大

如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在 AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少家庭作业例6 A C E

小学奥数几何五大模型

几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB平行于CD。例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

小学奥数-几何五大模型

模型四相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+．【例 2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？【解析】有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。【解析】根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律一、等积模型图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等如图(1)：D 为BC 中点，则S△ABD=S△ACD 如图(4)：l1平行于l2，则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比如图(2)： S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图(3)：BC=EF ，则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形如图(4)：l1平行于l2 ，则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD，则可知直线l1平行于l2 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形． D B h A B D C h1 h2 l2 l2 B C h1 F E D h2 B C D h

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．共角互补角图(1) 图(2) 如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)，则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE 三、相似模型数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。相似符号：“∽” 相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E A D E F C B D E O B A

小学奥数-几何五大模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=，任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ．解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ．【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862，根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

奥数专题：几何五大模型(鸟头模型)

鸟头模型如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16 ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等

于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，

小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型

两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、 BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4 3 倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326?÷=(平方厘米)。 C D B A

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化?但是，当三角形的底和高同时 1 发生变化时，三角形的面积不一定变化?比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来 3 的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状. 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD ? ④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考: 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ ⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍? 因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面积 12高2 6高三角形ABC 的面积（12 4）高2 8高三角形ADC 的面积 4高2 2高 4 所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的-倍； 3 三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的3倍。如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。 D C 图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米。【例1】【解【例2】【解析】【例3】【解析】 ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:

小学的奥数几何五大模型燕尾模型

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么，上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积. 通过一道例题证明燕尾定理：如右图，D 是BC 1423:::S S S S BD DC == 【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==. 【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理， 12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以55 12 12 DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133 ABD ABC S S ==△△， 1121 2233 ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以 11 ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111 22323212 DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512 ．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. 【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103 ABE ABC S S ==△△，1152 ABD ABC S S ==△△．例题精讲燕尾定理

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