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解圆锥曲线问题常用方法(一)

解圆锥曲线问题常用方法(一)
解圆锥曲线问题常用方法(一)

解圆锥曲线问题常用方法(一)

1定义法

(1)椭圆有两种定义。第一定义中,「i+「2=2a。第二定义中,r i=ed i r2=ed2。

(2)双曲线有两种定义。第一定义中,=2a,当r i>r2时,注意"的最小值为c-a:第二定义中,r i=ed i, h=ed2, 尤其应注意第二定义的应用,常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不

求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x i,y i),B(x 2,y2),

弦AB中点为M(x°,y o),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:

2 2

(1)-y7 =i(a b 0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(X o,y o),则有务?卑k=0。

a b a b

2 2

(2)务-吕=1(a 0,b 0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x°,y°)则有电一聲k=0

a b a b

(3)y =2 px ( p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(X0,y0),则有2y°k=2p,即y o k=p.

【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点P的坐标为_________________

⑵抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为___________________

分析:(1) A在抛物线外,如图,连PF,则PH = PF,因而易发现,共线时,距离和最小。

(2) B在抛物线内,如图,作QR丄I交于R,则当B、Q、R三点共线时, / 1

H

I

1

A

Q

JT

P B

1 f -

当A、P、F三点F

距离和最小。

解: ( 1) (2, 2 ) 代入y 2=4x 得P(2,2 ,2),(注:另一交点为(丄它为直线AF 与抛物线的另一交点,舍去)

2

1 (2)(丄,1)

4

过Q 作QR 丄I 交于R ,当B 、Q 、R 三点共线时,BQ|

|BQ

QR 最小,此时 Q 点的纵坐标为1,代入y 2=4x

1

1

得 x=,二 Q( - ,1)

4 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。

2 2

例2、F 是椭圆X y 1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,

4 3

分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ?或准线

作出来考虑问题。

解:(1) 4- ,5

设另一焦点为F [贝U F (-1,0)连A F ,P F

PA +|PF| =|PA +2a-P 「=2a-(PF — PA) Z 2a - AF : = 4-75

当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时,PA +1PF 取得最小值为4-J5。

1

(2)作出右准线 I ,作 PH 丄 I 交于 H ,因 a 2=4, b 2=3, c 2=1 , a=2, c=1 , e=,

2

1

PF| =丄|PH ,即2PF =|PH

??? PA +2PF =|PA + PH

2

当A 、P 、H 三点共线时,其和最小,最小值为

红—x A =4 -1 =3

c

2

2

2

2

连PF,当A 、P 、F 三点共线时, AP + PH = AP + PF 最小,此时AF 的方程为

4 2 - 0 3-1

(x-1) 即 y=2、2 (x-1),

P 为椭圆

上一动点。

(1) PA + PF 的最小值为 ____________________

(2) PA +2PF 的最小值为 _____________________

例3、动圆M与圆C1:(x+1) +y =36内切,与圆C2:(x-1) +y =4外切,求圆心M的轨迹方程。

分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线 (如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MC = MD )。

解:如图,MC = MD ,

AC — MA = MB — DB 即6 — MA = MB -2

MA + MB =8

(*)

2 2

2

XV ???点M 的轨迹为椭圆,2a=8, a=4, c=1 , b 2=l5轨迹方程为

1

16

15

点评:得到方程(* )后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出

.(X 1)2 y^ . (x -1)2 V 2 =4,再移项,平方,…相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!

3

例 4、△ ABC 中,B (-5,0),C (5,0),且 sin C-s in B= si nA,求点 A 的轨迹方程。

5

分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R ( R 为外接圆半径),可转化为边长的关系。

3

??? AB — AC =二 BC

5

即 AB — AC =6

(*)

???点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ?/ 2a=6, 2c=10 ? a=3, c=5, b=4

2 2

所求轨迹方程为X - y -1

(x>3)

9 16

y=x 2上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短距离。

2 2

A (X 1,X 1 ),

B (X 2, X 2 ),又设AB 中点为M (x o y o )用弦长公式及中点公式得

出y 0关于X 0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。

(2) M 到x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。

解法一:设 A(X 1, X 12), B(X 2, X 22), AB 中点 M(x o , y o )

(X 1 —X 2)2 (X 2 —X ;)2 =9 ① 则 X 1 X 2

=2x °

2 + 2

X 1 X 2 2 y o

由①得(X 1-X 2)2[1+(X 1+X 2)2]=9

解: 3

sin C-si nB= sinA

5 3 2Rsi nC-2Rs inB= 一

5

-2RsinA

点评:要注意利用定义直接解题,这里由(

*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例5、定长为3的线段AB 的两个端点在

分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设

即[(X i +X 2)2-4X 1X 2] ? [1+(x 1+X 2)2]=9 ④

2 2

由②、③得 2X I X 2=(2X O ) -2y o =4x o -2y o

代入④得[(2x o )2-(8x o 2-4y o )] ? [1+(2X O )2]=9

2

9 2 9 4y o =4x °

2 = (4X o 1) 2 1

4x o 4x o +1

> 2 9-1=5, y^ - ~

4

『2

5

i 1

2 5

当 4X 0?+ 仁3 即 X o

时,(y °)min

此时 M (

,) 2 4

2 4

法二:如图,2MM 2I =|AA2〔+|BB 2| = |AF| + |BF| 纠AB|=3

3

1 3

二 MM

,即 MM 1 +—色-,

2 4 2

二MM 1色5 ,当AB 经过焦点F 时取得最小值。

4

5

??? M 到x 轴的最短距离为5

4

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 X 1, X 2,从而形成y 。关于X 0的函数,这是一种“设而不求”的方法。

而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点

M 到x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为

A 、

B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性, 简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证

AB 是否能经过焦点F ,而且点M 的坐标也不能直接得出。

2 2

例6、已知椭圆 —

1(2乞m 岂5)过其左焦点且斜率为

1的直线与

椭圆及准线从左到右依次变于

A 、

B 、

C 、

二 4y o _4x :

9 2

1 4x o

m m T

D、设f(m)= I AB - CD | , (1 )求f(m), (2)求f(m)的最值。

分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“不同系统” ,A在准线上,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即可得防

f (m) = (X B _X A ) _ (X D —X C)>/2 =l2K X B —X A )_(X D _X c)|

y 2 (X B X C ) - (X A X D)

=J2(X B

此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。

2 2

X y 2 2 2

解:(1)椭圆1中,a =m,b =m-1,c =1,左焦点F i(-1,0)

m m —1

则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0

得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=0

2 2

???(2m-1)x +2mx+2m-m =0

设B(x 1,y1),c(X2,y2),则X1+X2=-—(2 _ m _ 5)

2m —1

f (m) = AB - CD =V2|(X B -X A)-(X D -X c)

=J2|(X1 +X2)-(X A +X C)= J0X1 +X2I

2m —1

⑵“八‘阳;1?2。爲)

???当m=5 时,一、1072

f (m)min

9

当m=2时,

4丘f ( m) max

3

点评:此题因最终需求X B X C,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(x o,y o),通过将B、C坐

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,

圆锥曲线方法归纳

圆锥曲线方法归纳 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ,1342222=+y x ;两式相减得()()03422 2 12221 =-+-y y x x ?()() ()() 3421212121y y y y x x x x +--=+-?AB k =b a 43- (ⅰ)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时,常用“点差法”“设而不求”整体来求,借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.但在求得直线方程后,一定要代入原方程进行检验. (ⅱ)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤: 设点——设出弦的两端点坐标 ↓ 代入——代入圆锥曲线方程 ↓ 作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开 ↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解 1. 已知椭圆x 2+2y 2=4,求椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程?

2. 如果椭圆x 236+y 29=1的弦被点A (4, 2)平分,求这条弦所在的直线方程 3. 已知直线y =-x +1与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)相交于A , B 两点,且线段AB 的中 点在直线l :x -2y =0上,则此椭圆的离心率为 . 4. 过点M (1, 1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)相交于A , B 两点, 若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于 . 5. 已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A , B 两点,若 线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 . 6. 已知双曲线E 的中心为原点,F (3, 0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),则E 的方程为

圆锥曲线解题技巧教案

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____(答2) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y += 1(0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B , C 同号,A ≠B )。 如(1)已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____(答: 11 (3,)(,2)22 ---) ; (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1 (0,0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A , B 异号)。 如设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=) (3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口 向上时22(0)x py p =>,开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 1

圆锥曲线常用结论

圆锥曲线常用结论 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

圆锥曲线常用结论(自己选择) 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是 以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一 点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点, 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。

圆锥曲线知识点全归纳完整精华版

圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020

圆锥曲线知识点全归纳(精华版) 圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。 一、圆锥曲线的方程和性质: 1)椭圆 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1? 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程:(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程: X=acosθY=bsinθ(θ为参数,设横坐标为acosθ,是由于圆锥曲线的考虑,椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0,圆的acosθ=r) 2)双曲线 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1? 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程:(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程: x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3)抛物线 标准方程: 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程:y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程:y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程:x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程:x^2=-2py其中p>0 参数方程? x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t 可等于0 直角坐标? y=ax^2+bx+c(开口方向为y轴,a<>0)x=ay^2+by+c(开口方向为x轴,a<>0) 圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为?

圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型: (1) 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(小,儿),匕2,),2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。 x2 y2 如:(1) —+ —= 1(?>Z?>O)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),則有cr lr 典+卑《 = 0。 a- \r 2 2 (2) 冷一亠= l(d>0“>0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(x°,y°)則有cr Zr 算-辱0 a~ b- (3) y2=2px (p>0)与直线I 相交于A、B 设弦AB 中点为M (x。, y0),则有 2y?k=2p,即y o k=p. 典型例题给定双曲线,一斗=1。过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点片及鬥,求线段片人的中点P的轨迹方程。 (2) 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点仟、竹构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 X2 y2 典型例题设P(X, y)为椭IS—+ —= 1上任一点,F](—C0),化(c,0 )为焦点, cr lr

APF}F2 =a9 ZPF占=0。 (1) 求证离心率“血3+0): sin a + sin 0 (2) 求IPFf + PFJ’的灵值。 (3) 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定艾去解。 典型例题 抛物线方程y? =p(x +1)(p>0),直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1) 求证:直线与拋物线总有两个不同交点 (2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。 (4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题 < 圆锥曲线中的有关置值(范国)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意艾,一般可用因形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。 (1) ,可以设法得到关于a的不等式?通过解不等式求出a的范囤,即:“求范囤,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把ANAB的面积表示为一个变董的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想二 最值问题的处理思路: 1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求心y的范國; 2、数形结合,用化曲为直的转化思想: 3、利用判别式,对于二次函数求罠值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值:

圆锥曲线方法总结

圆锥曲线考点及方法总结(江苏)1 化斜为直:利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比,然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化,然后联立直线与曲线的方程,利用韦达定理,涉及最值或范围问题时注意带塔>0; 4圆锥曲线中的最值问题:通常构造函数转化为求函数最值(导数求解),也可以保留两个变量运用基本不等式求解,当然在设点时用圆锥曲线的参数方程,这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质:角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程(与焦半径有关的题目才能用) 9参数方程(涉及最值与定值问题时可尝试) 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负(在涉及线段长度的题目中有效) 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多

设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论:k1*k2为定值(与椭圆对称点)点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧:如两直线过同一点只有K不一样,则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据(不只斜率K可以代换,点也可以代换)减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时,考虑能否整体代换,将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一;求出AB直线方程再求定点 方法二:取两个特殊位置的直线,解出交点C,验证交点C是否在直线AB上,只需算k1=k2即可 方法三,若能观察出定点在x轴上,解出AB方程令y=0,解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍:大胆设点,利用以下结论 一:点在曲线上 二:点满足一定条件(题目所给) 三:韦达定理 运用好这三点,就可以做到舍而不求

高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结

高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义:第一定义:平面内到两定点F1(-c,0),F2(c,0)的距离和为定值(大于两定点间的距离|F1F2|)2a的点的轨迹叫椭圆,两定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫焦距,与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义:平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e(0

圆锥曲线解题方法技巧归纳

圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴 上). (1)若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; (2)若角A 为0 90,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程. 分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程; 解:(1)设B (1x ,1y ),C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心,所以由 2321=+x x ,得30=x ,由03421=++y y 得20-=y ,代入(1)得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x (2) 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入,得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+,222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入(2)式得 054163292 2=+--k b b ,解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点(0,)94-,设D (x,y ),则1494 -=-?+ x y x y ,即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图,已知梯形ABCD 中CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线 过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围。

圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式: 2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点M的轨迹是( ) A、双曲线;B 、双曲线的一支;C 、两条射线;D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1) 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有

圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可)

椭圆与双曲线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

圆锥曲线经典结论总结(教师版)

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧.doc

百度文库- 让每个人平等地提升自我 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备: 1.直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k tan , [0, ) k y2 y1 x2 x1 ②点 P(x0 , y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离 Ax0 By0 C d B2 A2 l1 : y k1x b1 夹角为,k2 k1 ③夹角公式:直线则 tan l2 : y k2 x b2 1 k2 k1 ( 3)弦长公式 直线 y kx b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离 ① AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ② AB 1 k2 x x (1 k 2 )[( x x ) 2 4x x ] 1 2 1 2 1 2 ③ AB 1 1 y1 y2 k 2 ( 4)两条直线的位置关系 (Ⅰ) l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2 ① l1 l2 k1k2=-1 ② l1 // l2k1 k2且 b1 b2 l1 : A1 x B1 y C1 0 (Ⅱ) l2 : A2 x B2 y C2 ① l1 l2A1 A2 B1B2 0 ② l1 / /l 2 A1B2 - A2 B1 =0且 AC1 2 - A2C1 0或 A1 B1 C1 者( A2 B2C2 0 )

两平行线距离公式 l 1 : y kx b 1 | b 1 b 2 | l 2 : y kx b 2 距离 d k 2 1 l 1 : Ax By C 1 0 |C 1 C 2 | l 2 : Ax By C 2 距离 d B 2 A 2 2、圆锥曲线方程及性质 1. 圆锥曲线的两定义 : 第一定义 中要重视“括号”内的限制条件 :椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的 和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F 1 F 2 ,当常数等于 F 1 F 2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 , 当常数小于 F 1F 2 时,无轨迹; 双曲线中 ,与两定点 F 1 , F 2 的距离的差的绝对值等于常 数 2a ,且此常数 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ,定义中的 “绝对值”与 2a < |F 1 F 2 | 不可忽视 。 若 2a = |F 1 F 2 | ,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2a ﹥ |F 1 F 2 | ,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x 6)2 y 2 ( x 6)2 y 2 8 表示的曲线是 _____(答:双曲线的左支) 2. 圆锥曲线的标准方程 (标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): ( 1)椭圆 :焦点在 x 轴上时 x 2 y 2 y 轴上时 y 2 x 2 2 2 1 ( a b 0 ),焦点在 2 2 = 1 a b a b ( a b 0 )。方程 2 2 表示椭圆的充要条件是什么?( ≠ ,且 A , B ,C Ax By C ABC 0 同号, A ≠B )。椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程: x 2 y 2 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程: (x c)2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a 参数方程: x a cos , y bsin 若 x, y R ,且 3x 2 2 y 2 6 ,则 x y 的最大值是 ____,x 2 y 2 的最小值是 ___(答: 5,2 ) ( )双曲线:焦点在 x 轴上: x 2 y 2 y 2 x 2 =1( a 0, b 0 )。 2 a 2 b 2 =1 ,焦点在 y 轴上: 2 b 2 方程 Ax 2 By 2 a C 表示双曲线的充要条件是什么?( ABC ≠0,且 A , B 异号)。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 1 、 F 2 在坐标轴上,离心率 e 2 的双曲线 C 过点 F

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝 对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|, 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1 (0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,2 2 y x +的最小值是___ ) (2)双曲线:焦点在x 轴上: 2 2 22b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 如设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴 上,离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=) (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开 口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆,则m 的取值范围是__(答:)2 3 ,1()1,( --∞) (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦 点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例): ①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长 为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2 a x c =± ; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆 越圆;e 越大,椭圆越扁。 如(1)若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ,则m 的值是__(答:3或 3 25); (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 22) (2)双曲线(以22 22 1x y a b -=(0,0a b >>)为 例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等 时,称为等轴双曲线,其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤ 离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大; ⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围: 0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几 何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线: 一条准线2 p x =-; ⑤离心率:c e a =,抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0,则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________(答:)161 , 0(a ); 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x (0a b >>)的 关系:(1)点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>;(2) 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +=1;(3)点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0?>?直线与椭圆相交; 0?>?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0?>,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0?>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0?>?直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0?>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2)相切:0?=?直线与椭圆相切;0?=?直线与双曲线相切;0?=?直线与抛物线相切; (3)相离:0?中, 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒:因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0?>! 11.了解下列结论 (1)双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ; (2)以x a b y ±=为渐近线(即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线)的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数,λ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称 轴的弦)为2 2b a ,焦准距(焦点到相应准线的距离) 为2b c ,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB , 1122(,),(,)A x y B x y ,则①12||AB x x p =++; ②2 21212,4 p x x y y p ==- (7)若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题: 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)

圆锥曲线大题题型归纳演示教学

圆锥曲线大题题型归纳 基本方法: 1.待定系数法:求所设直线方程中的系数,求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等; 2.齐次方程法:解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题; 3.韦达定理法:直线与曲线方程联立,交点坐标设而不求,用韦达定理写出转化完成。要注意:如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根; 4.点差法:弦中点问题,端点坐标设而不求。也叫五条等式法:点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式; 5.距离转化法:将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题; 基本思想: 1.“常规求值”问题需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2.“是否存在”问题当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3.证明“过定点”或“定值”,总要设一个或几个参变量,将对象表示出来,再说明与此变量无关; 4.证明不等式,或者求最值时,若不能用几何观察法,则必须用函数思想将对象表示为变量的函数,再解决; 5.有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验; 6.大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。 题型一:求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、已知F1,F2为椭圆 2 100 x + 2 64 y =1的两个焦点,P在椭圆上,且∠F1 PF2=60°,则△F1 PF2的面积为多少?

点评:常规求值问题的方法:待定系数法,先设后求,关键在于找等式。 变式1-1 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点,P 是双曲线右支上的一点,且 12F PF ∠=120?,求12F PF ?的面积。

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