苏教版数学高一 必修4学案 两角和与差的余弦
3.1两角和与差的三角函数
3.1.1两角和与差的余弦
1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)
3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)
[基础·初探]
教材整理两角和与差的余弦公式
阅读教材P103～P104完成下列问题．
1．两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
2．两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.()
(2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.()
(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )
(4)cos ? ????α＋π4cos ? ????π4－α＋sin ? ????α＋π4sin ? ????
π4－α＝cos 2α.( ) 【解析】 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
公式的直接应用
已知sin α＝45，α∈? ??
??
π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α
－β)的值．
【精彩点拨】 由sin α求cos α；由cos β求sin β，套用cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β公式求值．
【自主解答】 ∵α∈? ????
π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－35.
又β是第三象限角，cos β＝－513，∴sin β＝－12
13. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝? ????－35×? ????－513＋45×? ????－1213 ＝－3365.
解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
[再练一题]
1．已知sin α＝15，α∈? ????π2，π，求cos ? ?
???α－π3的值．
【解】 ∵sin α＝15，α∈? ????
π2，π，
∴cos α＝－26
5.
∴cos ? ?
???α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3
＝－
265×12＋15×3
2
＝3－2610.
公式的逆用
计算：(2)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．
【精彩点拨】 从所求式子的形式，角的特点入手，化简求值． 【自主解答】 (1)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105° ＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.
(2)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α) ＝cos[(α－35°)－(25°＋α)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.
1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．
[再练一题] 2．求下各式的值
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°.
【解】 (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.
(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°·sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.
[探究共研型]
给值求值(角)问题
探究1 【提示】 α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α. 探究2 已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？
【提示】 由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．
已知α，β∈? ????3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ? ????β－π4＝1213，求cos ? ?
?
??α＋π4.
【导学号：06460069】
【精彩点拨】 已知α＋β，β－π
4的正弦值，可用同角三角函数的基本关系式，结合α，β的范围求其余弦值，所以可利用角变换α＋π4＝(α＋β)－? ?
???β－π4来
求值．
【自主解答】 ∵α，β∈? ????3π4，π，∴(α＋β)∈? ????
3π2，2π.
∴cos(α＋β)＝
1－sin 2(α＋β)＝4
5
.
又? ?
???β－π4∈? ????π2，3π4， ∴cos ? ??
??β－π4＝－513. ∴cos ? ????α＋π4＝cos ??????
(α＋β)－? ????β－π4
＝cos(α＋β)cos ? ????β－π4＋sin(α＋β)sin ? ?
???β－π4
＝45×? ????－513＋? ????－35×1213
＝－56
65.
1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．
2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
[再练一题]
3．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝3
5，求cos α的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π
2， ∴0＜2α＋β＜π.
又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π
2， ∴sin(α＋β)＝
513，sin(2α＋β)＝45
， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝56
65.
[构建·体系]
1．cos 75°＝________；cos 15°＝________.
【解析】 cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝6－2
4. cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝6＋24. 【答案】
6－2
4
6＋24
2．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．
【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32.
【答案】 3
2
3．化简cos 7°－sin 15°sin 8°
cos 8°＝________.
【解析】 原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°
cos 8°
＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°
＝
cos 15°cos 8°
cos 8°＝cos 15°
＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×1
2＝6＋24. 【答案】
6＋24
4．若sin α＝35，α∈? ????π2，π，则cos ? ??
??
π4－α的值为________.
【导学号：06460070】
【解析】 ∵α∈? ????
π2，π，sin α＝35，
∴cos α＝－4
5.
∴cos ? ????
π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α
＝22×? ????－45＋22×35＝－210.
【答案】 －2
10
5．已知cos ? ?
???α－π6＝1213? ????π6＜α＜π2，求cos α.
【解】 由于0＜α－π6＜π3，cos ? ?
???α－π6＝1213，
所以sin ? ?
?
??α－π6＝513.
所以cos α＝cos ???????
?
???α－π6＋π6 ＝cos ? ????α－π6cos π6－sin ? ?
???α－π6·sin π6＝1213×32－513×12
＝123－526.
我还有这些不足：
(1) (2)
我的课下提升方案： (1) (2)
学业分层测评(二十四) 两角和与差的余弦
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________． 【解析】 原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】 22
2．若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x
3，则x 的值是________． 【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x
3＝0，
∴cos ? ????
x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈[0，π]∴x ＝π2.
【答案】 π2
3．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－4
5，则cos αcos β的值为________． 【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝4
5， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－4
5 ∴2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0. 【答案】 0
4．(2016·苏州高一检测)已知cos α＝－35，α∈? ????
π2，π，sin β＝－1213，β是第
三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【导学号：06460071】
【解析】 ∵cos α＝－35，α∈? ????
π2，π，
∴sin α＝
1－cos 2α＝4
5.
又sin β＝－12
13，β是第三象限角， ∴cos β＝－
1－? ??
??
－12132＝－513.
cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝? ????－35×? ????－513＋? ????－1213×4
5 ＝1565－4865＝－3365. 【答案】 －33
65
5．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形．
【解析】 由sin A sin B ＜cos A cos B 得 cos(A ＋B )＞0， ∴cos C ＜0.
∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 钝角 6．化简
2cos 10°－sin 20°
cos 20°
＝________.
【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°
cos 20°
＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°
cos 20°＝ 3. 【答案】
3
7．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________. 【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.
∴|a －b |＝
a 2－2a ·
b ＋b 2＝
1－2×1
2＋1＝1.
【答案】 1
8．(2016·南京高一检测)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝1
2，则cos(α－β)的值为________．
【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝?
????1－322＋? ???
?122
，∴cos(α－β)＝3
2.
【答案】 3
2 二、解答题
9．设cos ? ????α－β2＝－19，sin ? ????α2－β＝23，其中α∈? ????π2，π，β∈? ?
?
??0，π2，求cos α＋β2
的值．
【解】 ∵α∈? ????π2，π，β∈? ?
???0，π2， ∴α－β2∈? ????π4，π，α2－β∈? ????
－π4，π2，
∴sin ? ?
???α－β2＝
1－cos 2? ?
?
??
α－β2＝
1－181＝45
9， cos ? ??
??α2－β＝1－sin 2? ??
??α2－β＝
1－49＝53.
∴cos α＋β2＝cos ????
??? ?
???α－β2－? ????α2－β
＝cos ? ????α－β2cos ? ????α2－β＋sin ? ?
???α－β2sin ? ????α2－β
＝－19×53＋459×23＝7527.
10．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝10
10，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．
【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝5
5， ∴sin(α－β)＝－25
5. ∵α为锐角，cos 2α＝10
10， ∴sin 2α＝310
10.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×? ????
－
255 ＝－2
2.
∵0＜α，β＜π
2，∴0＜α＋β＜π. ∴α＋β＝3π
4.
[能力提升]
1．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________. 【解析】 由已知sin α＝63，cos α＝33，
cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋6
6.
【答案】
3＋6
6
2. (2016·南通高一检测)如图3-1-1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为5
13，则cos(α－β)＝________.
图3-1-1
【解析】 易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝4
5，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665.
【答案】 56
65
3．已知sin ? ????π6＋α＝1
4，则cos α＋3sin α＝________.
【解析】 sin ? ????π6＋α＝cos ??????π2－? ????π6＋α＝cos ? ????
π3－α ＝cos π3cos α＋sin π
3sin α
＝12cos α＋3
2sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14 ∴cos α＋3sin α＝1
2. 【答案】 1
2
4．已知函数f (x )＝2cos ? ?
???ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈???
???0，π2，f ? ????5α＋5π3＝－65，f ? ????5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．
【解】 (1)∵f (x )＝2cos ? ?
???ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.
(2)由(1)知f (x )＝2cos ? ??
??
15x ＋π6，
而α，β∈???
???0，π2，f ? ????5α＋5π3＝－65，f ? ????5β－5π6＝1617，
∴2cos ??????15? ????5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ??????15?
?
???5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ? ?
???α＋π2＝－35，cos β＝817，
于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－13
85.