第三章公式推导专题
1v 为t x -的斜率.
a 为t v -的斜率⒈过两点),(11y x 与),(22y x 的直线为
b kx y +=，带入
得b kx y +=11，b kx y +=22解得
1
22
1121211211121112121111212,tan x x y x y x x x y x y x x y x y x x x y y y kx y b x x y y k --=
-+--=---=-==--=
θ，k 称为斜率，b 为y 轴上的截距.应用最小二乘法里,采用线性拟合,
2
2
x
x y x xy k --=
,x k y b -=.
平均速度1
21
2t t x x t t x x t x v --=
--=??=
初末初末，t ?越小，v 越接近瞬时速度瞬v ，瞬时速度等于位移对时间的变化率,因为速度变化越小，对应割线(及其斜率)越接近切线，当两点越接近时，直至无限逼近即极限0→?t 时,瞬v v =.
同理加速度等于速度对时间的变化率,1
21
2t t v v t t v v t v a --=
--=??=初末初末,0→?t 时,瞬a a = 0
--=??=
t v v t v a ， v 是 t 的函数，也可记作 t v ，变形后得，at v v +=0，(v 是 t 的一次函数，表现为一条直线),a
v v t 0
-=
(求时间). 例如, t v 26-=,表示s m v /60=, 2
/2s m a -=;
t v +=4,表示s m v /40=, 2/1s m a =;
⒉t v v s x 2
0+=
=梯,这是t v x 、、三者之间的关系, v 和t 均是变量,化为t 的函数,由
at v v +=0替换,得20021
22at t v t at v x +=+=
(x 是 t 的二次函数，表现为一条抛物线);由at v v -=0替换,得22
1
22at vt t at v x -=-=
(此式应用于刹车问题). 例如, 2
20t t x -=,表示s m v /200=,2
/2s m a -=.
24t t x +=,表示s m v /40=,2/2s m a =.
⒊当00=v 时，vt s x 21=
=?，由at v =，得22
1
at x =，与上式结果相同.
⒋质点做匀速直线运动,则t v s x 0==矩,(x 是 t 的一次函数，表现为一条直线) 例如, t x 10=,表示s m v /100=;
t x 36-=,表示初位置m x 60=，s m v /30-=.
⒌平均速度
t
s t x v 梯==
t
t
v
v 2
0+=2
0v v +=
,
t
x v =
=t at
t v 2021+
22210000v v at v v at v +=++=+=,其中at v 210+记作2
t v ,则2
02
v
v v v t +=
=. 例如：Ⅰ物体做匀加速直线运动，在第一个t 内位移为1x ，第二个t 内位移为2x ，则物体在第一个t 末的速度及加速度分别为多少？(纸带中用平均速度代替瞬时速度) 解析：t
x x t v v v v t 22210+=+=
=，212t x
x a -=
Ⅱ物体做匀加速直线运动，已知在相邻的各1s 内通过的位移分别为1.2m 和3.2m ，
求物体的加速度和相邻的各1s 的始末的瞬时速度。
Ⅲ第一个4s 内位移为16m ，第二个4s 内位移为32m ，则初速度和加速度分别是多大？
第4s 内位移为2m ，第6s 内位移为4m ，则初速度和加速度分别是多大？
Ⅳ物体做匀加速直线运动，初速度为2m/s ，加速度a=0.5 2
/s m ，
求：⑴第3s 末物体的速度； ⑵物体第3s 内的位移； ⑶第4s 内的平均速度。
总结：必须明确是哪一段时间内的位移与平均速度，如4s 内是指0—4s ，那么
400,v v v v ==，对应中间时刻
s s t 22
4
02=+=，位移t v t v x s s 244==内内 ；第4s 内是指3—4s ，那么430,v v v v ==，对应中间时刻s s t 5.32
4
32=+=
，位移t v t v x s s .5344==内第内第.类似对称轴a
b
x x x 2221-=+=
,纸带中用平均速度代替瞬时速度的合理性. ⒍a
v v v v t v v s x 00022-+=+=
=梯,变形后得ax v v 22
02=-.全程的位移为x ,中点位移为
2x ，记中间位置时速度为2
x v ，重复利用上述公式，得222
022x a v v x =-，22222x a v v x =-，联立解得22022
2x x v v v v +=
.由于422202
02
2
2
0222v vv v v v v v t x ++=<+=,得222
22
02v v v v v v x t +=<+=，也可通过图像得到证明。
例如某质点做匀加速直线运动从A 到B ，s m v A /1=，s m v B /7=，那么经过AB 中点时和一半时间时速度分别为多大？
⒎设连续相等的T 时间内，1T 、2T 、3T … …(n-1)T 、nT 、（n+1T 内的位移分别为
321x x x 、、… … 11+-n n n x x x 、、；第一个T 、第二个T 、第三个T … …第(n-1)个T ，第 n
个T 、第（n+1）个T 内，位移分别为 3'
2'
1‘
、、x x x … … '
1'
'
1+-n n n x x x 、、。
203202201)3(2
1
3,)2(212,)1(211T a T v x T a T v x T a T v x +?=+?=+
?=… … ……………………………………… ………………………………………… …
20120201])1([21
)1(,)(21,])1([21)1(T n a T n v x nT a nT v x T n a T n v x n n n +++?=+?=-+
-?=+-,)1(2112001'
1T a T v x x x +?=-=
,
321112(211)1(211)2(212202*********'
2T a T v T a T v T a T v T a T v x x x +?=-+?=+?-+?=-=）2
2020233})2(2
12{)3(213 =+?-+?=-=T a T v T a T v x x x ‘
T a T v T a T v 521
123(21102220+?=-+?）… …
…………………………………………………………… …………………… …
=-+-?--+
-?=-}])2([2
1
)2({])1([21)1(2020'
1T n a T n v T n a T n v x n 2
02220)32(2
1
1])2()1([211T n a T v T n n a T v -+?=---+?=
-+-?-+?=-=-20201'
])1([2
1)1()(21T n a T n v nT a nT v x x x n n n 2
02220)12(2
1
1])1([211T n a T v T n n a T v -+?=--+?=
+?-+++?=-=++])(2
1[])1([21)1(20201'
1nT a nT v T n a T n v x x x n n n 202220)12(21
1])1([211T n a T v T n n a T v ++?=-++?
由此得出结论：
2'
1'2'23'21''1 … …aT x x x x x x x x x n n n n =-=-==-=-=?--+‘,推广为第m 个T 与第n
个T 位移差2)(aT n m x x n m -=-.
⒏特别地，当0v =0时，321::x x x … … 3:2:1::22211=+-n n n x x x … …
2)1(-n ::2n 2)1(+n ；‘3'2'1::x x x … … =-+'
1'1'::n n n x x x 5:3:1… …
)12(:)12(:)32(+--n n n ；
⒐1T 、2T 、3T … …(n-1)T 、nT 、（n+1T 内速度之比为：
由速度公式at v ，得aT v =1,T a v 22=,naT v n =,T n v n )1(1+=+, 所以321::v v v … … 11:: n n n v v v = 3:2:1… … )1(::)1(+-n n n ； ⒑通过前x x x 3:2:1… …x n nx x n )1(::)1(+-的所用时间之比为：
由221at x =
，得a x t 2=，即T a
x
t ==21， T a x t 222
2==,T a x
t 3233==,T n a x n t n 12)1(1-=-=- , T n a x
n
t n ==2 , T n a
x n t n 12)1(1+=+=+ 321::t t t … …11::+-n n n t t t =?3:2:1… … 1::1+-n n n ； ⒒通过连续相等位移x 的所用时间之比为：
T a x t ==
21,T a x a x t )12(222'2-=-=，T a
x a x t )23(2223'
3-=-=，
T n n a
x
n a x n t n )21(2)2(2)
1('
1---=---=-, T n n a
x n a x n
t n )1(2)1(2'
--=--=， T n n a
x
n a x n t n )1(22)
1('
1-+=-+=+. '
3'2'1::t t t … …)23(:)12(:1::'
1'
'
1--=+-?t t t n n n … …… …… …
)11(:)1(:)21(--+-----n n n n n n ；
12加速度的解法:
⑴选择相距较远的两个点,则1
21
2t t v v a --=
;
⑵若2'
1'
2'
23'
21'
'
1 … …aT x x x x x x x x x n n n n =-=-==-=-=?--+‘
, 则2
T x
a ?=
; ⑶应用最小二乘法里,采用线性拟合, 2
2
x
x y x xy k --=,x k y b -=.
即得2
2t
t vt a -=
.类似地,由I U R =
得22I
I I
U UI R --=;由x F k =得22x x x F Fx k --=; 由t x v =
得22t t x t tx v --=;由V m =ρ得22V
V V
m mV --=ρ;由a F m =得22a a Fa m -=. ⑷利用第m 个T 与第n 个T 位移差2)(aT n m x x n m -=-,得
221)1()12(1T a aT x x x =-?=-,
222143)2()13(2)(T a aT x x x x =-?=+-+,
22321654)3()14(3)(T a aT x x x x x x =-?=++-++,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (2)
212321321)()(nT a naT n x x x x x x x x x x n n n n n n n n =?=++++++-+++--++++，即解得
=?++++++-+++=
--++++2
12321321)(naT
n x x x x x x x x x x a n n n n n n n n 2
1
)()
(nT x x
n
k k k
n ∑=+-=
.
也可以是
2
2323T OC
OF T OC CF a
，
图 9
222T OA
OB T OA AB a
， 2
2222T
OB
OD T OB A a
对数的换底公式及其推论(含答案)
精心整理 对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a ?1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a ?1，m>0,m ?1,N>0) 证明 2.① ②②例1∴1 12log 7log 42log 56 log 33333342++=++==b ab 例2计算：①3log 12.05-②2 194log 2log 3log -?解：①原式=3 15555531log 3log 52.0===
②原式=2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1?求证z y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6 lg lg k z = ∴x 1+2?x 3∴x 3又：4∴y 4∴例4由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a ?=log a c ?= 解法二： 由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log 由对数定义知： b a c x =a c x ?=∴ 解法三： 四、课堂练习： ①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45
解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴18log 2=1?a ∵b 18=5∴18log 5=b ∴a b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5 解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ?p 33log 2=?p 312log 3= 又∵1证法1则：x =∴(p a =∵0≠q 证法22．已知求证：证明：由换底公式λ====n n a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ== )lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n
三角函数公式大全与立方公式
【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差
物理常见公式的推导教学文稿
高中物理公式 一、力胡克定律： F = kx (x为伸长量或压缩量；k为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 1、重力： G = mg (g随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1 、F2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围：? F1－F2 ?≤ F≤ F1 + F2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体， 所受合外力为零。 F合=0 或： F x合=0 F y合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2* )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力： f= μ F N 说明：① F N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G ②μ为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O≤ f静≤ f m (f m为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、浮力： F= ρgV (注意单位) 7、万有引力： F=G m m r 12 2 (1)适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体）。 (2) G为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 (3)在天体上的应用：（M--天体质量，m—卫星质量， R--天体半径，g--天体表面重力加速度，h—卫星到天体表 面的高度） a 、万有引力=向心力 G Mm R h m () + = 2 V R h m R h m T R h 2 2 2 2 2 4 () ()() + =+=+ ω π
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应 用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
换底公式的证明及其应用 换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助. 一、换底公式及证明 换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N . ∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例 1.乘积型 例1 (1)计算：log 89·log 2732； (2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决. 解 (1)换为常用对数，得 log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109. (2)由换底公式，得 log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d . 评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决. 2.知值求值型
例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值. 分析 本题可选择以3为底进行求解. 解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4?3－a ?3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决. 3.综合型 例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小. 分析 本题可选择以19及π为底进行解题. 解 A 换成以19为底，B 换成以π为底， 则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2， B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B . 评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .
三角函数公式知识点及应用
三角函数公式 ? 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 基本信息 ?中文名称 三角函数 ?外文名称
相关概念
余切：cotangent（简写cot）['k?u't?nd??nt] 正割：secant（简写sec）['si:k?nt] 余割：cosecant（简写csc）['kau'si:k?nt] 正矢：versine（简写versin）['v?:sain] 余矢：versed cosine（简写vercos）['v?:s?:d][k?usain] 直角三角函数 直角三角函数（∠α是锐角） 三角关系 倒数关系：cotα*tanα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα 平方关系：sin2α+cos2α=1 三角规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 三角函数本质： 根据三角函数定义推导公式根据下图，有sinθ=y/ r;cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来， 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。
(完整版)换底公式的说课稿
3.4.2 “换底公式”说课稿 瀛湖中学李善斌 教材分析 本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用. 教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力. 学情分析： 对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的. 教学目标 一、知识与技能 1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明. 2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 二、过程与方法 1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想. 2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力. 3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用. 三、情感态度与价值观 1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神. 2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.
三角函数万能公式及推导过程
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。接下来分享三角函数万能公式及推导过程。 三角函数万能公式 (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2 (4)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（任意非直角三角形） 三角函数万能公式推导过程 由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 得（sinA）^2+（sinB）^2-（sinC）^2-2sinAsinBcosC=0 转化1-(cosA）^2+1-(cosB）^2-[1-(cosC）^2]-2sinAsinBcosC=0 即(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2sinAsinBcosC-1=0 又cos（C）=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 得(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2cosC[cos（C）+cosAcosB]-1=0 (cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC 得证（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC 同角三角函数的关系公式 倒数关系公式 ①tanαcotα=1 ②sinαcscα=1 ③cosαsecα=1 商数关系公式 tanα=sinα/cosα
cotα=cosα/sinα平方关系公式 ①sin2α+cos2α=1 ②1+tan2α=sec2α ③1+cot2α=csc2α
高一物理匀变速直线运动的公式推导
高中物理 匀速直线运动公式总结和推导 1、速度：物理学中将位移与发生位移所用的时间的比值定义为速度。用公式表示 为：V== 2、瞬时速度：在某一时刻或某一位置的速度称为瞬时速度。瞬时速度的大小称为 瞬时速率，简称速率。 3、加速度：物理学中，用速度的改变量?V与发生这一改变所用时间?t的比值，定量地 描述物体速度变化的快慢，并将这个比值定义为加速度。α=单位：米每二次方秒；m/S2 α即为加速度；即为一次函数图象的斜率；加速度的方向与斜率的正负一致。 速度与加速度的概念对比： 速度：位移与发生位移所用的时间的比值 加速度：速度的改变量与发生这一改变所用时间?t的比值 4、匀变速直线运动：在物理学中，速度随时间均匀变化，即加速度恒定的运动称 为匀变速直线运动。 1)匀变速直线运动的速度公式：V t=V0+αt 推导：α== 2）匀变速直线运动的位移公式：x=V0t+2……….(矩形和三角形的面积公式) …推导：x=?t (梯形面积公式) 如图： 3）由速度公式和位移公式可以推导出的公式： ⑴V t2-V02=2αx(由来：V T2-V02=(V0+αt)2 -V02=2αV0t +α2t2=2α(V0t+2)=2αx) ⑵=(由来：V=V0+α===) ⑶=(由来：因为：V t2-V02=2αx所以2-V02==)
（2-V02；2V02） ⑷?x=??T2（做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移差为 定值。设加速度为α，连续相等的时间为T,位移差为?X） 证明：设第1个T时间的位移为X1；第2个T时间的位移为X2；第3个T时间的位移为X3……..第n个T时间的位移即 由：x=V0t+ 2 得: X1=V0T+ 2 X2=V02T+2-V0T-2=V0T+2 X3=V03T+2-V02T-2=V0T+ 2 X n= V0nT+2-V0(n-1)T- 2 ?x=X2-X1=X3-X2=(V0T+2)-(V0T+2)=(V0T+2)-(V0T+2)=??T2 可以用来求加速度??= 5、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系。 初速度为零的匀加速直线运动(设其为等分时间间隔)： ① t秒末、2t秒末、……nt秒末的速度之比：(V t=V0+at=0+at=at) V1:V2:V3……V n=at:a2t:a3t…..ant=1:2:3…:n ②前一个t秒内、前二个t秒内、……前N个t秒内的位移之比： S1=v0t+at2=0+at2=at2; S2=v0t+a(2t)2=2at2; S3=v0t+at2=a(3t)2=at2 S n=v0t+at2=a(nt)2=at2 S1:S2:S3……. S n=at2: 2at2: at2……=1:22:32…. N2 ③第1个t秒内、第2个t秒内、……-第n个t秒内的位移之比：
物理常见公式的推导
（x 为伸长量或压缩量；k 为劲度系数，只与弹簧的原长、粗 细和材料有关 ） （g 随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地 面上物体受到的地球引力 ） 3、 求F 1 > F 2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：（1）力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 （2）两个力的合力范围： F i — F 2 F F I + F 2 （3） 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、 两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体, 所受合外力为 零。 F 合 =0 或 ：F x 合=0 F y 合=0 推论：［1］非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 ［2］三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 （2 ）有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零. （只要求了解） 力矩：M=FL （L 为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力：f= F N 说明：①F N 为接触面间的弹力，可以大于 G;也可以等于G;也可以小于G ② 为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢 以及正压力 N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关， 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解， 不与正压力成正比 大小范围：O f 静f m （f m 为最大静摩擦力，与正压力有关 ） 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b 、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c 、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d 、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、 浮力： F= gV （注意单位） 7、 万有引力： F=G 口呼 2 r （1） 适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体） 。 （2） G 为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 （3） 在天体上的应用：（M--天体质量，n —卫星质量，R--天体半径，g--天体表面重力加 速度，h —卫星到天体表 面的高度） 高中物理公式 、力胡克定律： F = kx 1、 重力： G = mg
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = （ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 1 3=a , 又∵3log 7 = b, ∴1 3 12log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+== b ab ab
三角函数公式的推导及公式大全
诱导公式 目录2诱导公式 2诱导公式记忆口诀 2同角三角函数基本关系 2同角三角函数关系六角形记忆法 2两角和差公式 2倍角公式 2半角公式 2万能公式 2万能公式推导 2三倍角公式 2三倍角公式推导 2三倍角公式联想记忆 2和差化积公式 2积化和差公式 2和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈z)的个三角函数值，
三角函数公式推导过程
三角函数公式推导过程 万能公式推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因为cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得 sin2α=2tanα/(1+tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式推导: tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α)，得： tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα =2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α) =3sinα－4sin^3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα =(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) =2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α)) =4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α=3sinα－4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)－3cosα 和差化积公式推导: 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a- b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
物理常见公式的推导
物理常见公式的推导 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-
高中物理公式 一、力胡克定律： F = kx (x为伸长量或压缩量；k为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 1、重力： G = mg (g随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1 、F2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围： F1－F2 F F1 + F2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物 体，所受合外力为零。 F合=0 或： F x合=0 F y合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2 )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力： f= F N 说明：① F N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G ②为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O f静 f m (f m为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、浮力： F= gV (注意单位) 7、万有引力： F=G m m r 12 2 (1)适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体）。 (2) G为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 (3)在天体上的应用：（M--天体质量，m—卫星质量， R--天体半径，g--天体表面重力加速度，h—卫星到天体表 面的高度） a 、万有引力=向心力 G Mm R h m () + = 2 V R h m R h m T R h 2 2 2 2 2 4 () ()() + =+=+ ω π
对数换底公式
换底公式四 一．课题：对数（4）——换底公式 二．教学目标：1. 要求学生会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 三．教学重、难点：1．会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 四．教学过程： （一）复习：对数的运算法则。 导入新课：对数的运算性质的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ （二）新课讲解： 1．换底公式：log log log m a m N N a = ( a > 0 , a 1 ；0,1m m >≠) 证明：设log a N x =，则x a N =， 两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log = ， ∴ a N N m m a log log log =． 说明：两个较为常用的推论： （1）log log 1a b b a ?= ； （2）log log m n a a n b b m = （a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n n a m a b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 35 -； （2）4492log 3log 2log 32?+． 解：（1）原式 = 0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+?． 例2．已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12 18log 1818 ， ∴18log 21a =-， 又∵185b =，
对数公式的推导(全)
对数函数公式的推导（全） 由指数函数 (01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式 性质1、log ()log log a a a MN M N =+ <证法1> 由于m n m n a a a +?= 设 ,m n M a N a == 则： log a M m = l o g a N n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =?=?对数恒等式 即： log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+ 性质2、log log log M a a a N M N =- <证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M N N a a a -== =对数恒等式 由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =- 性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠= 换底公式 特例：1log log a b b a = <证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b = log log log log a b b a N a N a N b b ???→==?? log log log b b a N a N N b b ?→== 由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =? 故：log log log b b a N N a = 性质4、log log n a a M n M = 特例：1 log log n a a n M M =
三角函数公式总结与推导--很全很实用
三角函数公式总结与推导 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： { } Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180 | ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =αsin ； r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. y r =αcsc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
三角函数公式总结与推导(全)
三角函数公式总结与推导(全) 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： { } Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211 ||22 s lr r α= =?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =αsin ； r x = α cos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. y r =αcsc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
物理常见公式的推导.docx
（X 为伸长量或压缩量；k 为劲度系数，只与弹簧的原长、粗 细和材料有关 ） （g 随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地 面上物体受到的地球引力 ） 3、 求F 1、F 2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：（1）力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 （2）两个力的合力范围： F i — F 2 ∣≤F ≤z ι + F 2 （3） 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、 两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体， 所受合外力 为零。 F 合=O 或 ：F X 合=0 F y 合=0 推论：［1］非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 ［2］三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 （2 ??）有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零. （只要求了解） 力矩：M=FL （L 为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、 摩擦力： 滑动摩擦力： f= JF N 说明：①F N 为接触面间的弹力，可以大于 G 也可以等于G;也可以小于G ②?为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢 以及正压力 N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关， 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解， 不与正压力成正比. 大小范围： O 乞f 静乞f m （f m 为最大静摩擦力，与正压力有关 ） 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b 、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 C 、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d 、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、 浮力： F= ；gV （注意单位） 7、 万有引力： F=G 四^2 2 r （1） 适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体） 。 （2） G 为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 （3） 在天体上的应用：（M--天体质量，m-卫星质量，R--天体半径，g--天体表面重力加速 度，h —卫星到天体表 面的高度） a 、万有引力=向心力 高中物理公式 、力胡克定律： F = kx 1、 重力： G = mg
三角函数公式大全及推导过程
三角函数公式大全及推导过程 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α ααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα 公式六： 2 π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos （2 π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos （2 π+α）= -sinα sin （23π-α）= -cosα cos （2 3π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos （2 3π+α）= sinα 三、两角和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=-
三角函数公式推导和应用大全
三角函数公式推导和应用大全 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在中文名 三角函数公式 外文名 Formulas of trigonometric functions 应用学科 数学、物理、地理、天文等 适用领域范围 几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等 适用领域范围 高考复习 目录 1 定义式 2 函数关系 3 诱导公式 4 基本公式 ?和差角公式 ?和差化积 ?积化和差 ?倍角公式 ?半角公式 ?万能公式 ?辅助角公式 5 三角形定理 ?正弦定理 ?余弦定理 三角函数公式定义式 编辑 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形
任意角三角函数正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典． 三角函数公式函数关系 编辑 倒数关系： ； ； 商数关系： ； ． 平方关系： ； ； ． 三角函数公式诱导公式 编辑 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设 为任意角， 与 的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角 与 的三角函数值之间的关系： 公式四： 与 的三角函数值之间的关系： 公式五： 与 的三角函数值之间的关系：