§5 微积分学基本定理?定积分计算(续)
教学目的:熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。 重点难点:重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。 教学方法:讲练结合。
本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一 变限积分与原函数的存在性
设f 在[]b a ,上可积,根据定积分的性质4,对任何[]b a x ,∈,f 在[]x a ,上也可积.于是,由 ()(),dt t f x x
a
?=
Φ[]b a x ,∈ (1)
定义了一个以积分上限为自变量的函数,称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分: ()(),dt t f x b
x
?=
ψ[]b a x ,∈. (2)
Φ与ψ统称为变限积分.注意,在变限积分(1)与(2)中,不可再把积分变量x 写成
()dx x f x
a
?,以免与积分上、下限的x 相混淆.
变限积分所定义的函数有着重要的性质.由于()(),dt t f dt t f b
x
b
x
??
-=因此下面只讨论变
上限积分的情形.
定理9.9 若f 在[]b a ,上可积,则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上连续. 证 对[]b a ,上任一确定的点x ,只要[]b a x x ,∈?+,按定义式(1)有 ()()().dt t f dt t f dt t f x
x x
x a
x
x a
?
??
?+?+=-=
?Φ
因f 在[]b a ,上有界,可设()[]b a t M t f ,,∈≤.于是,当0>?x 时有 ()();x M dt t f dt t f x
x x
x
x x
?≤≤=
?Φ?
?
?+?+
当0
=?Φ→?x
即证得Φ在点x 连续.由x 的任意性,Φ在[]b a ,上处处连续. 口
定理9.10 (原函数存在定理) 若f 在[]b a ,上连续,则由(1)式所定义的函数Φ在
[]b a ,上处处可导,且()()()[].,,b a x x f dt t f dx d x x
a
∈==
Φ'? (3) 证 对[]b a ,上任一确定的x ,当0≠?x 且[]b a x x ,∈?+时,按定义式(1)和积分第一中值定理,有
()().
10,1≤≤?+=?=??Φ??+θθx x f dt t f x
x x
x x 由于f 在点x 连续,故有 ()()().lim lim
0x f x x f x x x x =?+=??Φ
=Φ'→?→?θ
由x 在[]b a ,上的任意性,证得Φ是f 在[]b a ,上的一个原函数. 口
本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论,并以积分形式给出了f 的一个原函数.正因为定理9.10的重要作用而被誉为微积分学基本定理.
此外,又因f 的任意两个原函数只能相差一个常数,所以当f 为连续函数时,它的任一原函数F 必满足 ()().C dt t f x F x
a
+=
?
若在此式中令a x =,得到()a F C =,从而有
()).()(a F x F dt t f x
a
-=?再令b x =,有
()).()(a F x F dt t f b
a
-=?
这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.
定理9.11 (积分第二中值定理) 设函数f 在[]b a ,上可积. (ⅰ)若函数g 在[]b a ,上减,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈ξ,使
()()()()dx x f a g dx x g x f a
b a
??=ξ
(ⅱ)若函数g 在[]b a ,上增,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈η,使
()()()()dx x f b g dx x g x f b
b
a
??
=η
推论 设函数f 在[]b a ,上可积, 若函数g 为单调函数,则存在[]b a ,∈ξ,使
()()=?
dx x g x f b
a
()()()()dx x f b g x f a g b
a
??+ξ
ξ
积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具.
二 换元积分法与分部积分法
定理9.12 (定积分换元积分法) 若函数f 在[]b a ,上连续,?在[]βα,上连续可微,且满足 ()()()[]βα???,,,,∈≤≤==t b t a b b a a ,
则有定积分换元公式:
()()()()dt t t f dx x f b a
??β
α'=?? (9)
证 由于(9)式两边的被积函数都是连续函数,因此它们的原函数都存在.设F 是f 在
[]b a ,上的一个原函数,由复合函数微分法
()()()()()()()()t t f t t F t F dt
d
?????'=''= 可见()()t F ?是()()()t t f ??'的一个原函数.根据牛顿一莱布尼茨公式,证得
()()()()()()()a F F dt t t f ?β???β
α-='?
()()()dx x f a F b F b
a
?=
-=
从以上证明看到,在用换元法计算定积分时,一旦得到了用新变量表示的原函数后,不必作变量还原,而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了.这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别,这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数,理应保留与原来相同的自变量;而定积分的计算结果是一个确定的数,如果(9)式一边的定积分计算出来了,那么另一边的定积分自然也求得了.
注 如果在定理9.12的条件中只假定f 为可积函数,但还要求?是单调的,那么(9)式仍然成立.(本节习题第14题)
例 计算
.11
2dx x ?
-
解 令t x sin =,当t 由0变到
2π时,x 由0增到1,故取[].2,0,??
?
???=πβα应用公式(9),并注意到在第一象限中0cos ≥t ,则有
tdt tdt t dx x ???
=-=-20
220
2
1
2
cos cos sin 11π
π
()2
202sin 21212cos 121π
π
??? ??+=+=?t t dt t
.4
π=
例2 计算
?
20
2.cos sin π
tdt t
解 逆向使用公式(9),令,sin ,cos tdt dx t x -==当t 由0变到2
π
时,x 由1减到0,则有
.3
1
cos sin 10220
0122??
?==-=dx x dx x tdt t π
例3
计算().11ln 1
02dx x x J ?++=
解 令t x tan =,当t 从0变到4π时,x 从0增到1.于是由公式(9)及2
1x dx dt +=得到
()dt t
t
t dt t J ??
+=+=
40
4
cos sin cos ln
tan 1ln π
π
dt t
t ???? ??-=40cos 4cos 2ln
π
π
.cos ln 4cos ln 2ln 40
4040dt t dt t dt ???-??
?
??-+=π
πππ
对最末第二个定积分作变换t u -=
4
π
,有
dt t ????
??-404cos ln π
π()??=-=40
04
,cos ln cos ln π
πudu du u
它与上面第三个定积分相消.故得
.2ln 8
2ln 40
π
π
=
=
?
dt J
事实上,例3中的被积函数的原函数虽然存在,但难以用初等函数来表示,因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式.可是像上面那样,利用定积分的性质和换元公式(9),消去了其中无法求出原函数的部分,最终得出这个定积分的值.
换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质,如本节习题中的第5,6,7等题. 定理9.13 (定积分分部积分法)若()()x v x u ,为[]b a ,上的连续可微函数,则有定积分分部积分公式:
()()()()()().dx x v x u x v x u dx x v x u b
a
b
a b
a
??
'-=' (10)
证 因为uv 是v u v u '+'在[]b a ,上的一个原函数,所以有
()()dx x v x u b
a
'?
+()()dx x v x u b a
?'()()()()[]dx x v x u x v x u b
a
?'+'=
=()()b
a x v x u . 移项后即为(10)式.
为方便起见,公式(10)允许写成
()()=?x dv x u b a
=()()b
a
x v x u ()().x du x v b
a
?- (01')
例4 计算
.ln 1
2xdx x e
?
解
()
??? ??-==
???
dx x x x x xd xdx x e e e e
12
13131
2ln 3
1ln 31ln ()
.129131313133+=???? ?
?-=e x e e
例5 计算
dx x n
?
2
sin π和.,2,1,cos 20
=?n xdx n π
解 当2≥n 时,用分部积分求得
()??
---+-==
20
2220
1
20
cos sin 1cos sin
sin π
π
π
xdx x n x
x xdx J n n n n
()
()xdx n xdx n n n ?
?---=-20
20
2
sin 1sin
1ππ
()().112n n J n J n ---=-
移项整理后得到递推公式:.2,1
2≥-=
-n J n
n J n n 由于
,1sin ,2
201200=?==
?=xdx J dx J π
π
π
重复应用递推式(11)便得
()()()()??
?????
+=?--?+=?-=?--?-=
+.!!12!
!21321222122,
2!!2!!122
212232212122m m m m m m J m m m m m m J m m ππ ()12 令t x -=
2
π
,可得
.sin 2cos cos 200
2
20xdx dt t xdx n n
n
π
πππ?=???
??-?-=?
因而这两个定积分是等值的.
由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式:
()().121!!12!!2lim 22
+???
????-=∞→m m m m π
()13 事实上,由
,sin 2cos sin 122002
1220xdx dt t xdx m n n -+?=??? ??-?
π
π
π 把(12)代人,得到
()()()()()(),!
!12!!222!!2!!12!!12!!2---<-m m m m m m π
由此又得()()()().21
!!12!!22121!!12!!22
2m m B m m m m m m A =??????-<<+??????+=π
因为()()()(),02
211221!!12!!22
∞→→?<+?
?????-=- 所以().0lim =-∞ →m m m A B 而 ,2 m m m A B A -<-π 故得2 lim π = ∞ →m m A (即()13式). 三 泰勒公式的积分型余项 若在[]b a ,上()x u 、()x v 有1+n 阶连续导函数,则有 ()() ()()()()()()() +'-=?-+x v x u x v x u dx x v x u n n n b a 11[ ()()()()() ()()()dx x v x u x v x u n b a n b a n n 111]1++?-+-+ ().,2,1 =n ()14 这是推广的分部积分公式,读者不难用数学归纳法加以证明.下面应用公式()14 导出泰勒公式的积分型余项. 设函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内有1+n 阶连续导函数.令∈x ()0x U , ()()n t x t u -=,()()t f t v =,[]x x t ,0∈(或[]0,,x x ) .利用(14)式得 ()() ()()()()()()() +-+-=-?--+t f t x n t f t x dt t f t x n n n n n n x x 11 1[0 ()()dt t f t f n x x x x ??++0]!00 ()()()() +-'+-=000[!!x x x f x f n x f n ()()()]! 00n n x x n x f -+ ()x R n n !=, 其中()x R n 即为泰勒公式的n 阶余项.由此求得 ()() ()()dt t x t f n x R n n x x n -?= +10! 1, ()15 这就是泰勒公式的积分型余项. 由于() ()t f n 1+连续,()n t x -在[][]()00,,x x x x 或上保持同号,因此由 推广的积分第一中值定理,可将()15式写作 ()() ()()dt t x f n x R n x x n n -?= +0 1! 1ξ ()()()()1 01! 11++-+= n n x x f n ξ, 其中()10,00≤≤-+=θθξx x x .这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项. 如果直接用积分第一中值定理于(15),则得 ()() ()()()01! 1x x x f n x R n n n --= +ξξ, ()10,00≤≤-+=θθξx x x . 由于 ()()()[]()0000x x x x x x x x x n n ----=--θξ ()()1 01+--=n n x x θ 因此又可进一步把()x R n 改写为 ()x R n () ()()()(),1! 110001++---+=n n n x x x x x f n θθ .10≤≤θ (16) 特别当00=x 时,又有 ()x R n () ()().10,1! 111≤≤-= ++θθθn n n x x f n (17) 公式(16)、(17)称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项,将在第十四章里显示它们的功用. 作业:2,3,4(1),(6)(9) 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中,不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力. 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题,会达到化难为易、化繁为简的效果.本文主要利用复变函数中的留数定理,将实积分转换为复积分的方法,讨论了几类定积分的计算,首先我们来给出留数的定义及留数定理. 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点,即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <内解析,则积分 ()()1 :,02f z dz z a R i ρρπΓ Γ?=< 证明:以k a 为心,充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=(1,2,k =…,n )使这些圆周及内部均含于D ,并且彼此相互隔离,利用复周线的柯西定理得 ()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??, 由留数的定义,有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?. 特别地,由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?, 代入(1)式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?. 2.留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法,我们只考虑几种特殊类型的积分. 2.1形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 ()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数,且在[]0,2π上连续,解决此类积分要注意两点,一:积分上下限之差为2π,这样当作定积分时x 从0到2π,对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.二:被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后,我们可以设ix z e =,则dz izdx =, 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==,21 cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()22210 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ????? ()1 2Re k n z z k i s f z π===∑. 定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容,其中定积分的计算是重点考查的考点之一,下面例析定积分计算的几种常用方法. 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? , (b a <) 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续,所以函数sin x 在],[b a 上可积,采用特殊的 方法作积分和.取h = n a b -,将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+ 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 七大积分总结 一. 定积分 1. 定积分的定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,在区间[a,b]中任意插入n -1个分点: a=x 0 ? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 (2) 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 (3) 定义中涉及的极限过程中要求λ→0,表示对区间[a,b]无限细分的过程,随λ →0必有n →∞,反之n →∞并不能保证λ→0,定积分的实质是求某种特殊合式的极限: 例:∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim (此特殊合式在计算中可以作为公式使用) 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x),当f(x)≥0时,定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x) 小于0时,围成的曲边梯形位于x 轴下方,定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时,定积分的几何意义是:它是介于x 轴,曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4.定积分的性质 线性性质(性质一、性质二) 定积分及应用61887 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢24 第六章 定积分及其应用 习题6-1 1、利用定积分的定义计算下列定积分: (1) ?-2 1 xdx ; 解:①令]2,1[)(-∈=C x x f ,因此]2,1[)(-∈R x f , ②取?为]2,1[-的n 等分,此时有 ]31,)1(31[],[1n i n i x x i i i +--+-==?-,n x i 3=?=?,.,,2,1n i = ③取i i i n i x ?∈+-==31ξ,于是 )3(33)31()(],[11 1∑∑∑===+-=+-=?=?n i n i n i i i i n n n n n i x f S ξξ 2 )1(932++-=n n n , ④2 3293]2)1(93[lim ],[lim 20||||2 1 =+-=++-=?=∞→→?-?n n n S xdx n ξ. (2) ?1 0 dx e x . 解:①令]1,0[)(C e x f x ∈=,因此]1,0[)(R x f ∈, ②取?为]1,0[的n 等分,此时有 ],1[],[1n i n i x x i i i -==?-, n x i 1=?=?,.,,2,1n i = 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢24 ③取i i i n i x ?∈==ξ,于是 ∑∑∑ =====?=?n i n i n i n i n i i i e n n e x f S 11111)(],[ξξ, ④n n n n i n i n x e e e n e n S dx e 11 10||||1 0 1 11lim )1(lim ],[lim --==?=∞→=∞→→?∑?ξ 11lim )1(1 1 lim )1(01-=--=--=→∞→e e t e e n e t t n n . 2、利用定积分的几何意义,说明下列等式: (1)121 0 =?xdx ; 解:因x y 2=,1=x 及0=y 围成的三角形的面积为1, 因此由定积分的几何意义知121 0 =?xdx . (2)411 0 2π=-?dx x ; 解:因圆形122=+y x 的面积为π,那么122=+y x ,0=x 及0=y 围 成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为4 π,因此由定积分的几何意义知 4 11 0 2π=-?dx x . (3)0sin =?-π πxdx ; 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 11-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)
定积分的方法总结
定积分及微积分基本定理练习题及答案
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7.微积分基本定理练习题