【精品讲义】七年级上册数学 角
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学生姓名年级七年级科目数学
授课教师上课时间年月日课时2h
教学课题角的计算和证明
教学目标
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．
教学重点
与难点
掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．
教学过程
考点一、角的概念
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
要点诠释：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
图1 图2
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3. 角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角（牢记三角板角度）．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
考点二、角的比较与运算
1. 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的1
60
为1分，记作“1′”，
1′的1
60
为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
要点诠释：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．
2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
3. 角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
要点诠释：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
4. 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB
的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =1
2
∠AOB．
要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
考点三、余角和补角
1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
要点诠释：
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的
余角大90°。
考点四、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
考点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典型例题】
类型一、角的概念及表示
例1.下列语句正确的是( ) ．
A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．
C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．
D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
举一反三：
【变式1】判断下列说法是否正确。
(1)两条射线组成的图形叫做角( )
(2)平角是一条直线( )
(3)周角是一条射线( )
【变式2】从点O出发有五条射线，可以组成的角的个数是（）
A．4个 B.5个 C. 7个 D. 10个
例2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角；(3)图中共有几个角(小于180°).
【总结】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；(2)一般数角时不包括平角和大于平角的角．类型二、角度制的换算
1.(1)把25.72°用度、分、秒表示；(2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．
【总结】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：
【变式】1 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式为：；
(2)把33°24′36″转化成度表示的形式为：．
2.计算下列各题：
(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9；(4)41°37′÷3．
【变式】计算：
(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3；(4)88°14′48″÷4．
类型三、角的比较与运算
1.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)
2．如图，直线m 外有一定点O ，点A 是直线m 上的一个动点，当点A 从左向右运动时，α∠和β∠的关系是（ ）
A.α∠越来越小
B.β∠越来越大
C.α∠+β∠=180°
D.α∠和β∠均保持不变
3．若∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.25°，则（ ）
A ．∠A ＞∠
B ＞∠
C B ．∠B ＞∠A ＞∠C C ．∠A ＞∠C ＞∠B
D ．∠C ＞∠A ＞∠B 举一反三：
【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．
作法步骤：(1)以点（ ）为圆心，适当长为半径画弧，分别交（ ）、（ ）于点C 、D ； (2)画一条射线（ ），以点（ ）为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
类型四、角平分线
例1. 如图，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∠AOC=120°，则∠MON= .
例2. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．
【变式1】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80?，求：∠MON.
【变式2】如图，已知O是直线AC上一点，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE＝1
2
∠EOC，∠DOE
＝70°，求∠EOC的度数.
例3. 如图，∠AOB 的平分线OM,ON 为∠MOA 内的一条射线，OG 为∠AOB 外的一条射线。某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON=1
2
（∠BON －∠AON ），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来。 【练习】
1. 如图，已知∠AOB 是∠AOC 的余角，∠AOD 是∠AOC 的补角，且BOD BOC ∠=∠2
1
， 求∠BOD 、∠AOC 的度数
2. 一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC 的度数。
例4. 已知，如图∠BOC 为∠AOC 内的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC 。 （1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；
D
O
C
B
A
（2）若∠AOB=α，∠BOC=30°，求∠MON的度数；
（3）若∠AOB=90°，∠BOC=β，还能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。（4）从前三问的结果你发现了什么规律？
练习1. 如图，∠AOB=90o，∠AOC=30o，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
（1）求∠MON的度数．
（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数．
（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数.
（4）从上面结果中看出有什么规律？
练习2. 把两块三角板按如图所示那样拼在一起，那么∠ABC的度数是____________
练习3. 如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
（1）若∠DOB与∠DOA的比是2∶11，求∠BOC的度数．
（2）若叠合所成的∠BOC=n°(0 A O B C N M 练习4. 如图所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4 = 2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4． 类型五、余角和补角 例1.一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，则这个角的度数是多少. 例2. ∠A=32°36′它的补角为。 例3. 已知角α的余角比角α的补角的1 3 还少20?，求角α的余角. 【总结】此题的关键是掌握互为余角、补角的定义，然后根据题中的关键语句列出方程或代数式，求出相应角的度数. 【变式1】已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是（） A．55°B．65°C．145°D．165° 【变式2】一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是（） A．30°B．45°C．60°D．70° 类型六、方位角 例1. A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是( ) ． A．南偏东60°B．南偏西60°C．南偏东30°D．南偏西30° 例2. 轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西46°，那么从A同时观测轮船在C处的方向是（）A．东偏南46°B．东偏北46°C．南偏东46°D．南偏东44° 【变式1】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向． 【变式2】已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于． 类型七、钟表上有关夹角问题 例1. 如图是一个时钟的钟面，下午1点30分，时钟的分针与时针所夹的角等于． 【总结升华】根据钟面平均分成12份，可得每份30°，根据每份的度数乘以时针与分针相距的份数，可得答案．本题考查了钟面角，每份的度数乘以时针与分针相距的份数是解题关键． 例2. 求在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午近7点回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 课后练习 一、选择题 1．下列语句中正确的个数为（） （1）延长射线OA到点B （2）直线AB比射线CD长 （3）线段AB就是A、B两点间的距离（4）角的大小与角两边的长度无关 A．1个B．2个C．3个D．4个 2．一个锐角的补角减去90°，就等于（） A．这个锐角的2倍B．这个锐角的余角 C．这个锐角加上90°D．这个锐本身 3．下面等式成立的是（） A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48° C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′ 4．下列各图中，射线OA表示南偏东32°方向的是（） A．B．C．D． 5．用一副三角板不可以拼出的角是（） A．105°B．75°C．85°D．15° 6．如图，O是直线AB上的一点，过点O任意作射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE（） A．一定是钝角B．一定是锐角C．一定是直角D．都有可能 7．如果所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC． A．1 B．2 C ．3 D ．4 8．已知∠AOB=80°，OM 是∠AOB 的平分线，∠BOC=20°，ON 是∠BOC 的平分线，则∠MON 的度数为（ ） A ．30° B ．40° C ．50° D ．30°或50° 二、填空题 9．若∠α=34°36′，则∠α的余角为 ． 10．如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OB 是∠AOC 的平分线， ∠AOB=26°，则∠COD 的度数是 ． 11．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D′，C′的位置， 若∠AED′=50°，则∠DEF 等于 ． 12．某物体A 先在小明的西南方向，后来A 绕小明逆时针旋转了140°，则这时A 在小明的 方向． 13．将一副三角板如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC 的大小为 ． 14．在同一平面上，若∠BOA=70°，∠BOC=15°，则∠AOC= ． 15. 如图，AOC ∠和BOD ∠都是直角，如果150AOB ∠=，那么=∠COD 。 16．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD 、BE 为折痕，并使BA′，BC′在同一直线上，若∠ABE=15°， 则∠DBC 为 度． 三、解答题 A C B O D 17．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）求∠BOD的度数； （2）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由． 18．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是___________________； （2）求∠COD的度数； （3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 19. 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线。（1）如果∠AOB=130°，那么∠COE是多少度？ （2）如果∠COE=65°，∠COD=20°，那么∠BOE是多少度？