三角恒等变换
基础知识梳理
1.两角和与差的三角函数:
()=+βαsin ; ()=-βαsin ;()=+βαcos ; ()=-βαcos ;tan(α+β)= ; tan(α-β)= .
2.二倍角公式: sin2α= ;cos2α= = = ;tan2α= .
3.升幂公式:=+α2cos
1 =-α2cos 1 降幂公式=2cos
2α =2sin 2α =2tan 2α 变形公式:
(1)()sin cos sin a x b x
x ?+=+,
sin cos ??=
=其中 (2)(sin α±cos α)2=1±sin2α;(3)tan tan(tan tan ααβα?=+。 课前练习1.若tan α=21,则tan (α+4
π)=____________. 2.设当x
θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______. 3. ?
?-?70sin 20sin 10cos 2的值是( ) A.21 B.23 C.3 D.2
典型例题
考点1 两角和与差的三角函数
【典例1】 (1)21tan(),tan(),54α
βαβ+=-=求tan 2α的值;
(2)已知3312,,,sin(),sin(),45413ππαβ
παββ??∈+=--= ???求cos()4πα+的值
【变式1】(1)004cos50tan 40-= ( )
1
(2)tan11tan19?+??=
【典例2】已知2tan tan 560x
x αβ-+=,是方程的两个实根根,求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值.
【变式2】已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα
,,求cos )的值(βα+。
考点2 二倍角公式
【典例3】 化简下列各式: ???? ?
???? ??∈+-ππαα2232cos 21212121,,
【变式3】若的值求,x x x x x tan 1cos 22sin ,4712
17534cos 2-+<<=??? ??+πππ。
考点3 三角恒等式的证明
【典例4】已知tan(α+β)=2tan β,求证:3sin α=sin(α+2β).
考点4 三角函数的求值或求角问题
【典例5】(1)已知0<β<π2<α<π,且cos ????α-β2=-19
,sin ????α2-β=23,求cos(α+β)的值;
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17
,求2α-β的值.
【变式2】已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2
, (1)求tan 2α的值;
(2)求β.
考点4 综合应用
【典例5】已知函数
2()sin 22sin f x x x =- (1)求函数
()f x 的最小正周期. (2) 求函数
()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.
【变式5】已知f (x )=????1+1tan x sin 2x -2sin ????x +π4·sin ???
?x -π4. (1) 若tan α=2,求f (α)的值;
(2)若x ∈??
??π12,π2,求f (x )的取值范围.
2.已知A ,B ,C 的坐标分别为A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),α∈????π2,3π2.
(1)若|AC →|=|BC →|,求角α的值;
(2)若AC →·BC →=-1,求2sin 2α+sin 2α1+tan α
的值.
当堂检测
1.已知x ∈(-
2π,0),cos x =54,则tan 2x 等于( ) A.247 B.-247 C.724 D.-7
24 2.
若cos 2π2sin()4
αα=--,则cos sin αα+的值为 3.设32)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα,且2
0,2πβπαπ<<<<,则)cos(βα+的值为____
4、设θ为第二象限角,若1tan()42πθ
+=,则sin cos θθ+=________.
5
、函数
2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.
6
、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 56π
7
、已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·
f x =a b . (1) 求f (x)的最小正周期.
(2) 求f (x) 在0,
2π??????上的最大值和最小值.
/8
、已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π??=+
+- ?+??∈R . (1) 求f (x )的最小正周期;
(2) 求f (x )在区间0,
2π??????
上的最大值和最小值.