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8、三角恒等变换

8、三角恒等变换
8、三角恒等变换

三角恒等变换

基础知识梳理

1.两角和与差的三角函数:

()=+βαsin ; ()=-βαsin ;()=+βαcos ; ()=-βαcos ;tan(α+β)= ; tan(α-β)= .

2.二倍角公式: sin2α= ;cos2α= = = ;tan2α= .

3.升幂公式:=+α2cos

1 =-α2cos 1 降幂公式=2cos

2α =2sin 2α =2tan 2α 变形公式:

(1)()sin cos sin a x b x

x ?+=+,

sin cos ??=

=其中 (2)(sin α±cos α)2=1±sin2α;(3)tan tan(tan tan ααβα?=+。 课前练习1.若tan α=21,则tan (α+4

π)=____________. 2.设当x

θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______. 3. ?

?-?70sin 20sin 10cos 2的值是( ) A.21 B.23 C.3 D.2

典型例题

考点1 两角和与差的三角函数

【典例1】 (1)21tan(),tan(),54α

βαβ+=-=求tan 2α的值;

(2)已知3312,,,sin(),sin(),45413ππαβ

παββ??∈+=--= ???求cos()4πα+的值

【变式1】(1)004cos50tan 40-= ( )

1

(2)tan11tan19?+??=

【典例2】已知2tan tan 560x

x αβ-+=,是方程的两个实根根,求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值.

【变式2】已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα

,,求cos )的值(βα+。

考点2 二倍角公式

【典例3】 化简下列各式: ???? ?

???? ??∈+-ππαα2232cos 21212121,,

【变式3】若的值求,x x x x x tan 1cos 22sin ,4712

17534cos 2-+<<=??? ??+πππ。

考点3 三角恒等式的证明

【典例4】已知tan(α+β)=2tan β,求证:3sin α=sin(α+2β).

考点4 三角函数的求值或求角问题

【典例5】(1)已知0<β<π2<α<π,且cos ????α-β2=-19

,sin ????α2-β=23,求cos(α+β)的值;

(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17

,求2α-β的值.

【变式2】已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2

, (1)求tan 2α的值;

(2)求β.

考点4 综合应用

【典例5】已知函数

2()sin 22sin f x x x =- (1)求函数

()f x 的最小正周期. (2) 求函数

()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.

【变式5】已知f (x )=????1+1tan x sin 2x -2sin ????x +π4·sin ???

?x -π4. (1) 若tan α=2,求f (α)的值;

(2)若x ∈??

??π12,π2,求f (x )的取值范围.

2.已知A ,B ,C 的坐标分别为A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),α∈????π2,3π2.

(1)若|AC →|=|BC →|,求角α的值;

(2)若AC →·BC →=-1,求2sin 2α+sin 2α1+tan α

的值.

当堂检测

1.已知x ∈(-

2π,0),cos x =54,则tan 2x 等于( ) A.247 B.-247 C.724 D.-7

24 2.

若cos 2π2sin()4

αα=--,则cos sin αα+的值为 3.设32)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα,且2

0,2πβπαπ<<<<,则)cos(βα+的值为____

4、设θ为第二象限角,若1tan()42πθ

+=,则sin cos θθ+=________.

5

、函数

2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.

6

、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 56π

7

、已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·

f x =a b . (1) 求f (x)的最小正周期.

(2) 求f (x) 在0,

2π??????上的最大值和最小值.

/8

、已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π??=+

+- ?+??∈R . (1) 求f (x )的最小正周期;

(2) 求f (x )在区间0,

2π??????

上的最大值和最小值.

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