第3章3.2.2知能优化训练
1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )
A ．一次函数
B ．二次函数
C ．指数型函数
D ．对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意； 二次函数在对称轴的两侧有增也有降；
而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；
因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢． 2
A ．y ＝2x －1
B ．y ＝x 2－1
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2
解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.
3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者． 其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②
解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．
4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x
2
时面积最大，此时x ＝________，
面积S ＝________.
解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－1
2
x 2＋x ＋12
＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212
.
答案：1 121
2
1
则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是( ) A ．指数函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数
解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．
2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩
解析：选C.y ＝10000×(1＋20%)3
＝17280.
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )
A ．增加7.84%
B ．减少7.84%
C ．减少9.5%
D ．不增不减 解析：选B.设该商品原价为a ， 四年后价格为a (1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a . 所以(1－0.9216)a ＝0.0784a ＝7.84%a ， 即比原来减少了7.84%.
4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )
A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2000)
B ．y ＝0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)
C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2000)
D ．y ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)
解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2000－x )×0.8
＝0.5x ＋1600－0.8x ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)．
5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )
解析：选C.设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12
a 2
，其图象为抛物线的一段，开口向
下，顶点在y 轴上方．故选C.
6．小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )
A ．20 g
B ．25 g
C ．35 g
D ．40 g
解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝
W 15·20
315
3≈35.6(g)，合理的答案为35 g ．故选C.
7．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2
＋1；乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．
解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．
答案：甲
8．一根弹簧，挂重100 N 的重物时，伸长20 cm ，当挂重150 N 的重物时，弹簧伸长________．
解析：由10020＝150
x
，得x ＝30.
答案：30 cm
9．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是________．
解析：观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④. 答案：①④ 10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象如图所示．
(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，
得????? 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得?
????
k ＝－1，b ＝1000. 所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ， 成本总价＝成本单价×销售量＝500y ， 代入求毛利润的公式，得
S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000)
＝－x 2
＋1500x －500000
＝－(x －750)2
＋62500(500≤x ≤800)．
所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件． 11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，
经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12
)t
h ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰
期．
现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？
解：由题意知40－24＝(88－24)·(12
)20
h ，
即14＝(12
)20h . 解之，得h ＝10.
故T －24＝(88－24)·(12
)t
10.
当T ＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·(12
)t
10，
即(12)t 10＝1164
. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.
因此，约需要25 min ，可降温到35 ℃.
12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域．
(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …
经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．
(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．
作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x
的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值．
因为8 即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．