代数表示论简介

代数表示论简介

在数学研究中，我们随处可见表示的思想。例如，复数可以用实平面上的点（或数对）表示；有限维复向量空间上的线性变换可以用它的Jordan标准形表达。狭义的表示是指一个代数系统（如群，结合环，李代数等）在某个向量空间上的作用，这些作用常常自然地出现在数学和物理的研究中。比如，分子的对称性可以用某个群刻画，利用这个群的表示理论可以大大简化分子振动微分方程的求解问题。20世纪30年代，德国女数学家Noether系统地发挥了表示的思想，她把表示解释为模，由此奠定了现代表示论的基础。

有限维(结合)代数是抽象代数中的一个古老的分支。它的起点是Hamilton在1843年发现的有名的四元数代数。此后，历经许多大数学家之手，终于由Wedderburn在20世纪初建立了半单代数的表示理论。目前人们研究的主要是各种各样的非半单代数的表示理论。代数表示论的主要目标是研究有限维代数上的不可分解模以及它们之间的同态映射。一个有限维代数A通常可以用一个箭图Q（即有向图）及某种关系表示, 研究代数A上的模相当于研究箭图Q上的表示。给定一个域k, 所谓箭图Q的一个表示，是指如下的要素：在Q的每个顶点处放一个（有限维）k-向量空间，在Q的每条边上放一个k-线性映射。对于Q的两个表示，可以建立它们之间的同态映射。我们关心的是表示的同构类。把箭图Q的全体表示放在一起，就构成了表示的范畴。这是代数表示论的最基本的研究对象。

例如，不难看出，在复数域上如下箭图的表示的同构类与复数矩阵的Jordan标准形一一对应：

上世纪70年代初，瑞士数学家Gabriel证明了如下的著名结果：箭图Q是表示有限型的（即Q的不可分解表示的同构类只有有限多个）当且仅当Q的底图是有限多个如下形式的图的不交并：

A

(n≥1):??…??

n

1 2 n-1 n

? 2

D

(n≥4):??…??

n

1 3 n-1 n

? 3

E

(n=6,7,8):????…??

n

1 2 4 5 n-1 n

这些图称为Dynkin图，它们最早出现在著名数学家Killing和Cartan关于复半单李代数的分类理论中。这个结论不但指出了箭图的表示与李代数理论的内在联系，而且也宣告了现代代数表示论的诞生。Gabriel定理的证明也是很有意思的，它综合应用了整二次型、同调代数以及代数几何等不同的工具，在这里你可以体会到如何从不同的角度刻画同一个数学对象从而把问题的研究引向深入的方法。这个证明展现了数学的统一性之美。

代数表示论的许多问题用线性代数的语言就可以充分地表达，这些问题常常叫做矩阵问题。例如，一个有名的问题是分类如下箭图的不可分解表示（称之为Kronecker问题，由Weierstrass提出并研究，最终被Kronecker完全解决）：

??

它等价于如下的矩阵问题：设M和N是两个n阶复矩阵，对它们同时施行相同的初等变换，求矩阵对（M，N）在此变换下的标准形。解决这个问题需要较高的矩阵技巧，而且人们发现，仅仅用线性代数的方法有很大的局限性。今天，我们解决这个问题的一般方法是Auslander-Reiten理论，这是代数表示论中基于同调代数建立起来的独特方法。相比之下，后一种方法更加系统和深刻。

经过近半个世纪的发展，代数表示论形成了一系列独具特色的研究方法，例如：箭图的表示，覆盖理论，倾斜理论，几乎可裂序列，Auslander-Reiten箭图，整二次型，Tame-Wild 分类，等等，这一个个理论异彩纷呈，美不胜收。另一方面，代数表示论的发展与数学的许多分支发生了深刻的联系。Gabriel的定理只是代数表示论与李代数的联系的一个起点，著名数学家Kac和Ringel后来更进一步揭示了代数表示论与李理论的内在联系，例如，Ringel 证明了有限维代数的Ringel-Hall代数可以作为相应的李代数的量子群的实现。本世纪初，人们发现了代数表示论与丛代数（Cluster algebra）的内在联系。丛代数目前在数学和物理的各个领域找到了越来越多的应用，而在其发展过程中，代数表示论的方法扮演着重要的角色。今天，代数表示论的理论与方法与同调代数、交换代数、代数几何、群表示论、李理论、量子群、组合方法等数学领域发生着深刻的联系。

可以说，代数表示论是一个前途光明的学科，有大量未解决的问题和激动人心的新发现等待你去揭示。

关于代数表示论的入门读物，我向你推荐墨西哥代数表示论专家Michael Barot的讲义：Introduction to the representation theory of algebras. 如果你想了解代数表示论中更丰富的知识，可以参考代数表示论的专门网站FDLIST: http://www.math.uni-bielefeld.de/~fdlist/

在这个网站中列出了大量的教科书、专著和文献。你还可以从这个网站上了解到代数表示论的最近进展。

代数表示论简介

代数表示论简介 在数学研究中，我们随处可见表示的思想。例如，复数可以用实平面上的点（或数对）表示；有限维复向量空间上的线性变换可以用它的Jordan标准形表达。狭义的表示是指一个代数系统（如群，结合环，李代数等）在某个向量空间上的作用，这些作用常常自然地出现在数学和物理的研究中。比如，分子的对称性可以用某个群刻画，利用这个群的表示理论可以大大简化分子振动微分方程的求解问题。20世纪30年代，德国女数学家Noether系统地发挥了表示的思想，她把表示解释为模，由此奠定了现代表示论的基础。 有限维(结合)代数是抽象代数中的一个古老的分支。它的起点是Hamilton在1843年发现的有名的四元数代数。此后，历经许多大数学家之手，终于由Wedderburn在20世纪初建立了半单代数的表示理论。目前人们研究的主要是各种各样的非半单代数的表示理论。代数表示论的主要目标是研究有限维代数上的不可分解模以及它们之间的同态映射。一个有限维代数A通常可以用一个箭图Q（即有向图）及某种关系表示, 研究代数A上的模相当于研究箭图Q上的表示。给定一个域k, 所谓箭图Q的一个表示，是指如下的要素：在Q的每个顶点处放一个（有限维）k-向量空间，在Q的每条边上放一个k-线性映射。对于Q的两个表示，可以建立它们之间的同态映射。我们关心的是表示的同构类。把箭图Q的全体表示放在一起，就构成了表示的范畴。这是代数表示论的最基本的研究对象。 例如，不难看出，在复数域上如下箭图的表示的同构类与复数矩阵的Jordan标准形一一对应： 上世纪70年代初，瑞士数学家Gabriel证明了如下的著名结果：箭图Q是表示有限型的（即Q的不可分解表示的同构类只有有限多个）当且仅当Q的底图是有限多个如下形式的图的不交并： A (n≥1):??…?? n 1 2 n-1 n ? 2 D (n≥4):??…?? n 1 3 n-1 n ? 3 E (n=6,7,8):????…?? n 1 2 4 5 n-1 n

近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之

代数式的表示方法

3.1字母表示数学案一 教学目标 1、使学生认识字母表示数的意义，并能说出一个代数式所表示的数量关系； 2、培养学生观察、分析及抽象思维的能力。 重点：用字母表示数的意义 难点：正确的说出代数式所表示的数量关系 一、学前准备： 你能用字母表示以前学过的运算律和公式吗？ 1、 运算律： 加法交换律可以表示成_______________加法结合律可以表示成____________ 乘法交换律可以表示成_______________乘法分配律可以表示成_____________ 乘法结合律可以表示成_____________ 2、公式 二、自学成才 1.代数式定义：像_________________________________，……这样的式子，我们称它们为代数式，严格地说，用基本的________把数和表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式；单独的一个___或者单独的一个_____也是代数式。 2. a 0 1 12 -2 14- 0.15 24125 - -a 综上，当a 表示有理数时，a 可以表示_______有理数、____、 _____有理数、—a 可以表示____有理数数、___、_______有理数。 3.我们可以用字母来表示数，并且把问题中涉及的_________关系用________来表示，这就是列代数式。 4. 列代数式时，要把复杂的数量关系分成基本的数量关系，弄清运算顺序和括号的使用。 一般按“____________”原则列代数式。 三、合作交流：求出下列火柴的根数（用四种方法） 1个正方形的火柴根数： a a a b a h a h a h b

1字母表示、代数式

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1 / 9 1字母表示、代数式 字母表示及代数式字母表示及代数式 一、知识点梳理一、知识 点梳理 1、 可以表示任意的数，也可以表示特定意义 的 ，还可以表示符合条件 ，甚至可以表示 探究得出的 的数。 例： 用字母表示公式 （1）三角形底边长为a ，高为h ，面积 （2）圆半径是r ，面积为S ，那么、用字 母表示数，在省略乘号时，要把 写在 的前 面，如写成2a ，当数字是带分数时，常写成 3、用 把 联结而成的式子叫做代数式。 这里的运算符号指的是 ，和乘方及今后学到的开方。 如 ，3a ，b ，2x y ， ，，15 ，st 等都是代数式。 4、单独一个 或者 也是代数式，请 举一个例子 5、把问题中与数量有关的词语，用含 有数、字母和运算符号的式子表示出来叫做 二、问 题点拨二、问题点拨 1、用字母表示数的时候书写应该怎样规范？、 用字母表示数的时候书写应该怎样规范？ （1）数字与字母及字母与 字母间的乘号要省略，如2a 、ab （2）除法运算要用分数线来表示， 如2（3）数字（包括整数、分数、小数、百分数、 等）应写在字

母的前面；当字母前面的数字是 1 时应省略不写；当cr 数字因数是带分数时，一定要把带分数化成假分数后，再写到字母的前面。 2、列代数式的基本要领、列代数式的基本要领（1）抓住关键性词语，如大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分等。 （2）理清运算顺序。 对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后。 （3）正确使用括号。 一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号；若相反则不需使用括号。 （4）正确利用的、与划分句子层次。 的字一般表示从属关系，与字一般表示并列关系三、典型例题分析三、典型例题分析【例【例 1】】用字母表示分数的基本性质（分数的分子、分母都乘同一个不为 0 的数，分数的值不变）应为（） 【例【例 2】】设某数为x，用x表示下列各数：（1）某数与12的差；（2）某数的12与13的和；（3）某数与 1 的差的平方；（4）某数与 2 的和的倒数；（5）某数的 30%除以a的商（分析： 注意文字间的关系，并注意乘、除号的正确书写）【例【例 3】】如图所示，请说明第n个图形中笑脸的个数

近世代数学习系列二十二 群论与魔方

群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1)

代数表示理论的简要介绍与近期发展

代数表示理论的简要介绍与近期发展 21511111 xxx 摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支. 在近二十五年的时间里, 这一理论有了很大的发展。代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个A r t i n 代数上的模范畴。由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。本文主要从 Hall 代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。 关键词：Hall 代数;遗传代数; Kac-Moody 李代数; 拟遗传代数; 介绍 早在二十世纪初,W d e d erb u rn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢? 经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。。o b so n 根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。1 9 4 5年,美国数学家B a rue r 和T h a r n 提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d 的模有无限多个。”这两个猜测成为代数表示论的起源。所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下) 不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。代数表示论就是研究一个给定的A r t i n 代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的J o r d a n 标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。事实上,令A 是复数域C 上的任意n x n矩阵,则C [ A〕是C上的有限维向代数,C [ A〕上的模是一个复数域上的有限维向量空间V ,带有一个到自身的线性变换A。 V O A.若A 有若当块 ，则“ C [A ]有不可分解模 `

近世代数之我见

一对课程的看法： 1作用与意义 近世代数的理论和方法不仅在数学理论本身中占有及其重要的地位，而且在其他学科中也有着广泛的应用，如理论物理、计算机科学等。其研究的方法和观点，对这些学科产生了越来越大的影响。 本课程旨在使学生对近世代数的基础理论和基本的思想、方法有一个初步的了解，为学生进一步的学习打下必要的基础。要求学生能熟练掌握群、环、域的基本理论，包括其定义和基本的性质，并对模的概念有所理解。要求学生对数学中的公理化思想有初步认识。 2.本课程的主要内容 本课程讲授四类典型的代数系统：集合与运算、群、环和域。其内容包括： 群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，子群与陪集，Lagrange定理，不变子群的定义及其性质，群同态和同构基本定理，能够计算群元素的阶； 环、域、理想、唯一分解环的定义，环中的可逆元，零因子、素元的定义，判别唯一分解环的方法。 3.教学重点与难点 重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理。 难点：商群、商环。 二、对教法的看法： “近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法：

抽象代数

近世代数练习题 一、填空题 1、设集合A={1,2,3,?,m}，B={1,2,3,?,n}，是正整数n m ,，集合B A ?含有 个元素。 2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。 3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个 4、n 次对称群n S 的阶是 。 5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。 6、设R 是模2 n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2 x 在R 里有 个根。 7、由13 =x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。 8、一个 环是域。 9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。 10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。 二、选择题 1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ） 。 332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC 132231:→→→σD 2、下列说法错误的是（ ） 域是除环A 域是整环B 可交换除环是域C 可交换整环是域D 3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。 奇数A 偶数B 0C 整数D 4、下列环中不是除环的是（ ） 整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D 5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2 x x x （ ） 。

()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ） αασ→:A 2:αατ→B ααρ-→:C ααδ→:D 7、设2 2?R 是数域R 上的一切22?矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则 以下矩阵可作为环2 2?R 的零因子的是（ ）。 ???? ??0000A ???? ??0001B ???? ??0111C ??? ? ??1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。 1A 2A 3C 4A 9、剩余类加群Z 18的子群有( )。 个3A 个4B 个5C 个6D 10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2x x x （ ） 。 ()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 三、计算题 1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ?B ， A ? B ,B A ?。 2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ?B ， A ? B ， B A ?。 3、试举出一个由正实数集+ R 到实数集R 的一一映射。 4、设6元置换 ???? ??=???? ??=???? ??=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ (1)求1 -π ,τρ (2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。 5、求出3次对称群3S 的所有子群。 6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。 7、设{} Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。

Strongart数学笔记：浅谈quiver及其path algebra

浅谈quiver及其path algebra 最近读了一点代数表示论，发现不少矩阵环的例子恰好可以通过quiver(箭图）的path algebra（路代数）来解释，与之对比以前那个群表示论简直是弱爆了！下面就简单给大家介绍一下quiver及其path algebra，基本上不涉及表示论的内容。 所谓quiver，实际上就是图论中的有向图，主要是靠箭头来说话的。第一眼看上去，它和代数中的category（范畴）颇为相似。但这两者还是有区别的，下面我来具体分析一下。 1）quiver中的点与箭头都是集合，而且最主要的情况都是有限个点与有限个箭头，这被称为有限quiver；而范畴中的点与态射则更加广泛，一般都不构成集合。 2）quiver中并不是定义箭头的复合运算，只有在path algebra（路代数）中才有道路积的定义；但category中就自带了复合运算，而且还把结合律作为运算的公理。 3）在path algebra中运算是分阶的，常值道路是零阶的，相邻点的箭头是一阶的，所有一阶箭头生成所谓的箭头理想，而一阶与n阶箭头的

复合则是（n+1)阶的；而在一般的category中并没有这个区分，所有的态射都是同一层次的对象。 其实，quiver只是一个从图论中演变出来的具体概念；而category 则更具有公理化意义，是很多代数系统的共通结构的一种概括。有趣的是，在category中也可以仿照path algebra定义category algebra，建立更统一的表示论，把群表示论与关于quiver的结合代数表示论都收为它的特例。 quiver与path algebra的关系可以通过下面的例子进行展示：对于acyclic（零环）的情形，quiver Q的path algebra KQ是矩阵，假若Q 的i点到j点有n条道路，那么其KQ的第（i，j）项就是K^n；同时其对角元为K，这是由默认的常值道路决定的。而对于有环的情形，则对应于相应的多项式环（见下图）。

近世代数学习系列三 环

环 简介 一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集Z就构成一个（数）环。 在20世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来： 1. 若a和b都是环中的元素，那么a+b也是环中的元素； 2. 加法符合结合律：若a、b和c都属于这个环，那么a+(b+c)=(a+b)+c； 3. 在环中存在一个类似于0的元素－－甚至也可以称它为0－－具有性质：对于环中的任一元素a，有0+a=a； 4. 对于环中的每个元素a和b，a+b=b+a都成立。 在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质： 1. 若a和b属于环，那么它们的乘积ab也属于环； 2. 若a、b和c属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。 环的乘法通常不满足交换律（ab=ba 一般不成立），而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种n×n矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。 在20世纪的前30多年中，由于德国数学家诺特(Emmy Noether，1882-1935年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。 环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个n×n矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为

近世代数发展简史

近世代数发展简史 根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。 一、近世代数的定义 代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。 二、近世代数的发展 代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，N.H.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，J.W.R.）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，C.F.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在Math.Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。由于李（Lie，M.S.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，F.G.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，W.K.J.）、外尔（Weyl，（C.H.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。 域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，L.E.）与亨廷顿（Huntington，E.V.）于19世纪初才独立给出。而域的系统发展是从1910年，施泰尼茨（Steinitz，E.）的著名论文“域的代数理论”开始的。同期，布尔（Boole，G.）研究人的思维规律，于1854年出版《思维规律的研究》，建立了逻辑代数，即布尔代数。但格论是在1933～1938年，经伯克霍夫（Birkhoff，G.D.）、坎托罗维奇（Канторович.П.В.）、奥尔（Ore，O.）等人的工作才确立了在代数学中的地位。另一方面，1843年，哈

常用数学符号大全、关系代数符号

常用数学符号大全、关系代数符号 1、几何符号 ⊥⊥⊥⊥⊥≡⊥⊥ 2、代数符号 ⊥⊥⊥～∫≠≤≥≈∞⊥ 3、运算符号 如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（⊥），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（⊥）等。 4、集合符号 ⊥∩⊥ 5、特殊符号 ∑π（圆周率） 6、推理符号 |a|⊥⊥⊥⊥∩⊥≠≡±≥≤⊥← ↑→↓↖↗↘↙⊥⊥⊥ &;§ ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ αβγδεζηθικλμν ξοπρστυφχψω ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥∏∑∕√⊥∞∟ ⊥⊥⊥⊥⊥∩⊥∫⊥ ⊥⊥⊥⊥⊥≈⊥⊥≠≡≤≥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥ 指数0123：o123 7、数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。 8、关系符号 如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“⊥”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“⊥”），。“→ ”表示变量变化的趋势，“⊥”是相似符号，“⊥”是全等号，“⊥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“⊥”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“⊥”是属于符号，“??”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 10、性质符号 如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±” 11、省略符号 如三角形（⊥），直角三角形（Rt⊥），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（⊥）， ⊥因为，（一个脚站着的，站不住） ⊥所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。

数与代数概念总汇

1、自然数：表示物体的数量的数，最小的自然数是“0” 自然数也是整数。0是正整数与负整数的分界线。 2、质数 一个数除了1和它本身，不再有其它的约数（因数），这个数叫做质数（质数也叫做素数）。 质数：只有“1”和它本身两个约数的数。最小的质数是“2”。 3、合数 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数 注意：1只有一个约数，就是它本身，1既不是质数，也不是合数。 最小的质数是2，也是质数中唯一的一个偶数，其余的质数均为奇数。 合数：除了“1”和它本身以外还有别的约数的数。最小的合数“4”。 4、互质数：只有公约数“1”的两个数。 5、公约数：两个数公有的约数。 6、公倍数：两个数公有的倍数。 7、质因数：把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这几个质数叫作这个合数的质因数。 8、分解质因数：把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这个过程叫做分解质因数。 能被2整除数的特征：个位上的数字是0，2，4，6，8 能被3整除数的特征：各位上的数字之和是3的倍数 能被5整除数的特征：个位上的数字是0，5 能被9整除数的特征：各位上的数字之和是9的倍数． 能被4或25整除数的特征：末两位上的数是4或25的倍数． 能被8或125整除数的特征：末三位数是8或125的倍数． 9、偶数 偶数就是可以被2整除的自然数（包括0）也叫做双数。偶数通常用“2k”表示。 10、奇数 奇数就是不能被2整除的自然数，也叫做单数。奇数通常用2k+1表示 小数: 1、小数的基本性质：在小数末尾添上”0”或去掉”0”，小数的大小不变． 2、有限小数：小数部分的位数是有限的。 3、无限小数：小数部分的为数是无限的。` 无限循环小数：小数部分的数位有规律的. 4、无限不循环小数:小数部分没规律(又叫无理数) 5、纯循环小数：从小数部分第一位开始循环` 6、混循环小数：不是从小数部分第一位开始循环 7、循环节:从小数部分的某一位起.开是依次不断重复一个或几个数字.这些数字叫做循环节. 分数

上三角矩阵代数

上三角矩阵代数 摘 要 本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ， ()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论. 关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵 HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRAS

ABSTRACT In this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied. ()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique . KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix 目录

近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》课程教案 第一章基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之

用关系代数表示数据查询的典型例子教学提纲

用关系代数表示数据查询的典型例子 [例]设教学数据库中有3个关系： 学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式和SQL语句分别表达每个查询语句。 (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。 πSNO，GRADE(σCNO=’C2′(SC)) SELECT SNO, GRADE FROM SC WHERE CNO=‘C2’ (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 πSNO，SNAME(σCNO=’C2′(S SC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。 此查询亦可等价地写成： πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO=’C2′(SC))） 这个表达式中自然连接的右分量为”学了C2课的学生学号的集合”。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

SELECTSNO,SNAME FROM S WHERE EXISTS (SELECT * FROM SC WHERESNO=S.SNO ANDCNO=‘C2’) （3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。 πSNO，SANME(σCNAME=’MATHS’(S SC C)) SELECT S.SNO, SNAME FROM S, SC,C WHERE S.SNO=SC.SNO AND https://www.sodocs.net/doc/0117802330.html,O=https://www.sodocs.net/doc/0117802330.html,O AND CNAME=‘MATHS’（4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。 πSNO(σ CNO=’C2’∨CNO=’C4′(SC)) SELECT S.SNO, SNAME FROM S, SC,C WHERE S.SNO=SC.SNO AND https://www.sodocs.net/doc/0117802330.html,O=https://www.sodocs.net/doc/0117802330.html,O AND CNAME=‘MATHS’（5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。 π1(σ1=4∧2=’C2’∧5=’C4′（SC×SC）) SELECTSNO FROM SC AS X, SC AS Y WHERE X.SNO=Y.SNO AND https://www.sodocs.net/doc/0117802330.html,O=‘C2’

代数系统简介

代数发展简史 一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识， 而历史却能给我们智慧。 傅鹰 数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分， 人类的进步和科学思想是一致的。 F. Cajori 0、引言 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。 “代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。

阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期． 花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。

第二单元参考书目

第二单元参考书目 考试科目 考试覆盖内容及参考书 代数学基础N. Jacobson, Basic Algebra I, II. Basic Algrbra I 中的Galois理论；Basic Algebra II中的第一章（范畴理论）、第三章（模论）、第四章（环论）、第七章（交换代数） 微分几何《微分几何讲义》（第二版），陈省身、陈维桓著，1983年，1版，北京大学出版社。《黎曼几何初步》，伍鸿熙著，北京大学出版社。 实分析与复分析庄圻泰，张南岳《复变函数》，北京大学出版社，1984年。周民强《实变函数》，北京大学出版社，有新版。 泛函分析（甲）《泛函分析讲义》（上、下册），张恭庆、林源渠著，北京大学出版社。John B.Conway: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo, 1985. 分析与代数复旦大学数学系陈传璋等编《数学分析》高等教育出版社，2000年版。北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》(修订版)高等教育出版社，1988年版。 高等概率论《测度论基础》，严加安，科学出版社。 数理统计《高等数理统计》，峁诗松，王静龙，濮晓龙，高等教育出版社，1998 偏微分方程（甲）《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》第一部分（陈亚浙、吴兰成著，科学出版社出版。《数学物理方程》，复旦大学数学系主编，高等教育出版社。 近世代数《代数》（英文版），（美）I. Martin Isaacs（威斯康星大学麦迪逊分校）著，机械工业出版社。 运筹学基础 运筹学导论(初级篇第8版)，作者：(美)塔哈；译者：薛毅、刘德刚、朱建明、侯思祥；校注：:韩继业； 出版：人民邮电出版社，2008年 计算机科学基础《离散数学》，左孝凌著，上海科技文献出版社。《计算机算法基础》，邹海明、余祥宣著，华中科技大学出版社。《形式语言与自动机理论》，John E.Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D.Ullman，清华大学出版社。 决策分析《决策分析》陈珽著，科学出版社，1991年。 经济学

h代数的fock表示

Home Search Collections Journals About Contact us My IOPscience Fock - Bargmann representation of the distorted Heisenberg algebra This article has been downloaded from IOPscience. Please scroll down to see the full text article. 1996 J. Phys. A: Math. Gen. 29 3281 (https://www.sodocs.net/doc/0117802330.html,/0305-4470/29/12/030) View the table of contents for this issue, or go to the journal homepage for more Download details: IP Address: 183.62.57.9 The article was downloaded on 03/07/2012 at 11:04 Please note that terms and conditions apply.

J.Phys.A:Math.Gen.29(1996)3281–3288.Printed in the UK Fock–Bargmann representation of the distorted Heisenberg algebra J Oscar Rosas-Ortiz? Departamento de F′?sica,CINVESTA V-IPN,AP14-740,07000M′e xico DF,Mexico Received11December1995 Abstract.The dynamical algebra associated with a family of Isospectral Oscillator Hamiltonians,named distorted Heisenberg algebra because of its dependence on a distortion parameter w 0,has recently been studied.The connection of this algebra with the Hilbert ,2)is analysed. space of entire analytic functions of growth(1 2 1.Introduction In1980,Abraham and Moses found a general class of one-dimensional potentials isospectral to the oscillator one by means of the Gelfand–Levitan formalism[1].An elegant way of constructing the same class,used by Mielnik[2],consists of the application of a variant of the standard factorization method.The connection between the Darboux transformation and this generalized factorization has recently been discussed[3–5].The Mielnik construction is suitable for the easy identi?cation of a pair of annihilation and creation operators for the isospectral oscillator Hamiltonians{A,A?},which are adjoint to each other,although their commutator is not the identity[2].Departing of the previous operators,a different pair,{A,B?},was constructed such that the commutator is the identity but(A)?=B?[6].Recently,a third choice was made[7],where the annihilation C w and creation C?w operators are adjoint to each other and commute with the identity on a subspace of the state space,imitating then the behaviour of the usual annihilation and creation operators for the harmonic oscillator,i.e.the Heisenberg–Weyl algebra.It turns out that C w and C?w depend on a parameter w 0.The apparence of this parameter is important because it leads to the Heisenberg–Weyl algebra for some of its particular values.Moreover,the coherent states constructed from these operators reach the standard form of the harmonic oscillator coherent states for such w-values.In the general case(w arbitrary),these operators have an algebraic structure very similar to the harmonic oscillator one. The Fock–Bargmann representation of the Heisenberg–Weyl algebra is widely used in physics and mathematics[8].The?rst application was in quantum?eld theory,where the operatorsˉz and?/?ˉz represent the creation and annihilation of bosons.Recently,this algebra has also been considered in the study of tensor bosons,arising in composite object theories,which according to their symmetry properties have been classi?ed as symmetric or antisymmetric[9]. The resemblance between the operator pair{C w,C?w}and the Heisenberg–Weyl corresponding one{a,a?},suggests the following question,which we will try to answer in ?E-mail address:orosas@?s.cinvestav.mx 0305-4470/96/123281+08$19.50c 1996IOP Publishing Ltd3281