数学思想专练(一)
一、选择题
1.(2018届高三·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=4,S 10=110,则S n +64a n
的最小值为( )
A .7
B .8 C.15
2
D.172
解析:选D 设等差数列{a n }的公差为d ,则?
???
?
a 2=a 1+d =4,S 10=10a 1+10×9
2d =110,解得?
??
??
a 1=2,
d =2,所以a n =2+2(n -1)=2n ,S n =2n +n n -1
2×2=n 2
+n ,所以S n +64a n =n 2+n +642n =n 2+32n +
1
2
≥2
n 2·32n +12=172,当且仅当n 2=32
n
,即n =8时取等号,故选D. 2.若关于x 的方程x 2
+2kx -1=0的两根x 1,x 2满足-1≤x 1<0 A.? ????-34,0 B.? ????-34,0 C.? ?? ??0,34 D.???? ??0,34 解析:选B 构造函数f (x )=x 2 +2kx -1, ∵关于x 的方程x 2 +2kx -1=0的两根x 1,x 2满足-1≤x 1<0 ∴???? ? f -1≥0,f 0<0,f 2>0, 即???? ? -2k ≥0,-1<0,4k +3>0, ∴-3 4 3.设函数g (x )=x 2 -2(x ∈R),又函数f (x )=??? ?? g x +x +4,x x -x ,x ≥g x . 则f (x )的值域是 ( ) A.???? ??-94,0∪(1,+∞) B .[0,+∞) C .[-9 4 ,+∞) D.???? ??-94,0∪(2,+∞) 解析:选D 依题意知 f (x )=???? ? x 2 -2+x +4,x -2,x 2-2-x ,x ≥x 2 -2, f (x )=????? x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2 -x -2,-1≤x ≤2. 画出f (x )的图象,如图所示,从图中可以看出f (x )的值域为(2, + ∞)∪???? ??-94,0. 4.已知f (x )=e x -e -x +1,若f (a )+f (a -2)<2,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,1) B .(-∞,2) C .(1,+∞) D .(2,+∞) 解析:选A 设g (x )=e x -e -x ,显然有f (x )=g (x )+1,且g (x )为奇函数,在R 上是增函数, 因为f (a )+f (a -2)<2,所以g (a )+g (a -2)<0,所以g (a )<-g (a -2)=g (2-a ),所以a <2-a ,所以a <1,选A. 5.设函数f (x )=ax 2 +bx +c (a <0)的定义域为D ,若所有点(s ,f (t ))(s ,t ∈D )构成一个正方形区域,则a 的值为( ) A .-2 B .-4 C .-8 D .不能确定 解析:选B 根据二次函数性质及复合函数的性质,如示意图,设g (x ) = ax 2+bx +c (a <0)的两个零点为x 1,x 2,则一定有|x 1-x 2|=f max (x ),故 b 2-4ac a 2 = 4ac -b 2 4a ,a 2 =-4a ,a =-4,选B. 6.定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ,有f (x +2)=f (x )-f (1),且当x ∈[2,3]时, f (x )=-2x 2+12x -18,若函数y =f (x )-lo g a (x +1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a 的取 值范围是( ) A.? ????0,33 B.? ????0,22 C.? ?? ??0, 55 D.? ?? ??0, 66 解析:选A ∵f (x +2)=f (x )-f (1),令x =-1,则f (1)=f (-1)-f (1), ∵f (x )是定义在R 上的偶函数,∴f (1)=f (-1),∴f (1)=0. ∴f (x )=f (x +2),即函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数, 又∵当x ∈[2,3]时,f (x )=-2x 2 +12x -18, 令g (x )=log a (x +1) ,则f (x )与g (x )在[0,+∞)的部分图象如图所示. y =f (x )-log a (x +1)在(0,+∞)上至少有三个零点,可化为f (x )与g (x )的图象在(0,+∞)上至少有三个交点,g (x )在(0,+ ∞)上单调递减, 则????? 0-2, 解得0<a < 3 3 ,故选A. 二、填空题 7.已知变量x ,y 满足约束条件???? ? x +y ≥1,y ≤3, x -y ≤1, 若z =kx +y 的最大值为5,且k 为负整数, 则k =________. 解析:利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示: 其中点A (-2,3),B (4,3),C (1,0),根据线性规划知识可得,目标函数的最优解必在交点处取得,则-2k +3=5或4k +3=5或k +0=5, 又k 为负整数,所以k =-1. 答案:-1 8.(2017·泰州模拟)在直角△ABC 中,AB =2,AC =23,斜边BC 上有异于端点的两点E ,F ,且EF =1,则AE ―→·AF ―→ 的取值范围是________. 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设E (x,23-3x ), F ? ?? ??x +12, 332-3x ,其中0 x +12+ ()2 3-3x ? ?? ??332-3x =4x 2-10x +9.设f (x )=4x 2 -10x +9? ????0 ??114,9. 答案:?? ?? ??114,9 9.如图,设直线m ,n 相交于点O ,且夹角为30°,点P 是直线m 上的动点,点A ,B 是直线n 上的定点.若|OA ―→|=|AB ―→|=2,则PA ―→·PB ―→ 的最 小值是________. 解析:以OB 所在直线为x 轴,过O 且垂直于AB 的直线为y 轴, 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。 刷题增分练1集合的概念与运算 刷题增分练①小题基础练提分快 一、选择题 1.[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B =() A.{3}B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7} 答案:C 解析:A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.故选C. A=() 2.[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x2-x-2>0},则? R A.{x|-1 共有9个.故选A. 2.[2019·湖南联考]已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-3x ≥0},B ={x |1 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性; 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组: 1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|≤a,x∈R},若A?B,那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1,p=log a (a3+a+1),q=log a (a2+a+1),则p、q的大小关系是 _____。 A. p=q B. p 高考数学大题 1.(12分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2) (1)若a ⊥b ,求tan θ的值; (2)若a ∥b ,且θ为第Ⅲ象限角,求sin θ和cos θ的值。 2.(12分)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,且AC=BC=BD=2AE ,M 是AB 的中点. (I)求证:CM ⊥EM: (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3.(13分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高 下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (Ⅱ)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4.(12分) 在△ABC 中,∠A .∠B .∠C 所对的边分别为a .b .c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA (1)求角A .B .C 的大小; (2)设函数f(x)=sin (2x+A )+cos (2x- 2C ),求函数f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离。 5.(13分)已知函数f(x)=x+x a 的定义域为(0,+∞)且f(2)=2+22,设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线,垂足分别为M ,N. (1)求a 的值; (2)问:|PM|·|PN|是否为定值?若是,则求出该定值, 若不是,则说明理由: (3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值。 6.(13分)设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数,e 为自然对数的底数) (1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; (2)若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p 的值; (3)若在[1,e]上至少存在一点x 0,使得f(x 0)>g(x 0)成立,求p 的取值范围. 小题提速练(一) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合A ={x |x 2-4x -5≤0},B ={x |x |≤2},则A ∩(?R B )=( ) A .[2,5] B .(2,5] C .[-1,2] D .[-1,2) 解析:选B.由题得A =[-1,5],B =[-2,2],则?R B =(-∞,-2)∪(2,+∞),所以A ∩(?R B )=(2,5],故选B. 2.如果复数m 2+i 1+m i 是纯虚数,那么实数m 等于( ) A .-1 B .0 C .0或1 D .0或-1 通解:选D.m 2+i 1+m i =(m 2+i )(1-m i ) (1+m i )(1-m i ) =m 2+m +(1-m 3)i 1+m 2,因为此复数为纯虚数,所以? ????m 2 +m =0, 1-m 3≠0,解得m =-1或0,故选D. 优解:设m 2+i 1+m i =b i(b ∈R 且b ≠0),则有b i(1+m i)=m 2+i ,即-mb +b i =m 2+i ,所以 ?????-mb =m 2 ,b =1, 解得m =-1或0,故选D. 3.设x ,y 满足约束条件???? ?2x +y -6≥0,x +2y -6≤0,y ≥0,则目标函数z =x +y 的最大值是( ) A .3 B .4 C .6 D .8 通解:选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x +y =0,平移该直线,当直线经过点A (6,0)时,z 取得最大值,即z max =6,故选C. 上海高考数学大题解题技巧 一、立体几何题 1.证明线面位置关系,一般不需要去建系,更简单; 2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时,最好要建系; 3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。 二、三角函数题 注意归一公式、二倍角公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时,套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时,很容易因为粗心,导致错误!),正弦定理,余弦定理的应用。 三、函数(极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题) 1.先求函数的定义域,单调区间一般不能并,用“和”或“,”隔开(知函数求单调区间,不带等号;知单调性,求参数范围,带等号); 2.注意最后一问有应用前面结论的意识; 3.注意分论讨论的思想; 4.不等式问题有构造函数的意识; 5.恒成立问题(分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法); 四、圆锥曲线问题 1.注意求轨迹方程时,从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想,椭圆考得最多,方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法; 2.注意直线的设法(法1分有斜率,没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时),知道弦中点时,往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等; 3.战术上整体思路要保10分,争12分,想16分。 五、数列题 1.证明一个数列是等差(等比)数列时,最后下结论时要写上以谁为首项,谁为公差(公比)的等差(等比)数列; 2.最后一问证明不等式成立时,如果一端是常数,另一端是含有n的式子时,一般考虑用数列的单调性(或者放缩法);如果两端都是含n的式子,一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时,当n=k+1时,一定利用上n=k时的假设,否则不正确。利用上假设后,如何把当前的式子转化到目标式子,一般进行适当的放缩,这一点是有难度的。简洁的方法是,用当前的式子减去目标式子,看符号,得到目标式子,下结论时一定写上综上:由①②得证; 3.如果是新定义型,一定要严格的套定义做题(仔细理解新定义)。 4.战术上整体思路要保10分,争12分,想16分。2020高考数学专题复习----立体几何专题
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q D.当a>1时,p>q;当0
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