石家庄备战中考数学备考之圆的综合压轴突破训练∶培优 易错 难题篇
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD
=，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即
∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB
DB DA
=，即DB2=DF?DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF?DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．
（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °
（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．
【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．
（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．
试题解析：（1）连接FE，
∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，
∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．
∵，即．
∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．
（2）作图如下：
P （7，7），PH 是分割线．
考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．
3．如图，AB 为
O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠．
()1DE 是O 的切线吗？请说明理由； ()2求证：2AC CD BE =?．
【答案】（1）结论：DE 是O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；
（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题. 【详解】
()1解：结论：DE 是
O 的切线．
理由：连接OD ．
CDB ADE ∠=∠， ADC EDB ∴∠=∠， //CD AB ，
CDA DAB ∴∠=∠，
OA OD
=，
OAD ODA
∴∠=∠，
ADO EDB
∴∠=∠，
AB是直径，
90
ADB
∴∠=，
90
ADB ODE
∴∠=∠=，
DE OD
∴⊥，
DE
∴是O的切线．
()2//
CD AB，
ADC DAB
∴∠=∠，CDB DBE
∠=∠，
AC BD
∴=，
AC BD
∴=，
DCB DAB
∠=∠，EDB DAB
∠=∠，
EDB DCB
∴∠=∠，
CDB
∴∽DBE，
CD DB
BD BE
∴=，
2
BD CD BE
∴=?，
2
AC CD BE
∴=?．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
4．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．
（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．
【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（23
5 2
【解析】
试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．
（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．
试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．
证明：连接OC
∵CB∥PO
∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB
∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∴∠POA=∠POC
又∵OA=OC，OP=OP
∴△APO≌△CPO
∴∠OAP=∠OCP
∵PA是⊙O的切线
∴∠OAP=90°
∴∠OCP=90°
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接AC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（6分）
由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC
∵∠ACB=∠PCO
∴△ACB∽△PCO
∴
∴．
点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．
5．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF：
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为2，求BD的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22
【解析】
分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；
（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．
详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE.
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴BF
DG
=
CF
CG
，
EF
AG
=
CF
CG
，
∴BF
DG
=
EF
AG
，
∵G是AD的中点，
∴DG=AG，
∴BF=EF；
(2)连接AO，AB.
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵BE 是圆O 的切线， ∴∠EBO =90°， ∴∠FBA +∠ABO =90°， ∴∠FAB +∠BAO =90°， 即∠FAO =90°， ∴PA ⊥OA ， ∴PA 是圆O 的切线；
（3）过点F 作FH ⊥AD 于点H ，
∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ， ∴FH ∥BC ，
由(2)，知∠FBA =∠BAF ， ∴BF =AF . ∵BF =FG ， ∴AF =FG ，
∴△AFG 是等腰三角形. ∵FH ⊥AD ， ∴AH =GH ， ∵DG =AG ， ∴DG =2HG . 即
1
2
HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴1
2
FH HG CD DG ==， 即1
2
BD CD =， ∴
23
2.153
≈，
∵O的半径长为32，
∴BC=62，
∴BD=1
3
BC＝22.
点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.
6．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．
（1）当点H落在AC边上时，求t的值；
（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，
1
2
t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．
【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210)
2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
；②100cm2．
【解析】
试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；
（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）
2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；
②分两种情形分别列出方程即可解决问题．
试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2
如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．
综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．
（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2
如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣1
2
（5t﹣10）2=﹣
7
2
t2+50t﹣50．
如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣
1
2
（30﹣3t）2=﹣
7
2
t2+50t﹣50．
如图6中，当10
＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
综上所述：S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210) 2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
．
②如图7中，当0＜t≤5时，1
2
t+3t=15，解得：t=
30
7
，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，
1
2
t+20﹣
t=15，解得：t=10，此时S=100．
综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2
点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC，OE于点F，G．
（1）求∠DGE的度数；
（2）若
CF
OF
＝
1
2
，求
BF
GF
的值；
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若
CF
OF
＝k，求1
2
S
S的值．（用含k的式子表示）
【答案】(1)∠DGE＝60°；(2)
7
2
；(3)1
2
S
S=
21
1
k k
k
++
+
.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；
（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的
长度，再证得△FGO ∽△FCB ，进而求得
BF
GF
的值； （3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表
示出1
2
S S 的值．
【详解】
解：(1)∵BC ＝OB ＝OC ， ∴∠COB ＝60°， ∴∠CDB ＝
1
2
∠COB ＝30°， ∵OC ＝OD ，点E 为CD 中点， ∴OE ⊥CD ， ∴∠GED ＝90°， ∴∠DGE ＝60°；
(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3 ∵∠COB ＝60° ∴OH ＝
1
2
OF ＝1， ∴HF
HB ＝OB ﹣OH ＝2， 在Rt △BHF 中，
BF == 由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°， 又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°， ∴∠OGB ＝∠OCB ， ∵∠OFG ＝∠CFB ， ∴△FGO ∽△FCB ， ∴
OF GF
BF CF
=， ∴
， ∴
BF GF =7
2
. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ， 设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1， ∵∠COB ＝60°， ∴OH ＝
12OF=12
，
∴HF ＝3
30H 2
=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12
，
在Rt △BHF 中，
BF ＝222HB HF k k 1+=
++，
由(2)得：△FGO ∽△FCB ，
∴GO OF CB BF
=，即
211
GO k k k =+++，
∴GO 2
1
k k =
++，
过点C 作CP ⊥BD 于点P ∵∠CDB ＝30° ∴PC ＝
1
2
CD ， ∵点E 是CD 中点，
∴DE ＝
1
2CD ， ∴PC ＝DE ， ∵DE ⊥OE ，
∴12S S =BF GO =2211
k k k k ++++=21
1
k k k +++
【点睛】
圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．
8．在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），点B （0，
），点O （0，0）．△AOB 绕
着O 顺时针旋转，得△A'OB'，点A 、B 旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为
﹣2．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;
（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A ＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';
（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.
【详解】
解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,
∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,
∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,
由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,
∴△OAA'是等边三角形,
∴α＝∠AOA'＝60°,
∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,
∴B'C ＝OB’＝,
∴OC＝3,
∴B'（3,）,
（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',
∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,
∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,
∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,
即AA'⊥BB';
（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：
如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,
∵∠APB＝90°,
∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．
【点睛】
本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P 的轨迹为以点M 为圆心,以MP 为半径的圆．
9．如图，AB 是
O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点C 的切线交AB 的延长线于点
F ，连接DF .
（1）求证：DF 是
O 的切线；
（2）连接BC ，若30BCF ∠=?，2BF =，求CD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】
【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF 为CD 的垂直平分线，得CF=DF ，∠CDF=∠DCF ，由∠CDO=∠OCD ，再证∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，可得OD ⊥DF ，结论成立. (2) 由∠OCF=90°, ∠BCF=30°，得∠OCB=60°，再证ΔOCB 为等边三角形，得∠COB=60°，可得∠CFO=30°，所以FO=2OC=2OB ，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE 中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE. 【详解】（1）证明：连接OD ∵CF 是⊙O 的切线 ∴∠OCF=90° ∴∠OCD+∠DCF=90° ∵直径AB ⊥弦CD
∴CE=ED ，即OF 为CD 的垂直平分线 ∴CF=DF ∴∠CDF=∠DCF ∵OC=OD ， ∴∠CDO=∠OCD
∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90° ∴OD ⊥DF ∴DF 是⊙O 的切线 （2）解：连接OD ∵∠OCF=90°, ∠BCF=30° ∴∠OCB=60° ∵OC=OB
∴ΔOCB 为等边三角形， ∴∠COB=60° ∴∠CFO=30°
∴FO=2OC=2OB ∴FB=OB= OC =2
在直角三角形OCE 中，∠CEO=90°∠COE=60°
CE 3
sin COE OC ∠=
=
∴CF 3=
∴CD=2 CF 23=
【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形. 解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30°角的直角三角形性质，巧解直角三角形.
10．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．
（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ?顺时针旋转60度，得到AMN ?.
①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上； ②求PA+PB+PC 的值.
（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.
【答案】（1）①详见解析；②27；（2）31312PQ PQ -≤≤+≠且； 【解析】 【分析】
（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；
②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 的最小值为3-1，PQ 的最大值为
3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图，
∵△APB ≌△AMN ，△APM 是等边三角形， ∴∠APM=∠APM=60°， ∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°， ∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°， ∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°， ∴C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上； ②解：连接BN ,易得ΔABN 是等边三角形 ∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°， ∴∠NBC=90°， ∵AC=2，
∴AB=BN=4，3
∵PA=PM，PB=MN，
∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，
在Rt△CBN中，CN=22
+=，
BC BN27
∴PA+PB+PC=27．
(2) 如图2中，
∵∠BPC=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），
设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，
可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，
∴33+1且PQ≠2．
∴≤≤≠
的取值范围是且
PQ31PQ31PQ2
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．