反例在高等数学教学中的应用

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反例在高等数学教学中的应用

作者：于慧刘勇

来源：《新校园·上旬刊》2014年第10期

摘要：美国学者B.R.盖尔鲍姆等人曾指出：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。”这个比喻，形象地说明了“反例”。在教学中恰当地应用反例可以帮助学生全面、准确地理解高等数学中的一些概念及定理，对学生理解概念、纠正错误、开拓思维、掌握定理起着很大的作用。

关键词：反例；高等数学；教学；应用

回顾数学的发展史，反例具有重要的地位，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。如在19世纪以前，数学界长期认为连续函数除个别点外，总是处处可导。但是，后来数学家们创

造出了很多反例，使他们清醒地认识到了分析基础严格化的必要性和重要性，推动了微积分理论的发展。本文将根据高等数学实际教学情况，结合作者多年的教学经验，阐述反例在高等数学中的应用。

一、利用反例加深学生对数学概念的理解

在讲数列极限的定义时，由于概念比较抽象，学生很难全面掌握。这时不妨给出表面相似而实质却根本不同的反例进行区别和判断，从而使学生真正掌握概念的实质。

例1：判断以下两个叙述是否与极限的定义等价。

（1）有无穷多个ε>0，对每一个ε，存在N（ε），当n>N时，有|an-a|

（2）对任意正数ε，有无穷多个an，使|an-a|

叙述（1）忽略了ε的最本质的属性任意小的正数。教学中可举出反例{an}：an=1+（-1）n加以说明。

叙述（2）对任意正数ε，虽然有无穷多个an，使|an-a|0，都必须存在某个自然数N，即数列{an}的某一项aN，从项aN以后的所有项都必须满足|an-a|

因此，这两个叙述都与数列极限的定义不等价。通过反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的ε与N在定义中的作用与意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。

例2：为确定连续、可导、有连续导数三个概念，可举出以下四个问题。

（1）f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否连续？