北师大版七上数学有理数的乘法练习题(带答案)
1.有理数的乘法法则
(1)乘法法则 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘,积仍为0. ①两个有理数相乘,积的符号是由两个因数的符号确定:同号(+,+或-,-)得正,异号(+,-或-,+)得负;②0与任何数相乘,积都是0;③1乘任何数得原数,-1乘任何数得原数的相反数.
(2)两个有理数相乘的步骤 ①先确定积的符号; ②再求出积的绝对值.
(3)多个有理数的乘法
①几个不等于0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.
②几个有理数相乘,有一个因数为0,结果就是0;反之,若几个数的积为0,则至少有一个因数为0.
释疑点 有理数相乘的方法 ①几个有理数相乘,先确定积的符号,再把绝对值相乘;②当几个因数中有一个为0时,不用再判断符号,直接得0.
【例1】 计算:(1)(+4)×(-5);
(2)(-0.75)×(-1.2);
(3)? ??
??-29×0.3; (4)0×? ??
??-17; (5)? ????-112×113×? ????-114×? ????-115×116
. 分析:按照乘法法则运算,先确定符号,再将绝对值相乘.
解:(1)(+4)×(-5)=-(4×5)=-20;
(2)(-0.75)×(-1.2)=+(0.75×1.2)=0.9;
(3)? ????-29×0.3=-? ??
??29×310=-115; (4)0×? ??
??-17=0; (5)? ????-112×113×? ????-114×? ????-115×116=-? ??
??32×43×54×65×76=-72. 2.倒数
如果两个有理数的乘积为1,那么称其中的一个数是另一个数的倒数,也称这两个数互为倒数.
若a ≠0,则a 的倒数是1a
. 谈重点 对倒数的理解
①0没有倒数;②互为倒数的两个数的符号相同,即正数的倒数是正数,负数的倒数是负数;③若两个数互为倒数,则它们的乘积为1;④倒数等于它本身的数是1和-1.
【例2】 填空:(1)-76
的倒数是__________;0.2的倒数是__________;(2)倒数是4的数是__________.
解析:乘积是1的两个数互为倒数.
答案:(1)-67 5 (2)14
3.有理数的乘法运算律
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变.
用字母表示为:a ×b =b ×a .
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变. 用字母表示为:(a ×b )×c =a ×(b ×c ).
(3)乘法对加法的分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
用字母表示为:a ×(b +c )=a ×b +a ×c .
谈重点 乘法运算律的运用方法 ①交换因数的位置时,要连同符号一起交换;②公式中的字母a ,b ,c 可以是正数,也可以是负数和0;③乘法的交换律和结合律对多个因数的乘法也适用;④为了能简便运算,也可以逆用乘法对加法的分配律,即a ×b +a ×c =a ×(b +c ).
【例3】 计算:(1)(-8)×9×(-1.25)×? ??
??-19; (2)? ??
??114-56+12×(-12); (3)-5.372×(-3)+5.372×(-17)+5.372×4;
(4)?
????-243435×2.5×(-8); (5)? ??
??1112-79-518×36-6×1.43+3.93×6. 分析:运用乘法的运算律进行简化计算.(1)用乘法交换律和结合律;(2)用乘法对加法的分配律;(3)因各乘积中都有因数 5.372,故可逆用乘法对加法的分配律进行简便计算;
(4)将带分数拆成整数与分数的和或差,再运用乘法结合律和乘法对加法的分配律;(5)算式的前半部分可直接正向运用乘法对加法的分配律,后半部分可逆用乘法对加法的分配律,从而可省去通分和繁杂的计算.
解:(1)(-8)×9×(-1.25)×? ??
??-19 =[(-8)×(-1.25)]×????
??9×? ????-19 =10×(-1)=-10;
(2)? ??
??114-56+12×(-12) =114×(-12)+? ??
??-56×(-12)+12×(-12) =-15+10+(-6)=-11;
(3)-5.372×(-3)+5.372×(-17)+5.372×4
=5.372×3+5.372×(-17)+5.372×4
=5.372×[3+(-17)+4]
=5.372×(-10)=-53.72;
(4)?
????-243435×2.5×(-8) =243435×2.5×8=?
????25-135×20 =25×20-135×20=500-47
=49937
.
(5)? ??
??1112-79-518×36-6×1.43+3.93×6 =1112×36-79×36-518
×36+6×(-1.43+3.93) =33-28-10+6×2.5
=-5+15=10.
4.与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算
根据已知的与绝对值、相反数、倒数有关的条件,进行有关的综合计算,其步骤是:
(1)利用条件,先求出有关字母的数值或有关式子的数值;(2)将所求的式子变形,使其符合上述条件;(3)将条件代入变形后的式子,按照规定的运算进行计算.
【例4】 已知a 与b 互为倒数,c 与d 互为相反数,m 的绝对值是4,求m ×(c +d )+a ×b -3×m 的值.
分析:互为倒数的两个数的积是1,互为相反数的两个数的和是0,绝对值是4的数是±4,所以本题要分情况计算.
解:因为a 与b 互为倒数,c 与d 互为相反数,m 的绝对值是4,所以a ×b =1,c +d =0,m =±4.
当m =4时,m ×(c +d )+a ×b -3×m =4×0+1-3×4=-11;
当m =-4时,m ×(c +d )+a ×b -3×m =(-4)×0+1-3×(-4)=13.
5.运用有理数乘法运算律进行简便运算 有理数的乘法中的简便运算主要是运用乘法的交换律、乘法的结合律和乘法对加法的分配律进行运算.
(1)乘法交换律和结合律的运用
运用乘法交换律、结合律的情况: ①一般将互为倒数的先结合; ②将容易约分的先结合.
(2)乘法对加法的分配律的运用
运用乘法对加法的分配律时注意以下几点: ①要把括号外面的因数连同符号与括号内的每一项相乘,它是以后要学的去括号的理论依据. ②乘法对加法的分配律可以逆用,即a ×b +a ×c =a ×(b +c ). ③乘法对加法的分配律可以推广为:
a ×(
b +
c +
d +
e )=a ×b +a ×c +a ×d +a ×e ,各字母为任意有理数.
运用乘法对加法的分配律时,可以先确定符号,再进行计算,或者先利用分配律,再确定符号.有时可逆用乘法分配律:a ×b +a ×c =a ×(b +c ),使计算简便.
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【例5-1】 学习了有理数的乘法运算律之后,老师出示了下面的一道题目:
计算:-36×? ??
??12-59+56-712. 刘洋:原式=-????
??36×? ????12-59+56-712 =-?
????36×12-36×59+36×56-36×712 =-(18-20+30-21)=-7.
吕征:原式=-36×12-36×59-36×56-36×712
=-18-20-30-21=89.
你认为刘洋和吕征同学的解法都正确吗?若有错误,请你按其思路改正过来.
分析:本题是一个整数与多个分数的和相乘,可利用乘法对加法的分配律简化运算.运用乘法对加法的分配律时,要注意符号.
解:刘洋的解答是正确的,而吕征的解答是错误的.
改正:原式=-36×12-(-36)×59+(-36)×56-(-36)×712
=-18-(-20)+(-30)-(-21)=-7.
【例5-2】 用简便方法计算:
-3.14×35.2+6.28×(-23.3)-1.57×36.4.
分析:通过观察,可以发现3.14,6.28,1.57之间成倍数关系,故可以将式子进行变形,使式子里每一项中都含有1.57,再逆用乘法对加法的分配律,可避免复杂的计算.
解:-3.14×35.2+6.28×(-23.3)-1.57×36.4
=-1.57×2×35.2+1.57×4×(-23.3)-1.57×36.4
=1.57×[-2×35.2+4×(-23.3)-36.4]
=1.57×(-70.4-93.2-36.4)
=1.57×(-200)=-314.
6.有理数的乘法运算的实际应用
有理数的乘法运算的应用,主要是利用有理数的乘法解决生活中的实际问题.其步骤是:
①分析题意;
②列出算式;
③运用有理数的乘法法则或运算律进行计算;
④写出答案.
【例6】 一天,小刚和小明利用温差测量山峰的高度,小明在山顶测得的温度是-2 ℃,小刚在山脚测得的温度是4 ℃.已知该地区的高度每增加100 m ,气温大约下降0.6 ℃,求这个山峰的高度大约是多少.
解:4-(-2)0.6
×100=10×100=1 000(m). 答:这个山峰的高度大约为1 000 m.