2021年四川省成都市天府新区中考数学一诊试题
2021年四川省成都市天府新区中考数学一诊试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A ．x 2﹣2x ﹣3＝0
B ．x ﹣2y +1＝0
C ．2x +3＝0
D ．x 2+2y ﹣10＝0 2．一个由半球和圆柱组成的几何体如图水平放置，其俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（ ）
A ．10
B ．20
C ．24
D ．48
4．在Rt ABC ?中，190,cos 2C A ∠=?=
，则B 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
5．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )
A ．2∶3
B ．4∶9
C
D ．3∶2 6．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A ，D 两个端点之间的距离为10m ，23
AO DO BO CO ==，则容器的内径是（ ）
A ．5cm
B ．10cm
C ．15cm
D ．20cm 7．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，BD ：DF ＝2：5，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5 8．某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程（）
A．100（1+x）2＝500
B．100+100?2x＝500
C．100+100?3x＝500
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝500
9．在同一坐标系中，函数
k
y
x
=和3
y kx
=+(0)
k≠的图像大致是
A．B．C．
D．
10．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）
A．12 B．15 C．16 D．18
二、填空题
11．若
5
3
x y
y
+
=，则
x
y
＝_____．
12．抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是_____．
13．设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣2
x
图象上的两点，若x1＜x2＜0，
则y1与y2之间的关系是_____．
14．设a 、b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a ﹣1）（b ﹣1）的值为_____． 15．在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有_____个．
16．已知一列数a 1，a 2，…，a n （n 为正整数）满足a 1＝1，a 2＝1122a a +＝23
，…，a n ＝1122
n n a a --+，请通过计算推算a 2019＝_____，a n ＝_____．（用含n 的代数式表示） 17．如图，点A 在双曲线y ＝k x
（k ≠0）的第一象限的分支上，AB 垂直y 轴于点B ，点C 在x 轴正半轴上，OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，连接CD ，若△CDE 的面积为1，则k 的值为_____．
18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是A 边上一点，且AE
，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为_____．
三、解答题
19．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：
①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；
②分别以M ，N 为圆心，以大于12
MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ； ③作AP 射线，交边CD 于点Q ．
若QC ＝1，BC ＝3，则平行四边形ABCD 周长为_____
20．（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°|1-
（2）解方程：x2﹣5x+4＝0．
21．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．
22．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）
23．今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响，有较大幅度的上升，为了解某地区养殖户受非洲猪瘟疫情感染受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有感染），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是；把图2条形统计图补充完整．
（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？ （3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a ，b ，c ，d ，e ）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e 的概率．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x m =-+的图象与反比例函数(0)k y x x
=>的图象交于,A B 两点，已知(2,4)A
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求B 点的坐标；
（3）连接,AO BO ，求AOB ?的面积．
25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，过点A 作直线MN ，且∠MAC ＝∠ABC ．
（1）求证：MN 是⊙O 的切线．
（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．
①求证：FD ＝FG ．
②若BC ＝3，AB ＝5，试求AE 的长．
26．为建设天府新区“公园城市”，实现城市生活垃圾减量化、资源化、无害化的目标．近日，成都市天府新区计划在各社区试点实施生活垃圾分类处理活动，取得市民积极响应．某创业公司发现这一商机，研发生产了一种新型家庭垃圾分类桶，并投入市场试营销售．已知该新型垃圾桶成本为每个40元，市场调查发现，该垃圾桶每件售价y （元）与每天的销售量为x （个）的关系如图．为推广新产品及考虑每件利润因素，公司计划每天的销售量不低于1000件且不高于2000件．
（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（个）的函数关系式；
（2）设该公司日销售利润为W（元），求每天的最大销售利润是多少元？
27．已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE ＝90°
（1）如图1，当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时，连接BF，
①求证：△CAE∽△CBF；
②若BE＝2，AE＝4，求EF的长；
（2）如图2，当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时，若AB EF
BC FC
＝k，BE＝1，AE
＝3，CE＝4，求k的值．
28．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得S△DAC ＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）上下平移直线AB，设平移后的直线与抛物线交与A′，B′两点（A′在左边，B'在右边），且与y轴交与点P（0，n），若∠A′MB′＝90°，求n的值．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】
解：A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、是二元一次方程，故此选项错误；
C、是一元一次方程，故此选项错误；
D、是二元二次方程，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．A
【分析】
根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答．
【详解】
解：这个几何体的俯视图为：
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键．
3．C
【解析】
试题分析：由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，
∴这个菱形的面积是：×6×8=24．
故选C ．
考点：菱形的性质．
4．A
【分析】
根据特殊角的三角函数值可知∠A 的度数，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案.
【详解】
∵cosA=12
， ∴∠A=60°，
∴∠B=90°=60°=30°，
故选A.
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值得出∠A 的度数是解题关键. 5．B
【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S
==． 【详解】 因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，
所以S △ABC ：S △DEF =（
23）2=49，故选B ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．
6．C
【分析】
首先连接AD 、BC ，然后判定△AOD ∽△BOC ，根据相似三角形的性质可得
23
AD AO B BO C ==，进而可得答案．
【详解】
解：连接AD、BC，
∵
2
3
AO DO
BO CO
==，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴
2
3 AD AO
B BO
C
==，
∵A，D两个端点之间的距离为10m，
∴BC＝15m，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的判定和性质．
7．A
【分析】
根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断．
【详解】
解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：EC＝BD：DF＝2：5，
AC：AE＝BD：BF＝2：7．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．8．D
【解析】
【分析】
如果平均每月增长率为x，根据某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业
额共500万元，可列方程．
【详解】
设平均每月增长率为x，
100[1+（1+x）+（1+x）2]=500．
故选D．
【点睛】
本题考查理解题意的能力，分别求出一，二，三月份的，以总和为等量关系列出方程．9．C
【解析】
试题分析：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．
故选C．
考点：1.反比例函数的图象；2.一次函数的图象．
10．A
【详解】
∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC=1
2
AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，∴AE=10，
∴6
==，
∴△BCE的面积=1
2
BC?BE=
1
2
×4×6=12．
故选A．
11．2 3
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可．【详解】
解：∵
5
3
x y
y
+
=，
∴3（x+y）＝5y，∴3x＝2y，
∴
2
3
x
y
=．
故答案为：2
3
．
【点睛】
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，需熟记．12．（2，﹣8）
【分析】
本题可以运用配方法求顶点坐标，也可以根据顶点坐标公式求坐标．
【详解】
解：利用配方法y＝x2﹣4x﹣4＝x2﹣4x+4﹣8＝（x﹣2）2﹣8，
∴顶点的坐标是（2，﹣8）．
故答案为：（2，﹣8）．
【点睛】
本题考查求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
13．y2＞y1＞0
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．【详解】
解：∵反比例函数y＝﹣2
x
中，k＝﹣2＜0，
∴函数图象的两个分支位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x 1＜x 2＜0，
∴y 2＞y 1＞0．
故答案为：y 2＞y 1＞0．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．－2019
【分析】
根据根与系数的关系得出a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2021，再代入计算即可．
【详解】
解：∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，
∴a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2021，
∴（a ﹣1）（b ﹣1）＝ab ﹣（a +b ）+1＝﹣2021+1+1＝﹣2019，
故答案为：﹣2019．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
15．17
【分析】
根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】
解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球， ∵假设有x 个红球， ∴3
x x ＝0.85， 解得：x ＝17，
经检验x ＝17是分式方程的解，
∴口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
【点睛】
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该
相等是解决问题的关键．
16．
1
1010
2
1
n+
【分析】
根据题意先计算出前几个数，发现规律即可求解．【详解】
解：根据题意得，
a1＝1＝2
2
；
a2＝2
3
；
a3＝1
2
＝
2
4
；
…
发现规律：
∴a n＝
2
1 n+
．
∴a2019＝
2
20191
+
＝
1
1010
．
故答案为：
1
1010
，
2
1
n+
．
【点睛】
本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是写出前几个数之后，寻找规律，总结规律，运用规律．
17．16 3
【分析】
设A（a，b），则C（2a，0），D（0，1
2
b），根据三角形面积公式，由AE＝3EC得到S△ADC
＝4S△CDE＝4，由于S梯形ABOC＝S△ABD+S△OCD+S△ADC，则1
2
（a+2a）?b＝
1
2
?a?
1
2
b+
1
2
?2a?
1
2
b+4，
整理得ab＝16
3
，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k＝
16
3
．
【详解】
解：设A（a，b），
∵OC＝2AB，点D为OB的中点，
∴C（2a，0），D（0，1
2 b），
∵AE＝3EC，△CDE的面积为1，∴S△ADC＝4S△CDE＝4，
∵S梯形ABOC＝S△ABD+S△OCD+S△ADC，
∴1
2
（a+2a）?b＝
1
2
?a?
1
2
b+
1
2
?2a?
1
2
b+4，
∴ab＝16
3
，
∵点A在双曲线y＝k
x
（k≠0）的图象上，
∴k＝16
3
．
故答案为：16
3
．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，过这一个
点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
18．
3 2
【分析】
根据矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，可得AC＝5，由AE F是边BC上的任意位置时，点C始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小．所以点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．根据锐角三角函数先求得h的值，再分别求得三角形ACD和三角形ACG的面积即可得结论．
【详解】
解：如图，连接AC，
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∠B＝∠D＝90°，
∴AC＝5，
∵AB＝3，AE
∴点F是边BC上的任意位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，
S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG
＝1
2
?3×4+
1
2
×5h，
＝6+5
2 h．
要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小．
∵点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝
4
5 BC
AC
=，
在Rt△AEH中，AE
sin∠BAC＝
4
5 EH
AE
=，
解得EH＝4
5
AE，
EG＝BE＝AB﹣AE＝3
∴h＝EH﹣EG﹣（3﹣3．
∴S 四边形AGCD ＝6+52×﹣3）
＝33222
-=．
故答案为：
32． 【点睛】
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是确定满足条件的点G 的位置，运用相似、锐角三角函数等知识解决问题．
19．14
【分析】
根据角平分线的性质可知∠DAQ ＝∠BAQ ，再由平行四边形的性质得出CD ∥AB ，BC ＝AD ＝3，∠BAQ ＝∠DQA ，故可得出△AQD 是等腰三角形，据此可得出DQ ＝AD ，进而可得出平行四边形ABCD 周长．
【详解】
解：如图：
∵由作图可知，AQ 是∠DAB 的平分线，
∴∠DAQ ＝∠BAQ ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD ∥AB ，BC ＝AD ＝3，∠BAQ ＝∠DQA ，
∴∠DAQ ＝∠DQA ，
∴△AQD 是等腰三角形，
∴DQ ＝AD ＝3．
∵QC ＝1，
∴CD ＝DQ+CQ ＝3+1＝4，
∴平行四边形ABCD 周长＝2（DC+AD ）＝2×（4+3）＝14．
故答案为：14．
【点睛】
本题考查的是复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．（1）-4；（2）x1＝1，x2＝4
【分析】
（1）原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：（1）原式＝1﹣﹣1
＝1﹣ 1
＝﹣4；
（2）分解因式得：（x﹣1）（x﹣4）＝0，
可得x﹣1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程的解法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．见解析
【分析】
根据平行四边形的两组对边分别相等可证△ABM≌△DCM，可知∠A＝∠D＝90°，所以是矩形．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
在△ABM和△DCM中，
AM DM AB DC BM CM =??=??=?
，
∴△ABM ≌△DCM （SSS ），
∴∠A ＝∠D ＝90°，
∴平行四边形ABCD 是矩形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，即有一个角是90度的平行四边形是矩形． 22．热气球离地面的高度约为233米．
【解析】
【分析】
作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，表示出DB 和DC ，根据正切的概念求出x 的值即可．
【详解】
解：作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，
设AD 为x ，
由题意得，∠ABD=45°
，∠ACD=35°， 在Rt △ADB 中，∠ABD=45°
， ∴DB=x ，
在Rt △ADC 中，∠ACD=35°
， ∴tan ∠ACD=
AD CD
， ∴ 100x x + = 710 ， 解得，x≈233．
答：热气球离地面的高度约为233米．
【点睛】