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高二数学矩阵的概念1

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1.定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ,如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+, 2 π βα=-,则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin ( ). A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2.定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4. 若行列式21 24 1 013 9x x =-,则=x . 5.若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ,则x y += . 6.已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ,则 x y -=_______. 7.矩阵1141?? ???? 的特征值为 . 8.已知变换100M b ?? =? ??? ,点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a ',则a b += 9.配制某种注射用药剂,每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间,用0.618 法寻找最佳加入量时,若第一试点是差点,第二试点是好点,则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ; 10.已知 , ,则y= . 11.若2211 x x x y y y =--,则______x y +=

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第09课时 逆矩阵的概念

第09课时 逆矩阵的概念 一、要点讲解 1.二阶逆矩阵的概念: 2.逆矩阵的求法: 二、知识梳理 1.对于二阶矩阵,若有______________________,则称A 是可逆的,B 称为A 的逆矩阵. 2.在六种变换中,__________变换一定不存在逆矩阵. 3.一般地,对于二阶可逆矩阵(0)a b A ad bc d c =-≠?????? ,它的逆矩阵为1A -=________________. 4.若二阶矩阵A 、B 均可逆,则AB 也可逆,且(AB )-1=____________. 5.已知A 、B 、C 为二阶矩阵,且AB = AC ,若矩阵A 存在逆矩阵,则___________. 三、例题讲解 例1. 对于下列给出的变换矩阵A ,是否存在变换矩阵B ,使得连续进行两次变换(先T A 后 T B )的结果与恒等变换的结果相同? (1)以x 为反射轴的反射变换; (2)绕原点逆时针旋转60o作旋转变换; (3)横坐标不变,沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换; (4)沿y 轴方向,向x 轴作投影变换; (5)纵坐标y 不变,横坐标依纵坐标的比例增加,且满足(x ,y )→(x + 2y ,y ). 例2. 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请求出逆矩阵;若不存在, 请说明理由. (1)0110??????=A ; (2)11210??????????=B ; (3)0110??-????=C ; (4)1010?????? =D ; 例3. 求矩阵3221??? ???=A 的逆矩阵. 四、巩固练习 1. 已知矩阵122301,,231210??????? ?????--??????===B C A ,求满足AXB = C 的矩阵X .

推荐高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

2.4.1 逆矩阵的概念 1.逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A 、B ,若有AB =BA =E ,则称A 是可逆的,B 称为A 的逆矩阵,记为A -1 . 2.逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A 、B 均可逆,则AB 也可逆,且(AB )-1 =B -1A -1 . (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB =AC ,若A 存在逆矩阵,则B =C . 3.逆矩阵的求法 (1)公式法:对于二阶矩阵A =???? ??ab cd ,若ad -bc ≠0,则A 必可逆,且A -1 = ????????d ad -bc -b ad -bc -c ad -bc a ad -bc . (2)待定系数法. (3)逆变换法. [对应学生用书P30] [例1] 求矩阵A =?? ?? 3 22 1的逆矩阵. [思路点拨] 设出逆矩阵,利用待定系数法求解或直接利用公式法求解. [精解详析] 法一:待定系数法:设A -1 =??????xy zw , 则??????3 22 1??????xy zw =???? ??1 00 1. 即????3x +2z 3y +2w 2x +z 2y +w =??? ?1 00 1, 故? ?? ?? 3x +2z =1,2x +z =0,? ?? ?? 3y +2w =0, 2y +w =1, 解得x =-1,z =2,y =2,w =-3,

从而A 的逆矩阵为A -1 =?? ??-122-3. 法二:公式法:ad -bc =3×1-2×2=-1≠0, ∴A -1 =???? ??-122-3. 用待定系数法求逆矩阵时,先设出矩阵A 的逆矩阵A -1 ,再由AA -1 =E 得相等矩阵,最后利用相等矩阵的概念求出A -1 . 1.(江苏高考)已知矩阵A =?? ????-1002,B =???? ??1206,求矩阵A -1 B . 解:设矩阵A 的逆矩阵为??????ab cd ,则?? ????-1 0 0 2??????ab cd =?????? 1 00 1,即??????-a -b 2c 2d =???? ??1 00 1 故a =-1,b =0,c =0,d =12 ,从而A 的逆矩阵为A -1=???????? -1 0 0 12, 所以A -1 B =? ?? ?? ??? -1 0 0 12?????? 1 20 6=???? ??-1 -2 0 3. 2.已知矩阵M =???? 21 -3-1所对应的线性变换把点A (x ,y )变成点A ′(13,5),试求M 的逆矩阵及点A 的坐标. 解:由M =????21 -3 -1,得2×(-1)-(-3)×1=1≠0, 故M -1 =????-1-1 32. 从而由????21 -3-1????x y =???? 13 5得 ????x y =????-1-1 32????13 5=????-1×13+3×5-1×13+2×5=??? ? 2-3, 故? ?? ?? x =2,y =-3,即A (2,-3)为所求.

苏教版高中数学高二选修4-2 矩阵乘法的概念

选修4-2矩阵与变换 2.3.1 矩阵乘法的概念 编写人: 编号:008 学习目标 1、 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。 2、 理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换的角度来看,它表 示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。 学习过程: 一、预习: (一)阅读教材,解决下列问题: 问题:如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样?举例说明。 归纳1:矩阵乘法法则: 归纳2:矩阵乘法的几何意义: (二)初等变换:在数学中,一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合,而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换,对应的矩阵叫做初等变换矩阵。 练习 、.?? ??????????10110110=( ) A 、???? ??1110 B 、??????1011 C 、? ? ? ???0111 D 、??????0110 、已知矩阵X 、M 、N,若M =?? ? ???--1111, N =??????--3322,则下列X 中不满足:XM=N ,的一个 是( ) A 、X =???? ??--2120 B 、X =??????--1211 C 、X =??????--3031 D 、X =? ? ? ???-3053

二、课堂训练: 例1.(1)已知A= 11 22 11 22 ?? ? ? ? ? ?? ,B= 11 22 11 22 ?? - ? ? ? - ? ?? ,计算AB (2)已知A= 10 02 ?? ? ?? ,B= 14 23 ?? ? - ?? ,计算AB,BA (3)已知A= 10 00 ?? ? ?? ,B= 10 01 ?? ? ?? ,C= 10 02 ?? ? ?? 计算AB,AC 例2、已知梯形ABCD,其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换,再将所得图形绕原点逆时针旋转0 90 (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M (2)求点A,B,C,D在 M T作用下所得到的结果 (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形,并验证(2)中的结论。

上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算 矩阵的概念 1、形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ?-?? 这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量;垂直方向排列 的数组成的向量12n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量;由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵,m n ?阶矩阵可记做m n A ?,如矩阵13 ?? ??? 为21?阶矩阵,可记做21A ?;矩阵 512128363836232128?? ? ? ??? 为33?阶矩阵,可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i (i m ≤)行第 j (j n ≤)列数可用字母ij a 表示,如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时,我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个 23?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵,简称方阵,一个方阵有 n 行(列),可称此方阵为n 阶方阵,如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中,从左上角到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线

的元素均为1,其余元素均为零的方阵,叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ??? 为2阶单位矩阵,矩阵100010001?? ? ? ??? 为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等,那么A 与B 叫做同阶矩阵;如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵,记为A B =。 7、对于方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵 2332441m n ?? ?- ? ?-??,我们叫做方程组的系数矩阵;而矩阵2313242414m n ?? ?- ? ?-?? 叫做方程组的增广矩阵。 应用举例: 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---???? == ? ?++????且A B =,求a 、b 的值及矩阵A 。 例2、写出下列线性方程组的增广矩阵: (1)23146x y x y +=??-=?;(2)2320 3250230 x y z x y z x y z +-+=?? -++-=??-++=? 例3、已知线性方程组的增广矩阵,写出其对应的方程组: (1)235124-?? ?-??(2)210203213023-?? ? - ? ? -?? 例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1αα ββ+?? ?+??为单位矩阵,且,,2παβπ?? ∈???? ,求()sin αβ-的值。 矩阵的基本变换:

高中数学 矩阵及逆矩阵 试题及解析

高中数学矩阵及逆矩阵试题 一.选择题(共13小题) 1.关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为()A.B.C.D. 2.定义=a1a4﹣a2a3,若f(x)=,则f(x)的图象向右平移个单位得到的函数解析式为() A.y=2sin(x﹣)B.y=2sin(x+) C.y=2cos x D.y=2sin x 3.给出一个算法=x1y2﹣x2y1,如果,那么实数a的值等于()A.0B.1C.2D.3 4.设行列式=n,则行列式等于()A.m+n B.﹣(m+n)C.n﹣m D.m﹣n 5.设=,n∈N*,则n的最小值为() A.3B.6C.9D.12 6.函数的最小正周期是() A.2πB.πC.D. 7.有矩阵A3×2,B2×3,C3×3,下列运算可行的是() A.AC B.BAC C.ABC D.AB﹣AC 8.定义运算=ad﹣bc,则函数图象的一条对称轴方程是()A.B.C.D. 9.已知矩阵A=,C=,若AC=BC,则矩阵B=()

A. B. C. D.,其中a,c为任意实数 10.已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=,则矩阵A的特征值为() A.﹣1B.4C.﹣1,4D.﹣1,3 11.矩阵的逆矩阵是() A.B.C.D.12.矩阵A=的逆矩阵为() A.B. C.D. 13.设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则|A*|=()A.|A|B.C.|A|*D.|A|n﹣1二.填空题(共22小题) 14.若=0,则x=. 15.若θ∈R,则方程=0的解为. 16.增广矩阵()的二元一次方程组的解(x,y)=. 17.已知矩阵A=,矩阵B=,计算:AB=. 18.N=,则N2=. 19.若行列式=1,则x=. 20.二阶行列式的运算结果为.

沪教版(上海)高二上学期数学第 九 章 矩阵和行列式初步

第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 第一课时 9.1 矩阵的概念(1) [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题; 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念; 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念; 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念; 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入: 引例1:已知向量()1,3OP =,如果把的坐标排成一列,可简记为13?? ??? ; 引例2:2008 我们可将上表奖牌数简记为:512128363836232128?? ? ? ??? ; 引例3:将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列,可简记为 2332441m n ?? ?- ? ? -?? ;若将常数项增加进去,则可简记为:2313242414m n ?? ? - ? ?-??。 二、概念讲解:

1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -? ?这样的矩形数表 叫做矩阵。 2、在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量;垂直方向排列的数 组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量;由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵, m n ?阶矩阵可记做m n A ?,如矩阵13?? ???为21?阶矩阵,可记做21A ?;矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵,可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i (i m ≤)行第 j (j n ≤)列数可用字母ij a 表示,如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时,我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵,简称方阵,一个方阵有n 行(列), 可称此方阵为n 阶方阵,如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中,从左上角到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线的元素均为1,其余 元素均为零的方阵,叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵,矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等,那么A 与B 叫做同阶矩阵;如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵,记为A B =。

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时 矩阵的概念

第01课时 矩阵的概念 一、要点讲解 1.矩阵的概念: 2.矩阵的相等: 二、知识梳理 1.在数学中,将形如13?????? ,80908688??????,23324m ????-??这样的__________________称做矩阵._____________________________________叫做矩阵的行,______________________ ________________叫做矩阵的列.通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵. 2.__________________称为零矩阵;______________________称为行矩阵;____________ _______________称为列矩阵. 3.平面上向量α = (x ,y )的坐标和平面上的点P (x ,y )看作行矩阵可记为________,看作列矩阵可记为_________. 4.当两个矩阵A ,B ,只有当A ,B 的_______________________,并且____________________也分别相等时,才有A = B . 三、例题讲解 例1. 用矩阵表示△ABC ,其中A (-1,0),B (0,2),C (2,0). 例2. 设31,422x y A B z ????==????--???? ,若A = B ,求x ,y ,z . 例3. 已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ,其中每行、每列都是等差数列,ij a 表示位于第i 行第j 列的数. (1)写出45a 的值; (2) 写出ij a 的计算公式. 四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形,并求该三角形的面积.

上海高二数学矩阵及其运算有详细答案精品

上海高二数学矩阵及其 运算有详细答案精品 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

上海版高二上数学 矩阵及其运算 一.初识矩阵 (一)引入: 引例1:已知向量()1,3OP =,如果把OP 的坐标排成一列,可简记为13?? ???; 引例2:2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表: 记为:512128363836232128?? ? ? ??? ; 我们可将上表奖牌数简 231324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未引例3:将方程组 知数z y x ,,的系数按原来的次序排列,可简记为2332441m n ?? ? - ? ?-??;若将常数项增加进去, 则可简记为:2313242414m n ?? ? - ? ?-?? 。 (二)矩阵的概念 1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -?? 这样的矩形数表叫做矩 阵。 2、在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量;垂直方向排列的数 组成的向量12n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量;由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵,

m n ?阶矩阵可记做m n A ?,如矩阵13?? ???为21?阶矩阵,可记做21A ?;矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵,可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i (i m ≤)行第j (j n ≤)列数可用字母ij a 表示,如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时,我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ???为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵,简称方阵,一个方阵有n 行 (列),可称此方阵为n 阶方阵,如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。 在一个n 阶方阵中,从左上角到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线的元素均为 1,其余元素均为零的方阵,叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ??? 为2阶单位矩阵,矩阵 100010001?? ? ? ??? 为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等,那么A 与B 叫做同阶矩阵;如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵,记为A B =。

高二数学基本概念——第9章 矩阵和行列式初步

第9章 矩阵和行列式初步 一、 矩阵 9.1 矩阵的概念 矩阵及其相关的概念 1、矩形数表叫做矩阵 矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 由个数排成的行列的数表 n m ?m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn m m n n a a a a a a a a a 21 2222111211称为矩阵. n m ?记作?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221 11211n m ij a ?=)( 2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。? ?? ? ??-1321它是2行2列的矩阵,记为 2 2?A ,矩阵 可简记为A n m A ?注意: 矩阵的符号,是“()”,不能是“| |”. 列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 。 等,或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ???)(,

说明: 通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解,这里所用的矩阵变换有 下列三种: (1)互换矩阵的两行 (2)把某一行同乘以(除以)一个非零常数 (3)某行乘以一个数加到另一行 通过上述三种矩阵变换,使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时,其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

9.2 矩阵的运算 矩阵 列的矩形表,称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ?==?) ,,2,1;,2,1( 11 12121 2221 2 .....................n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 记为列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 ,()m n m n ij A B a ??必要时可记为等,或者A=。 0m n O O ?所有元素均为的矩阵,称为零矩阵,记作或定义1一、复习 定义2若两个矩阵A ,B 有相同的行数与相同的列数,并且对 应的位置上的元素相等,则称矩阵A 与矩阵B 相等。记为:A=B n m ij n m ij b B a A ??==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,) ij ij a b i m j n ===且则A=B 。 ...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算 (一)矩阵的加(减)法和数与矩阵的乘法 3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减)得到的行列矩阵,称为矩阵与矩阵的和(差)。A-B A B +记为或()。 A B ±即 ()()ij m n ij m n a b ??=±()ij ij m n a b ?=± 定义4以实数乘矩阵A 中的每一个元素所得到的矩阵,称为实数与矩阵A 的乘积矩阵.记做A A α即 ()ij m n a α?=()ij m n a α?=的负矩阵的元素变号,称为的乘积使与A A A 1-A -记作n m ij a A ?-=-)(即 α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B αααααα=+=+注意:()矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律:()()()

上海高二数学矩阵及其运算(完整资料)

【最新整理,下载后即可编辑】 矩阵及其运算 矩阵的概念 1、形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ?-? ?这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量;垂直方向排 列的数组成的向量12n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量;由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵,m n ?阶矩阵可记做m n A ?,如矩阵13?? ??? 为21?阶矩阵,可记做21A ?; 矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 为33?阶矩阵,可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i (i m ≤)行第j ( j n ≤)列数可用字母ij a 表示,如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第 3行第2个数为 3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时,我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为 一个23?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵,简称方阵,一个方 阵有n 行(列),可称此方阵为n 阶方阵,如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中,从左上角到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线的元素均为1,其余元素均为零的方阵,叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ??? 为2 阶单位矩阵,矩阵100010001?? ? ? ??? 为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等,那么A 与B 叫做同阶矩阵;如果 矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵,记为A B =。

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

第1章 线性空间和线性变换(详解) 1-1 证:用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行,第i 列的元素为1外,其余元素全为0 的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行,第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外,其余元素全为0的矩阵. 显然,ii E ,ij E 都是对称矩阵,ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ,ij E 是线性无关的,且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示,此 即对称矩阵组成(1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间, 只需找出(1) 2 n n +个向量线性无关,并且集合中任何一个向量都可以用这 (1) 2n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解:方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=????+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++= 1210,3x x x +==

矩阵分析几何意义的整理

矩阵分析几何意义和透彻理解PCA的一些整理这是几篇很不错的文章集合在一起的一篇文章,有些内容来自blog,有些来自文献和教程,解决了我遇到很多疑问,感谢把它推荐给我的人。前四部分来自早期几篇blog,把空间描述的形象且易懂,适合我们这些非数学专业的人搞明白一些抽象的问题。 一、矩阵的特征值概述:矩阵特征值要讲清楚需要从线性变换入手,把一个矩阵当做一个线性变换在某一组基下的矩阵,最简单的是数乘变换,求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换,特征值就是这个数乘变换的变换比。这样的一些向量就是特征向量,其实我们更关心的是特征向量,希望把原先的线性空间分解成一些向量相关的子空间的直和,这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行,这和物理中研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理。 自相关矩阵最大特征值和特征向量并没有和原来的哪个信号一一对应,而且特征分解本身的含义相当于对原来的信号做了这样的正交分解。使得各个分量之间相互不相关,也就是K—L展开,每一个特征值相当于原来各个信号导向矢量的线性组合,因此不能仅仅从某个特征矢量中直接对应原来某个信号的特征。 二、线性空间和矩阵的几个核心概念: 空间(space):空间的数学定义是一个集合,在这个集合上定义某某概念,然后满足某些性质,就可以被称为空间。 我们所生活的空间是一个三维欧几里德空间,我们所生活空间的特点: (1)有很多(实际上是无穷多个)位置点组成 (2)这些点之间存在着相对关系。 (3)可以咋空间中定义长度、角度。 (4)这个空间可以容纳运动(从一个点到一个点的移动,而不是微积分意义上的“连续”性运动) 第(4)点是空间的本质特征,(1)、(2)两点是空间的基础而非性质,第(3)点在其他空间也行并不具备,自然更不是关键的性质。只有第(4)点是空间的本质。 把三维空间的认识拓展到其他空间。事实上,不管是什么空间,都必须容纳和支持在其中发生的符合规律的运动(变换)。我们会发现,在某种空间中往往会存在一种相对应的变换,比如:拓扑空间中有拓扑变换,线性空间中有线性变换,仿射空间中有仿射变换,其实这些变换都只不过是对应空间允许的运动形式而已。 例1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间,也就是说,这个线性空间中每一个对象是一个多项式。如果我们以X0,X1,X2,…..,Xn为基,那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量,其中的每一个分离ai其实就是多项式Xi-1项系数。

高考数学《矩阵与行列式》专题复习

高考数学《矩阵与行列式》专题复习 1.矩阵:n m ?个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1, ==排成m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn n m n n a a a a a a a a a A 2122212 11211叫做矩阵。记作n m A ?,n m ?叫做矩阵的维数。 矩形数表叫做矩阵,矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。 2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。 ?? ?=+=+222 1 11c y b x a c y b x a 3.线性方程组矩阵的三种变换: ①互换矩阵的两行; ②把某一行同乘(除)以一个非零的数; ③某一行乘以一个数加到另一行。 变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵,其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。 4.矩阵运算:加法、减法及乘法 (1)矩阵的和(差):记作:A+B (A-B ). 运算律:加法交换律:A+B=B+A ;加法结合律:(A+B )+C=A+(B+C ) (2)矩阵与实数的积:设α为任意实数,把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵,记作:α A.

运算律:分配律:()B A B A γγγ+=+;A A A λγλγ+=+)(; 结合律:()()()A A A γλλγγλ==; (3)矩阵的乘积:设A 是k m ?阶矩阵,B 是n k ?阶矩阵,设C 为n m ?矩阵。如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积,那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积,记作:C m ×n =A m ×k B k ×n . 运算律:分配律:AC AB C B A +=+)(,CA BA A C B +=+)(; 结合律:()()()B A B A AB γγγ==,()()BC A C AB =; 注意:矩阵的乘积不满足交换律,即BA AB ≠. 5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法: 设二元一次方程组(*)?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a (其中y x ,是未知数,2121,,,b b a a 是未知数的系数 且不全为零,21,c c 是常数项) 用加减消元法解方程组(*): 当01221≠-b a b a 时,方程组(*)有唯一解:??? ? ???--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x , 引入记号 21a a 2 1b b 表示算式1221b a b a -,即 21a a 2 1b b 1221b a b a -=. 从而引出行列式的相关概念,包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。 记= D 21a a 2 1b b ,= x D 21c c 2 1b b ,= y D 21a a 2 1c c ,则: ①当= D 21a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时,方程组(*)有唯一解, 可用二阶行列式表示为??? ? ?? ? ==D D y D D x y x . ②当D =0时,0x y D D ==方程组(*)无穷组解; ③当D =0时,0≠x D 或0≠y D ,方程组(*)无解。 系数行列式11 22 a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。

高中数学 矩阵与变换

14.2 矩阵与变换 解答题 1. 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆4x 2 +y 2 =1在矩阵A =?? ?? ?? 2 00 1对应的变换下得到曲线F ,求F 的方程. 解析 设P (x ,y )是椭圆4x 2+y 2=1上的任意一点,点P (x ,y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′,y ′),则有??????x ′y ′=?? ????2 00 1 ??????x y ,即??? x ′=2x ,y ′=y , 所以??? x =x ′ 2y =y ′ . 又因为点P (x ,y )在椭圆4x 2+y 2=1上, 所以4( x ′2 )2+y ′2=1, 即x ′2+y ′2=1. 故曲线F 的方程为x 2+y 2=1. 【点评】 线性变换是基本变换,解这类问题关键是由??????x ′y ′=A ???? ?? x y 得到点 P ′(x ′,y ′)与点P (x ,y )的坐标关系. 2.已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下,点A (1,2)变成了点A ′(7,10),点B (2,0)变成了点B ′(2,4),求矩阵M . 解析 设M =?? ?? ??a b c d ,则?? ????a b c d ??????12=??????710,??????a b c d ??????20=???? ??24, 即??? a +2b =7, c +2 d =10,2a =2,2c =4. 解得??? a =1, b =3, c =2, d =4. 所以M =?? ???? 1 3 2 4.

3.求圆C :x 2 +y 2=4在矩阵A =?? ?? ?? 2 00 1的变换作用下的曲线方程. 解析 设P ′(x ′,y ′)是圆C :x 2+y 2=4上的任一点, 设P (x ,y )是P ′(x ′,y ′)在矩阵A =?????? 2 00 1对应变换作用下新曲线上的对应点, 则??????x y =??????2 00 1 ??????x ′y ′=???? ??2x ′ y ′, 即?? ? x =2x ′,y =y ′, 所以?? ? x ′=x 2, y ′=y . 将??? x ′=x 2, y ′=y 代入x 2 +y 2 =4,得x 2 4 +y 2=4, 故方程为x 2 16+y 2 4 =1. 4.在平面直角坐标系xOy 中,直线l :x +y +2=0在矩阵M =?? ?? ?? 1 a b 4对应的变换作用下得到直线m :x -y -4=0,求实数a ,b 的值. 解析 在直线l :x +y +2=0上取两点A (-2,0),B (0,-2). A 、 B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为??????1 a b 4 ??????-2 0=?????? -2 -2b ,所以点A ′的坐标为(-2,-2b ); ??????1 a b 4 ?????? 0-2=???? ??-2a -8,所以点B ′的坐标为(-2a ,-8). 由题意,点A ′、B ′在直线m :x -y -4=0上, 所以??? (-2)-(-2b )-4=0,(-2a )-(-8)-4=0. 解得a =2,b =3. 5.求曲线C :xy =1在矩阵M =?????? 1 1-1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程. 解析 设P (x 0,y 0)为曲线C :xy =1上的任意一点,

苏教版数学高二 选修4-2测评6 逆矩阵的概念

学业分层测评(六) [学业达标] 1.已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π 4,再作关于x 轴反射变换,求这个变换的逆变换的矩阵. 【解】 这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换,再作绕原点顺时针旋转π 4变换,其矩阵 ? ??? ?? cos (-π4) -sin (-π 4)sin (-π4) cos (-π 4)??????1 00 -1= ????? ??? 22 -2 2- 22 -22. 2.求矩阵?? ?? ?? 11 1的逆矩阵. 【导学号:30650038】 【解】 法一 待定矩阵法:设矩阵?? ????0 11 1的逆矩阵为??????x y z w ,则?????? 0 11 1??????x y z w =???? ?? 1 00 1, 即????? ??? z w x +z y +w =?????? 1 00 1,所以????? z =1, w =0,x +z =0, y +w =1, 解得????? x =-1, y =1,z =1, w =0,

故所求逆矩阵为?? ?? ?? -1 1 1 0. 法二 A =?? ?? ?? 0 11 1中,0×1-1×1=-1≠0, ∴A -1 = ????? ???1-1 -1-1 -1-1 0-1=???? ??-1 1 1 0. 3.已知A =?? ????1 11 2,B =???? ?? 2 -1-1 1,求证B 是A 的逆矩阵. 【证明】 因为A =??????1 11 2,B =???????? 2 -1-1 1, 所以AB =??????1 11 2???????? 2 -1-1 1=?? ?? ?? 1 00 1, BA =???????? 2 -1-1 1??????1 11 2=??????1 00 1 , 所以B 是A 的逆矩阵. 4.已知M =???? ??2 00 1,N =???????? 1 00 12,求矩阵MN 的逆矩阵. 【解】 因为M =???? ??2 00 1,N =????????1 00 12, 所以MN =??????2 00 1? ???????1 00 12=????????2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为??????a b c d ,则? ???????2 00 12???? ??a b c d

(完整版)矩阵的概念教案.doc

9.1矩阵的概念 一、新课引入: 分析二元一次方程组的求解过程,探讨研究矩阵的有关知识:步骤方程组矩形数表 1 2 3 4 x 2 y5, 3x y8. 二、新课讲授 1、矩阵的概念 ( 1)矩阵:我们把上述矩形数表叫做矩阵,矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。 ( 2)系数矩阵和增广矩阵:矩阵 1 2 叫方程组的系数矩阵,它是 2 行 2 3 1 列的矩阵,可记作 A2 2 。矩阵1 2 5 叫方程组的增广矩阵它是 2 行 3 3 1 8 列的矩阵,可记作 A2 3 。 (3)方矩阵:把行数与列数相等的矩阵叫方矩阵,简称为方阵。上述矩阵是2 阶方矩阵, ( 3)方阵1 0 叫单位矩阵。 0 1 (5)行向量和列向量: 1 行 2 列的矩阵( 1,- 2)、( 3 , 1)叫系数矩阵的两

个行向量,2 行 1 列的矩阵 1 、 2 叫系数矩阵的两个列向量。 3 1 2、概念巩固 1、二元一次方程组2x 3y 1 的增广矩阵为 ,它是行 3x 4 y 5 列的矩阵,可记作,这个矩阵的两个行向量为; 2、二元一次方程组3x 5y 6 的系数矩阵为,它是方阵, 3y 4x 7 这个矩阵有个元素; x z 6 0 3、三元一次方程组3x y 7 0 的增广矩阵为, 2 y 2z 1 3 0 这个矩阵的列向量有; 4、若方矩阵A2 2是单位矩阵,则A2 2 =; 2 1 1 ,写出对应的方程5、关于 x,y 的二元一次方程组的增广矩阵为 3 7 4 组; 2 1 0 1 6、关于 x,y,z 的三元一次方程组的增广矩阵为0 2 5 2 ,其对应的 0 1 2 8 方程组为 3、矩阵的变换 讨论总结:类比二元一次方程组求解的变化过程,方程组相应的增广矩阵的行发 生着怎样的变换呢?变换有规则吗?请讨论后说出你的看法。

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