1-2-1-3 等差数列应用题.教师版

【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。

【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分

【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99L 共33个，他们的和是

()09934179916832

+?=?=，则他们的平均数为1683÷34=。 【答案】49.5

【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个

野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题

【解析】 平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15?-只果，共有15只猴.

【答案】15只猴子

【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着

有 位同学．

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】学而思杯，1年级

【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105-=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，

学学的左边还有15123-=（个），15645--=（个）学学和思思中间排着5位同学．

<考点> 排队问题

【答案】5位

【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报

17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20

【答案】20

【例 5】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为

102的两个数一一配对，可配成25对．

所以2469698100++++++L =2+10025=10325=2550??（）

（方法二）根据12398991005050++++++=L ，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．

【答案】2550

【例 6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，

第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的

例题精讲 等差数列应用题

规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由

多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几

项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ?-（）

， 所以，第102项321021205=+?=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是：

【答案】499

【例 7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数(重

合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛，第6题

【解析】 这列数第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋

5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55。

【答案】55

【例 8】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28

层．问最下面一层有多少根?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项

是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．

解： 1(1)n a a n d =+-?

32=(根)

故最下面的一层有32根．

【答案】32

【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层

都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数

=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。

【答案】555458

【例 9】 一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 (方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一

个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8．由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：3108252+?÷=（）（根）

（方法二）我们可以这样假想：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）

这个槽内的钢管共有8层，每层都有31013+=（根），所以槽内钢管的总数为：3108104+?=（） （根）．取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：104252÷=（根）

【答案】52

【巩固】 某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个

座位？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 第一排座位数：702(201)32-?-=（个），一共有座位：(3270)2021020+?÷=（个）．

【答案】1020

【巩固】 一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三

排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 如果我们把每排的座位数依次记下来，10、12、14、16、… 容易知道，是一个等差数列．210是第

2101021101n =-÷+=（）排，中间一排就是第1011251+÷=（）排，那么中间一排有：

105112110+-?=（）（个）座位．根据刚刚学过的中项定理，这个剧场一共有：11010111110?=（块）

． 【答案】11110

【例 10】 有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？

【考点】等差数列应用题 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛，第10题

【解析】 从图中可以看出，除去最上层1个球外，第二层（次上层）有（1＋2＋3＋4＋5）＝15个球，以

后每层比上一层多6、7、8、9、10个球，共7层.15＋6＝21，21＋7＝28，28＋8＝36，36＋9＝45，45＋10＝55，1＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝201。

【解析】 答：共有201个球。

【答案】201个球

【例 11】 某年4月所有星期六的日期数之和是54，这年4月的第一个星期六的日期数是 。

【考点】 等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，二试，第14题

【解析】 4x +(+7) +(+14) +(+21)=54，x =3

【答案】3

【例 12】 一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位

乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 通过尝试可得：1231111111266++++=+?÷=L （），

即第11站后，车上坐满乘客．记住自然数1~10的和对于解一些应用题很有帮助，需要尝试求解时能够较快找到大概的数．

【答案】11

【例 13】 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下，即：

1231212112)12212781290+++++=+?÷+=+=L （）（（下），

所以一昼夜时钟一共敲打：902180?=（下）．

【答案】180

【例 14】 已知：13599101a =+++++L ，24698100b =+++++L ，则a 、b 两个数中，较大的数比较

小的数大多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 （方法一）计算：11015122601a =+?÷=（），21005022550b =+?÷=（），所以a 比b 大，大

2601255051-=．

（方法二）通过观察，a 中的加数从第二个数起依次比b 中的加数大1，所以a 比b 大，

【答案】51

【例 15】 小明进行加法珠算练习，用1234++++L ，当加到某个数时，和是1000．在验算时发现重复加了

一个数，这个数是多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】迎春杯

【解析】 通过尝试可以得到12344144442990++++=+?÷=L （）．于是，重复计算的数是100099010-=．

【答案】10

【例 16】 编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果

1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据题意，灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答．

由等差数列求和公式“和=（首项+末项?）项数2÷”，可得：末项=和2?÷项数-首项．

则第9个盒子中糖果的粒数为：351291167?÷-=（粒）

题目所求即公差6711915687=-÷-=÷=（）（）（粒），则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖．

【答案】7

【巩固】 例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 等差数列有个规律：首项+末项=第2项+倒数第2项=第3项+倒数第3项=L ，所以我们可以得

到等差数列求和公式的一个变形，假设等差数列有n 项，则和=（第a 项+第1n a -+项n ?）2÷，则倒数第3个盒子即第931-+（）

个盒子中糖果的粒数为：351292355?÷-=（粒） 题目所求即公差5523733248=-÷-=÷=（）（）（粒），则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖．

【答案】8

【例 17】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得

到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 小王：1000+60×（12-1）=1660，（1000+1660）×12÷2=15960

小高：500+45×（12-1）=995，（500+995）×12÷2=8970，15960-8970=6990

即一年后两人所得工资总数相差6990元。

【答案】6990

【巩固】 王芳大学毕业找工作。她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两个公

司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司答应每半年加薪300元。以五年计算，王芳应聘 公司工作收入更高。

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】走美杯，3年级，决赛

【解析】 甲公司五年之内王芳得到的收入为：

100001100012000130001400060000++++=(元)．

【解析】 乙公司五年之内王芳得到的收入为：

1000053006009001200300950000300?++++++?=+L 4563500?=(元)．所以，王

芳应聘乙公司工作收入更高．

【答案】63500

【例 18】 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分

数超过了90分（满分为100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 他们的平均分为656÷8=82

82+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为1×2=2、2×2=4、3×2=6……

若第四名为82+1=83分，则第一名为83+（4-1）×2=89分，不符合题意，舍；

若第四名为82+2=84分，则第一名为84+（4-1）×4=96分，不符合题意；

若第四名为82+3=85分，则第一名为85+（4-1）×6=103分，不符合题意。

因此，第四名为84分，公差为4，所以第三名为84+4=88分

【答案】88

【例 19】 若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，

然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，

小明回来后仔细查看了一下，没有发现有人动过这些盒子和棋子．共有多少个盒子？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道看似蹊跷的题想要求出共有多少个盒子，必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的．

我们设除了空盒子以外一共有n 个盒子．小明回来查看时，原来那个空盒子现在不空了，但是小明却没有发现有人动过这些盒子和棋子，那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子．这样，原来小明放置棋子时必有一个盒子只装着一个棋子．

原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后，还需要一个盒子装一个棋子来代替它，那么这个代替它的盒子原来一定只装着2个棋子，依此类推，可以推断出小明所放的棋子依次是0，1，2，3，L ，n ．

根据这个等差数列的和等于50多，通过尝试求出当10n =时，1231011010255++++=+?÷=L （） 满足题意，其余均不满足．这样，只能是10n =，即共有11个盒子．

【答案】11

【例 20】 某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到

分厂工作，直到月底，总厂还剩工人250人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1

人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】 260人工作31天，工作量是260318060?=（个）工作日．假设每天从总厂派到分厂a 个工人，

第一天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为0个工作日；

第二天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为a 个工作日；

第三天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为2a 个工作日；

……

第31天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为30a 个工作日．

从而有：9455023308060a a a a =++++++L

求得3a =．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有33193?=（人）．

【答案】93

【例 21】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍．如果最大的三角形共有

8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 最

⑴ 最大三角形面积为：

13515121158212768++++?=+?÷?=L （）（）(平方厘米)． ⑵ 火柴棍的数目为：3692432482108++++=

+?÷=L （）(根)．

【答案】⑴768 ⑵108

【巩固】 如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图

中每条直线上所标的数都顺次成等差数列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，200，300．求所有结点上数的总和．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】走美杯

【解析】 如下图，各结点上放置的数如图所示．从100到300这条直线上的各数的平均数是200，平行于这条

直线的每条直线上的各数的平均数都是200．所以21个数的平均数是200，总和为200214200?=．

【答案】4200

【巩固】 用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，

如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形2个，向下

的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形．

这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依次为：3，6，9，……，310?．它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为10．

求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即

36930330102335165++++=+?÷=?=L （）(根)

所以，一共要放165根火柴

【答案】165

【例 22】 盒子里放有编号1～9的九个球，小红先后三次从盒子中取球，每次取3个，如果从第二次起每次取

出的球的编号的和都比上一次的多9，那么他第一次取的三个球的编号为_____．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】 根据题意知道这九个小球的编号和为：123945++++=L L ，若想每次去球都比上一次的多9，则

从数论角度来看本题就是将45拆三个数字和，并且三个数字和的公差为9，所以第一次取球为

()4599236--?÷=，所以第一次去的3个求的编号为：1、2、3.

【答案】1、2、3.

【例 23】 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发

现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 用x 表示小明少加的那个数，199712x n n +=

+?÷（），139942n n x +?=+（），两个相邻的自然数的积比3994大一些，因为

1n n +?（）和2n 比较接近，可以先找3994附近的平方数，最明显的要数36006060=?，而后试算两个相邻自然数的乘积61623782?=，62633906?=，63644032?=，所以63n =，正确的和是2016，少加的数为:2016199719-=．

【答案】19

【例 24】 黑板上写有从1开始的一些连续奇数：

1，3，5，7，9，…，

擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数

是 ．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】走美杯

【解析】 1，3，5，7，L ，(21n -)，这n 个奇数之和等于2n ，2452025=，擦去的奇数是2025200817-=．

【答案】17

【巩固】 小明住在一条胡同里．一天，他算了算这条小胡同的门牌号码．他发现，除掉他自己家的不算，其余

各门牌号码之和正好是100．请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)？小明家的门牌号码是多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道题目的具体数值只有一个，所以我们要通过估算的方法解决问题！我们都知道：

121055+++=L ，所以和在100附近的应该为1～14、或1～15，

⑴1214105+++=L ，小明家门牌号为5，共有14户人家；

⑵121415120++++=L ，小明家门牌号为20，不再1～15的范围，所以不符合题意．

【答案】共有14户人家；门牌号为5

【例 25】 在51个连续的奇数1，3，5，L L ，101中选取k 个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是

多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，决赛，第二大题，第4题，10分

【解析】

显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多。 首先考虑从45个连续的奇数1，3，5，7，…，99中选出n 个数，使它们的和不超过1949。

由()21352n 1n ++++-=L 得2n ≤1949。

因为2452025=＞1949，且45个奇数的和不小于135892025++++=L ＞1949，所以n ≤44。 若选取44个奇数，因为偶数个奇数的和为偶数，而1949为奇数，所以不可能选取44个奇数， 使得它们的和为1949。所以n ≤43。

因为2441936=＜1949，2025－1949＝76，且76是偶数，

所以至少从1，3，5，…，89中删除两个奇数，并使它们的和为76。

如，去掉1，3，5，…，89中的两个奇数37和39，即选1，3，…，35，41，…，87，89。 易验证135354143892025761949++++++++=-=L L 。

所以n 的最大值为43。

【答案】43

【例 26】 小丸子玩投放石子游戏，从A 出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7米

再放5枚石子，再走10米放7枚石子，L 照此规律最后走到B 处放下35枚石子．问从A 到B 路程有多远？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 先计算投放了多少次．由题意依次投放石子数构成的数列是：1，3，5，7，L ，35．这是一个等差数

列，其中首项11a =，公差 2d =，末项=

35n a ，那么113512118n n a a d =-÷+=-÷+=（）（）；再看投放石子每次走的路程依次组成的数列：1，4，7，10，这又是一个等差数列，其中首项11a =，，公差

,3d =，项数1 8n =．末项,,,111181352n a a n d =+

-?=+-?=（）（），其和为,,,12152182477n n S a a n =+?÷=+?÷=（）（）(米)．

【答案】477

【例 27】 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色．如果最底层有15个正方形，

问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中11a =， 2d =，15n a =，所以

151218n =-÷+=（），所以，白色方格数是：1238188236++++=+?÷=L （）

黑色方格数是：1237177228++++=

+?÷=L （）．

【答案】28

【巩固】 有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形．照这样摆下去，到第10行为止一共

用了 根火柴棒．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】小机灵杯

【解析】 横向：1行：11+根；

【解析】 2行：133++根；

【解析】 3行：1355+++根；

【解析】 L

【解析】 10行：135171919+++++L

纵向：1行：2根；

2行：24+根；

3行：246++根；

L

10行：24620++++L 根

总共有1351719192462011910219220102++++++++++=+?÷+++?÷L L （）（）（）（）

10019110229=++=（根）．

【答案】229

【例 28】 如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有

【例 29】 个．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】中环杯，初赛

【解析】 根据题意可知，每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1，2，3，4，L 排列，所以第12个图

形的两种三角形的个数相差为12，这个图形的白色三角形的个数是1231166++++=L (个)．

【答案】66

【例 30】 木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算

了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 用x 表示木木多加的那个数，88812X n n -=

+?÷（），117762n n x +?=-（） ，两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数，16004040=? ，试算：40411640?=，41421722?= ，42431806?= ，所以41n =，所以

177********x =-?÷=（）．

【答案】27

【巩固】 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时用了4天，回来时

用了3天．问：学校距离百花山多少千米？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道题目关键是弄清题意，发现关键是要求出第一天拉练的距离，在这里可以用方程的思想来帮助解

题，可以给四年级学生一个方程的初步认识，来回的距离是相同的，通过这点来做方程求解，设第一天拉练的距离是x ，则第二天为2x +，第三天为4x +，第四天6x +，第五天的距离为8x +，第六

天的距离为10x +，第七天的12x +．且去时和来时的路程一样，则

24681012x x x x x x x ++++++=+++++（）（）（）（）（）（）

，则18x =，学校距离百花山84千米． 【答案】84

【巩固】 点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读

了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 每天看的页数组成等差数列，公差是4，首项是30，末项是70，要求这本书一共多少页，应该先求出

点点总共看了多少天．

天数(项数)=(末项-首项)÷公差170304111+=-÷+=（）

总页数3070112100112550=+?÷=?÷=（），所以，这本书一共有550页．

【答案】550

【巩固】 小明想把55枚棋子放在若干个盒子里，按第一个盒子里放1枚，第2个盒子里放2枚，第3个盒子

里放3枚，……，这样下去，最后刚好将棋子放完，那么小明用了多少个盒子呢？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据学学的放法，可知：

第1个盒子放了1枚棋子；

第2个盒子放了2枚棋子；

第3个盒子放了3枚棋子；……

因此，只要是从自然数加起，加数依次增加1，一直加到某个自然数，它们的和正好是55，那么，这些加数的个数就是盒子数了．我们估算一下结果：1234515++++=，但是15和55相差较大，所以还要增加加数（自然数）的个数12345678945++++++++=，45与55比较接近了，又因为554510-=，所以，1234567891055+++++++++=，这个式子说明，55是10个自然数的和，所以需要用10个盒子做游戏．

【答案】10

【例 31】 幼儿园304个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如果相邻两

圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差多少人？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这一等差数列的和是304，首项24，末项52，先根据公式“和=（首项+末项）?项数2÷”求出项数：

3042768?÷=．再根据公式“末项=首项+1n -?（）公差”求出公差：(5224)74-÷=．

【答案】4

奥数：1-2-3等差数列应用题

【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬 冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20 【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多 少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将 和为102的两个数一一配对，可配成25对． 所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550??（） （方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫． 【答案】2550 【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴 蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是 第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ?-（） ， 所以，第102项321021205=+?=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499-÷+=÷+=+=（） 【答案】499 【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了 28层．问最下面一层有多少根? 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的 首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算． 解： 1(1)n a a n d =+-? 5(281)1=+-? 32=(根) 故最下面的一层有32根． 【答案】32 【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次 每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 例题精讲 等差数列应用题

浓度问题.题库教师版

1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系 2、浓度三角的应用 3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 4、利用方程解复杂浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 知识精讲 教学目标 6-2-3溶液浓度问题

2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相 同的．浓度三角的表示方法如下： 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题 （一） 两种溶液混合一次 【例 1】 某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到， 那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【解析】 两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克，而溶液质量为40+60-50=50克，所以这种溶 液的浓度为12÷50=24%. 【巩固】 一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器 内原来含有糖多少千克？ 【解析】 容器内原含糖7.5千克。 【巩固】 现有浓度为10％的盐水8千克，要得到浓度为20％的盐水，用什么方法可以得到，具体如何 操作？ 【解析】 需蒸发掉4千克水，溶液的浓度变为20％。 【例 2】 有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边，配制后溶液的浓度放在正下方，用直线 相连；（见图1） 直线两侧标着两个浓度的差，并化成简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比；对“比”的理解应上升到“份”，3份对应的为300克，自然知道2份为200克了。需加入浓度为70％的盐水200克。 【巩固】 现有浓度为10％的盐水20千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到 浓度为22％的盐水？ 例题精讲

等差数列求和及练习题(整理)

等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）

例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）（看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？

有机题库(应用题)

(本题型共设计30题，共20分，每小题5分，共抽取4题) 章名：01|绪论 15|应用题 难度：1|易 1．碳原子核外及氢原子核外各有几个电子？它们是怎样分布的？画出它们的轨道形状。当四个氢原子与一个碳原子结合成甲烷（CH 4）时，碳原子核外有几个电子是用来与氢成键的？画出它们的轨道形状及甲烷分子的形状。 答案： C +6 2 4 H +1 C CH 4中C 中有4个电子与氢成键为SP 3杂化轨道,正四面体结构 CH 4 SP 3杂化 2p y 2p z 2p x 2s H 难度：2|中 2.写出下列化合物的Lewis 电子式： a. C 2H 4 b. CH 3Cl c. NH 3 d. H 2S e. HNO 3 f. HCHO g. H 3PO 4 h. C 2H 6

答案： a. C C H H H H C C H H H H 或 b. H C H c. H N H H d. H S H e. H O N O f. O C H H g. O P O O H H h.H C C H H H H H O P O O H H 或 章名：03|不饱和烃 15|应用题 难度：1|易 3.下列烯烃哪个有顺、反异构？写出顺、反异构体的构型，并命名。 a . b. c. d. CH 2=C(Cl)CH 3C 2H 5CH=CHCH 2I CH 3CH=CHCH(CH 3)2 CH 3CH=CHCH=CH 2 CH 3CH=CHCH=CHC 2H 5 CH 3CH 2C=CCH 2CH 3 CH 3 C 2H 5 e. f. 答案： c , d , e ,f 有顺反异构 c.C 2H 5 C H C CH 2I H ( Z )－1－碘－2－戊烯( E )－1－碘－2－戊烯C C 2H 5 C CH 2I H H d. C H C CH(CH 3)2H ( Z )－4－甲基－2－戊烯H 3C C H C H CH(CH 3)2 H 3C ( E )－4－甲基－2－戊烯 e. C H 3C C H C H ( Z )－1,3－戊二烯 H CH 2 C H C H C H ( E )－1,3－戊二烯 H 3C CH 2 f. C H 3C C H C ( 2Z,4Z )－2,4－庚二烯 H C H H C 2H 5C H 3C C H H C H C 2H 5 H ( 2Z,4E )－2,4－庚二烯 C H C H C H 3C C H C 2H 5 H ( 2E,4E )－2,4－庚二烯 C H C H C ( 2E,4Z )－2,4－庚二烯H 3C C H H C 2H 5

21等差数列

第二十一讲：等差数列 一、知识提纲 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列?A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等 差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ＝ n a 1＋a n 2 . 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列． (2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 4．常用结论 已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． (3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (6)若{a n }是等差数列，则?????? ??? ?S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差 是{a n }公差的1 2 . (7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶 ＝

人教版6年级分数应用题(教师版)

第六周 转化单位“1”（一） 专题简析： 把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。 如果甲是乙的a b ，乙是丙的c d ，则甲是丙的ac bd ；如果甲是乙的a b ，则乙是甲的b a ；如果甲的a b 等于乙的c d ，则甲是乙的c d ÷a b ＝bc ad ，乙是甲的a b ÷a b ＝ad bc 。 例题1。 乙数是甲数的23 ，丙数是乙数的45 ，丙数是甲数的几分之几？ 23 ×45 ＝815 练习1 1. 乙数是甲数的34 ，丙数是乙数的35 ，丙数是甲数的几分之几？ 2. 一根管子，第一次截去全长的14 ，第二次截去余下的12 ，两次共截去全长的几分之几？ 3. 一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所 行路程的14 。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？ 练1 1、 ＝920 2、 ＝58 3、 ＝18 ＝38 例题2。 修一条8000米的水渠，第一周修了全长的14 ，第二周修的相当于第一周的45 ，第二周修了多少米？ 解一：8000×14 ×45 ＝1600（米） 解二：8000×（14 ×45 ）＝1600（米） 答：第二周修了1600米。 练习2 用两种方法解答下面各题： 1. 一堆黄沙30吨，第一次用去总数的15 ，第二次用去的是第一次的114 倍，第二次用去黄沙多少吨？ 2. 大象可活80年，马的寿命是大象的12 ，长颈鹿的寿命是马的78 ，长颈鹿可活多少年？ 3. 仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的15 ，第二次取出余下的13 ，第二次取出多少吨？ 练2 1、 ＝7.5（吨） 2、 ＝35（年） 3、 ＝8吨 例题3。 晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的14 ，第二天看了余下的25 ，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？

1-2-1-3 等差数列应用题.教师版【小学奥数精品讲义】

1 【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。 【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分 【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是 ()09934 179916832 +?=?=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。 【答案】49.5 【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了 3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题 例题精讲 等差数列应用题

【解析】平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15 ?-只果，共有15只猴. 【答案】15只猴子 【例 3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有位同学． 【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空 【关键词】学而思杯，1年级 【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105 -=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123 -=（个），15645 --=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题 【答案】5位 【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答 【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20 2

(完整版)6-2-4比例应用题.题库教师版

1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有： 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c ：d ，则(a + c)：(b + d)= a ：b=c ：d ； 性质2：若a: b=c ：d ，则(a - c)：(b - d)= a ：b=c ：d ； 性质3：若a: b=c ：d ，则(a +x c)：(b +x d)=a ：b=c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a: b=c ：d ，则a×d = b×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a×b=k(k 为常数)，则称a 、b 成反比． 二、主要比例转化实例 ① x a y b = ? y b x a =； x y a b =； a b x y =； 知识点拨 教学目标 6-2-4比例应用题

② x a y b = ? mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③ x a y b = ? x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ；L ④ x a y b =，y c z d = ? x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的 c a 等于y 的 d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配 例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到 ax a b +个，乙分配到bx a b +个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为 ax a b -，B 的元素数量为bx a b -，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为 单位“1”。 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。 3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正 比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

六年级奥数分数百分数应用题教师版

一、解答题（共25小题，满分0分） 1．（2011成都）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元 2．（2006泉山区校级自主招生）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，这100千克的蘑菇现在还有千克． 3．有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是多少升 4．（2012哈尔滨校级自主招生）有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重．如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍．这两堆煤共重多少吨

5．一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2：1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，求开始时黑棋子、白棋子各有多少枚 6．某班有学生48人，女生占全班的%，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生 7．（2010北京校级自主招生）把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形．它与原来的正方形面积相等．问正方形的面积是多少 8．学校男生人数占45%，会游泳的学生占54%．男生中会游泳的占72%，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几

9．某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人 10.（2012中山校级模拟）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米 11．有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5．现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（图1），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（图2），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少

比例应用题 题库教师版

6-2-4比例应用题 教学目标 1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有： 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例

① x a y b = ? y b x a =； x y a b =； a b x y =； ② x a y b = ? mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③ x a y b = ? x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ；L ④ x a y b =，y c z d = ? x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的 c a 等于y 的 d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配 例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b +个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为 ax a b -，B 的元素数量为bx a b -，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的 数量为单位“1”。

六年级奥数分数百分数应用题教师版定稿版

六年级奥数分数百分数 应用题教师版精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

第六讲：分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨： 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=.

方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。 （三）、原数量与现数量

【精选】新人教版小学四年级上册数学应用题专项练习题

四年级上册应用题练习题 班级姓名 1、一只山雀5天大约能吃800只害虫，照这样计算，一只山雀一个月大约能吃多少只害虫？（一个月按30天计算。） 2、一辆长客车3小时行了174千米，照这样的速度，它12小时可以行多少千米？ 3、张爷爷买3只小羊用了75元，他还想再买5只这样的小羊，需要准备多少钱？ 4、5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜。小林家养了这样的蜜蜂12箱，一年可以酿多少千克蜂蜜？ 5、育英小学的180名少先队员在“爱心日”帮助军属做好事。这些少先队员平均分成5队，每队分成4组活动，平均每组有多少名少先队员？ 6、刘叔叔带700元买化肥，买了16袋化肥，剩60元。每袋化肥的价钱是多少？ 7、春芽鸡场星期一收的鸡蛋，18千克装一箱。装好8箱后还剩16千克。星期一收了多少千克鸡蛋？

8、王叔叔从县城开车去王庄送化肥。去的时候每小时行40千米，用了6小时，返回时只用了5小时。返回时平均每小时行多少千米？ 9、一辆旅游车在平原和山区各行了2小时，最后到达山顶。已知旅游车在平原每小时行50千米，山区每小时行30千米。这段路程有多长？ 10、公路两边植树，每边每千米要植树25棵，这条路长120千米，一共植树多少棵？ 11、学校准备发练习本，发给15个班，每班144本，还要留40本作为备用。学校应买多少练习本？ 12、一棵树苗16元，买3棵送1棵。一次买3棵，每棵便宜多少钱？ 13、洗发水每瓶15元，商场开展促销活动，买4瓶送1瓶。一次买4瓶，每瓶便宜多少元？ 14、一只熊猫一天要吃15千克饲料，动物园准备24袋饲料，每袋20千克，这些饲料够一只熊猫吃30天吗？

15、汽车从甲地到乙地送货，去时用了6小时，速度是32千米/小时，回来只用了4小时，回来的速度是多少？ 16、小明上山用了4小时，每小时行3千米，下山的速度加快，是6千米/时，下山用了多长的时间？ 17、车间原计划每天生产15台机器，24天就可以完成，实际每天生产18台，实际只要几天就可以完成任务？ 18、实验小学要为三、四年级的学生每人买一本价格为12元的作文辅导书。已知三年级有145人，四年级有155人，两个年级一共需要多少元？ 19、有370人去旅游，每辆汽车坐30人，要几辆汽车才能拉完？ 20、有450千克大米，每天吃60千克，最多能吃几天？ 21、学校校礼堂每排有28个座位，四年级共有180人，可以坐满几排？还剩几人？ 22、刘叔叔带800元买化肥。买了16袋化肥，剩下80元，每袋化肥 的价钱是多少？

四年级等差数列综合练习题

四年级等差数列练习题（1） 1．找出规律后填出下面数列中括号里的数： (1) 1， 3， 5， 7， ( )， 11， 13， ( )，… (2) 1， 4， 7， 10， ( )， 16， 19，… (3) 1， 3， 6， 10， 15， ( )， 28，… (4) l， 2， 4， 5， 7， 8， ( )， ( )，… (5) 5， 7， 11， 19， 35， ( )， 131； 259，… 2.已知等差数列2，7，12，…，122，这个等差数列共有_____项。 3. 请问13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37共有（）项？ 4.那么126,128,130, ……,148,150共有（）项？ 5.那么16,18,20, ……,162,164共有（）项？ 6.那么120,124,138, ……,280,284共有（）项？ 7.练习5（1）1+2+3……+998+999+1000 8、求等差数列46，52，58，……，172共有（）项？

9、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝ 10、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝ 11、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝ 12.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30看了78 页正好看完。这本书共有( )页？ 13.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了( )个英语单词？ 14.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有( )个？ 15.建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有( )根。

小学数学 分数应用题(一).教师版

1. 分析题目确定单位“1” 2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3. 抓住不变量，统一单位“1” 一、知识点概述： 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为19188+=，因此乙比甲少191 889 ÷=. 方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1 199 ÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。 （三）、原数量与现数量 有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。 例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。 完善后：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是单位“1” 冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →原来的冰是单位 知识点拨 教学目标 分数应用题（一）

数列应用题专题训练

数列应用题专题训练 高三数学备课组 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？ 分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利，5年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950； 若计复利，则 2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第

小学奥数 经典应用题 和倍问题(二).题库版

1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题 2. 掌握寻找和倍的方法解决问题． 知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l 份数 ×(倍数－1)=两数差. 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 【例 1】 一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？ 【考点】和倍问题 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1 倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72(144=8）÷++(岁)，妈妈的年龄是：8432?=(岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁． 【答案】孩子的年龄为8岁，爸爸妈妈的年龄为32岁 【例 2】 三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5 倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上 条鱼。 【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2006年，希望杯，第四届，四年级，二试，第8题 【解析】 白猫钓到36÷（5+1）＝6条，花猫和黑猫共钓30条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2 倍少9条，那么就比黑猫钓到的2倍多3条，黑猫钓到（30-3）÷3＝9条 【答案】9 【例 3】 甲、乙、丙三人的年龄和为30岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半．乙（ ）岁． 例题精讲 知识点拨 教学目标 6-1-5.和倍问题（二）

六年级奥数-第六讲.分数百分数应用题.教师版

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第六讲：分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨： 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=. 方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较

小学奥数知识名师点拨 例题精讲 解题思路 等差数列应用题.教师版

等差数列应用题 例题精讲 【例 1】100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。 【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分 【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有0，共33个，他们的和是 3,6,9,99 ，则他们的平均数为1683÷34=49.5。()09934179916832 +?=?=【答案】49.5 【例 2】一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3 个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题 【解析】平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了只果，共有15只猴. 821=15?-【答案】只猴子 15【例 3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间 排着有 位同学． 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，1年级 【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有（个）；又因为从右边起学学报12， 15105-=所以，学学的左边还有（个），（个）学学和思思中间排着5位同学． 15123-=15645--=<考点> 排队问题 【答案】位 5【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬 冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20 【例 5】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多 少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将 和为102的两个数一一配对，可配成25对． 所以2469698100++++++ =2+10025=10325=2550 ??（）（方法二）根据，从这个和中减去的和，就12398991005050++++++= 1357...99+++++可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫． 【答案】2550 【例 6】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶， 第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这

二阶等差数列及其通项公式

二阶等差数列及其通项公式 ⑷ 1，2，4，7，11，16，22，… ⑸ 1，3，6，10，15，21，28，… ⑹ 1，3，7，13，21，31，43，… 通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。 本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。 二、 预备知识： 1、 等差数列的定义：如果一个数列 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， 从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，则称此数列为等差数列，常数d 叫等差数列的公差。 2、 等差数列的通项公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ， 公 差： d = a 2 - a 1. 三、 二阶等差数列的定义及其通项公式： a) 定义：如果一个数列 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★） 从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。

相应地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2 称为二阶等差数列的二阶公差。 显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为1、1、2. 说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列. ⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系： 二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。 b) 二阶等差数列的通项公式： 设数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…，a n - a n-1，… 为 b 1 , b 2 , b 3 , …，b n-1 , …， (☆) 即记b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z) 则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。 显然，对于数列(☆)，d = b 2 - b 1 = a 1 + a 3 - 2a 2， 根据等差数列的通项公式,则有 b n = a n+1 - a n = b 1 + (n-1) d ，（n ≥1,n ∈Z ） 由此得，a n +1= a n + b 1 + (n-1) d 依此规律，则有 a 2 = a 1 + b 1，