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浙江专版2018届高考数学二轮专题复习压轴大题抢分专练三

压轴大题抢分专练(三)

1.椭圆x 2

a 2+y 2=1的离心率为22

浙江专版2018届高考数学二轮专题复习压轴大题抢分专练三

,过点P (2,0)作直线l 交椭圆于不同的两点A ,B .

(1)求椭圆的方程;

(2)①设直线l 的斜率为k ,求出与直线l 平行且与椭圆相切的直线方程(用k 表示); ②若C ,D 为椭圆上的动点,求四边形ACBD 面积的最大值.

解:(1)由题意得a 2-1a =22

,解得a =2, 即椭圆方程为x 22

+y 2=1. (2)①设切线方程为y =kx +m ,

代入x 22

+y 2=1可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-2=0, 由Δ=0可得m 2=1+2k 2, 故切线方程为y =kx ±1+2k 2.

②要使得四边形ACBD 的面积最大,需满足C ,D 两点到直线l 的距离之和最大, 即两条切线间的距离d =2|m |

1+k 2=21+2k 21+k 2最大,

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的方程为y =kx -2k ,

联立????? y =kx -2k ,x 22

+y 2=1,整理得 (1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-2=0, 则x 1+x 2=8k 21+2k 2,x 1x 2=8k 2-21+2k

2, 故|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2·

x 1+x 22-4x 1x 2 =2-2k

21+2k 2·1+k 2,

故S 四边形ACBD ≤12

d ·|AB | =1+2k 21+k 2·2-2k 21+2k 2·1+k 2

=2-2k

21+2k 2=2 2 1-4k 2

1+2k 2≤22, 当且仅当k =0且C (0,1),D (0,-1)或C (0,-1),D (0,1)时,等号成立. 故所求四边形ACBD 面积的最大值为2 2.

2.设数列{a n }满足a 1=13,a n +1=a n +a 2

n n

2,n ∈N *. (1)求a 2,a 3;

(2)证明:数列{a n }为递增数列; (3)证明:n 2n +1≤a n ≤2n -12n +1,n ∈N *. 解:(1)a 2=13+19=49,a 3=49+? ????292=4081

. (2)证明:用数学归纳法证明a n >0:

①当n =1时,a 1=13

>0; ②假设n =k 时,a k >0,则a k +1=a k +a 2

k k

2>0. 所以由①②得a n >0,n ∈N *

. 所以a n +1-a n =a 2

n n

2>0, 即a n +1>a n ,数列{a n }为递增数列.

(3)证明:由(2)知a n >0,n ∈N *

且数列{a n }为递增数列, 由a n +1-a n =a 2

n n 2

2得 1

a n -1a n +1<1n 2<1n 2-14=1n -12-1n +12

, 1a n -1-1a n <1n -1-

12-1n -1+12,…,1a 2-1a 3<12-12-12+12,1a 1-1a 2<11-12-11+12, 因此1a 1-1a n +1<2-1n +12

, 所以1a 1-1a n ≤2-1n -12

(当且仅当n =1时,等号成立), 故a n ≤2n -12n +1

.

由a n ≤2n -12n +1<1得a n +1=a n +a 2n n 2n 2

n 2+1a n +1, 故a n +1-a n =a 2

n n 2>a n a n +1n 2+1

, 所以1a n -1a n +1>1n 2+1≥1n 2+n =1n -1n +1

, 1a n -1-1a n >1n -1-1n ,1a n -2-1a n -1>1n -2-1n -1,…,1a 1-1a 2>1-12, 因此1a 1-1a n +1>1-1n +1

, 所以1a 1-1a n ≥1-1n

(当且仅当n =1时,等号成立), 故a n ≥n 2n +1

. 综上所述,对任意的n ∈N *,

n 2n +1≤a n ≤2n -12n +1.

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