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一元函数微分学习题

第二部分一元函数微分学

[选择题]

容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( )

(A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D

2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0

0)(,0)(<''>'x f x f ，

则在),0(+∞内有（）

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。答C

3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（）

（A ）必要条件。 (B) 充分条件。

（C ）充要条件。（D ）既非必要，又非充分条件。答B

4．设n 是曲线x x x y arctan 2

-=的渐近线的条数，则=n （） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D

5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是

)(x f 的（）

（A ）间断点。（B ）连续而不可导的点。（C ）可导的点，且0)0(='f 。（D ）可导的点，但0)0(≠'f 。答C

6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（）（A ）f （x ）可导，则f （x ）连续（B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续（C ）f （x ）连续，则f （x ）可导（D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导答A

7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（）（A ）0x 点的切向量（B ）0x 点的法向量（C ）0x 点的切线的斜率（D ）0x 点的法线的斜率答C

8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（）

（A ）0x 点的自向量的增量（B ）0x 点的函数值的增量

（C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限（D ）没意义答C 9．x x f =

)(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（）

（A ）0≥x

（B）0

≠

（C）0

（D）0

≤

答C

10．设函数)

x不可导，则（）

f在点

（A）)

x没有切线

f在点

（B）)

x有铅直切线

f在点

（C）)

x有水平切线

f在点

（D）有无切线不一定

答D

11．设'=''='''>

()(),()

00, 则( )

f x f x f x

000

(A) x

是'f x()的极大值点

(B) x

是f x()的极大值点

是f x()的极小值点

(D) (,())

是f x()的拐点

x f x

[D]

12．（命题I）: 函数f在[a,b]上连续. （命题II）: 函数f在[a,b]上可积. 则命题II是命题

I的（）

（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件

（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（答B）

13．初等函数在其定义域内（）

（A）可积但不一定可微（B）可微但导函数不一定连续

（C）任意阶可微（D）A, B, C均不正确（答A）

14．命题I ）: 函数f 在[a,b]上可积. （命题II ）: 函数 |f| 在[a,b]上可积. 则命题I 是命题 II 的（）

（A ）充分但非必要条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件

（D ）既非充分又非必要条件

（答 A ）

15．设 )(x u e y = 。则 ''y 等于（）

（A ） )(x u e （B ） )(x u e )(''x u （C ）)(x u e )]('')('[x u x u + （D ）)(x u e )](''))('[(2x u x u + （答 D ）

16．若函数 f 在 0x 点取得极小值，则必有（）

（A ） 0)('0=x f 且 0)(''=x f （B ）0)('0=x f 且 0)(''0x f （D ）0)('0=x f 或不存在（答 D ） 17． ≠)('a f （）

a x a f x f A a x --→)()(lim

)(； x

x a f a f B x ??--→?)

()(lim ).(0；

t a f a t f C t )()(lim ).(0--→； s

s a f s a f D S )

2()2(lim ).(0--+→ 答(C ）陆小 18． y 在某点可微的含义是：（）（A ） a x a y ,?≈?是一常数; （B ） y ?与x ?成比例

（C ） x a y ?+=?)(α,a 与x ?无关，0→α)0(→?x .

（D ） α+?=?x a y ,a 是常数，α是x ?的高阶无穷小量).0(→?x 答（ C ）

19．关于dy y =?，哪种说法是正确的？（）

（A ）当y 是x 的一次函数时dy y =?. （B ）当0≈?x 时，dy y =? （C ）这是不可能严格相等的. （D ）这纯粹是一个约定. 答（ A ）

20．哪个为不定型？（）（A ）

0∞ （B ）∞

（C ）∞0 （D ）0∞ 答（ D ）

21．函数f x x x x x ()()=---232不可导点的个数为

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

[C]

22．若)(x f 在0x 处可导，则=--→h

x f h x f h )

()(lim 000

（）

（A ）)(0x f '-；（B ）)(0x f -'；（C ）)(0x f '；（D ）)(0x f -'-.

答案：A

23．)(x f 在),(b a 内连续，且),(0b a x ∈，则在0x 处（）

（A ）)(x f 极限存在，且可导；

（B ）)(x f 极限存在，且左右导数

存在；

（C ）)(x f 极限存在，不一定可导；（D ）)(x f 极限存在，不可导.

答案：C

24．若)(x f 在0x 处可导，则|)(|x f 在0x 处( )

（A ）必可导；（B ）连续，但不一定可导；（C ）一定不可导；（D ）不连续. 答案：B

25．设|)(|)()(0x x x x f ?-=，已知)(x ?在0x 连续，但不可导，则)(x f 在0x 处（）（A ）不一定可导；（B ）可导；（C ）连续，但不可导；（D ）二阶可导.

答案：B

26．设)()()(bx a g bx a g x f --+=，其中)(x g 在),(+∞-∞有定义，且在a x =可导，则)0(f '=（）

（A ）a 2；（B ）)(2a g '；（C ）)(2a g a '；

（D ）)(2a g b '.

答案：D

27．设))(cos()(cos x f x f y ?=，且f 可导，则y '=（）

（A ）)())(sin(sin )(cos x f x f x x f '??'；

（B ）+?'))(cos()(cos x f x f ))](sin([)(cos x f x f -?；

（C ）-??'-))(cos(sin )(cos x f x x f )())(sin()(cos x f x f x f '??；（D ）-?'))(cos()(cos x f x f )())(sin()(cos x f x f x f '??.

答案：C

28．哪个为不定型？（）（A ）

0∞ （B ）∞

（C ）∞0 （D ）0∞ 答（ D ）

29．设)100)(99()2)(1()(----=x x x x x x f ，则).(

)0('=f

（ A ） 100 （B ） 100！（C ） -100 （D ） -100！答案：B

30．设)(x f 的n 阶导数存在，且)()

(lim )()1(a f a

x x f n n a x =--→，则)(

)()1(=-a f n

（A ） 0 （ B ） a （C ） 1 （D ）以上都不对

答案： A

31．下列函数中，可导的是（）。

（ A ） x x x f =)( （B ） x x f sin )(=

（C ） ?????>≤=0,0,)(2

x x x x x f （D ） ???

??=≠=0,

00,1sin )(x x x

x x f

答案：A

32．初等函数在其定义域区间内是（）

（ A ）单调的（B ）有界的（C ）连续的（D ）可导的答案：C

33．若)(x f 为可导的偶函数，则曲线)(x f y =在其上任意一点),(y x 和点),(y x -处的切

线斜率（）

（A ）彼此相等（B ）互为相反数（C ）互为倒数（ D ）以上都不对答案：B

34．设函数)(x f y =在点0x 可导，当自变量由0x 增至x x ?+0时，记y ?为)(x f 的增量，

dy 为)(x f 的微分，则

)(→?-?x

y （当0→?x 时）

。（A ） 0 （ B ） 1- （C ） 1 （D ） ∞

答案：A 35．设x

x f log log log )(=

，则)()('=x f

（A ）

2)(log log log x x x x - （B ） 2)(log log log 1x x x

（C ） 2)(log log log x x x x + （ D ） 2

)

(log log log 1x x x

+ 答案：B

36．若??

?>-≤.

;1,

)(2x b ax x x x f 在x =1处可导，则a b , 的值为（ )。

(A).a b ==12,; (B).a b ==-21,; (C).a b =-=12,; (D).a b =-=21,。

答案：B

37．若抛物线y ax =2与y x =ln 相切，则a =（ )。

(A). 1 ; (B). 1/2; (C). 2

e ; (D).2e . 答案：C

38．若f x ()为(,)-l l 内的可导奇函数，则'f x ()（ )。

(A).必为(,)-l l 内的奇函数；（B).必为(,)-l l 内的偶函数；

(C).必为(,)-l l 内的非奇非偶函数；(D).可能为奇函数，也可能为偶函数。答案：B

39．设f x x x ()=, 则'=f ()0（ )。

(A). 0; (B). 1 ; (C). -1 ; (D). 不存在。答案：A

40．已知)(x f 在),(+∞-∞上可导，则（）

(A) 当)(x f '为单调函数时，)(x f 一定为单调函数. (B) 当)(x f '为周期函数时，)(x f 一定为周期函数. (C) 当)(x f '为奇函数时，)(x f 一定为偶函数. (D) 当)(x f '为偶函数时，)(x f 一定为奇函数. 答C

41．设)(x f 在),(+∞-∞内可导，则（）

（A ）当+∞='+∞

→)(lim x f x 时，必有+∞=+∞

→)(lim x f x 。

（B ）当+∞=+∞

→)(lim x f x 时，必有+∞='+∞

→)(lim x f x 。

（C ）当-∞='-∞

→)(lim x f x 时，必有-∞=-∞

→)(lim x f x 。

（D ）当-∞=-∞

→)(lim x f x 时，必有-∞='-∞

→)(lim x f x 。

答A

42．设周期函数)(x f 在),(+∞-∞内可导，周期为3，又12)

1()1(lim

-=--→x

f x f x ，

则曲线

在点))4(,4(f 处的切线斜率为（）

（A ）2．（B ）1. (C) 1-。（D ）2-。答A

43．设)(x f 有二阶连续导数，且11

)

(lim

,0)1(1

-=-''='→x x f f x ，则（）（A ）)1(f 是)(x f 的一个极大值。（B ）)1(f 是)(x f 的一个极小值。（C ）1=x 是函数)(x f 的一个拐点。（D ）无法判断。答A

44．设)2()2()(22-+-+=x x x x x x f ，则)(x f 不可导点的个数是（）

（A ）0．（B ）1 。（C ）2。（D ）3。答B

45．设x x x f =)(，则其导数为（）（A ）x x x f =')( （B ）x x x f x ln )(=' （C ）)1(ln )(+='x x x f x （D ）1)(-='x x x f 答C

46．设x x y 44cos sin +=，则( ) （A ）1),2

4cos(41)(≥+

=-n n x y n n π

（B ）1),4cos(41)(≥=-n x y n n （C ）1),2

4sin(41)(≥+

=-n n x y n n π

（D ）1),2

4cos(4)(≥+=n n x y n π

答A

47．设2

1)(x e x f --=，则（）（A ）1)0(±='±f （B ）1)0( ='±f （C ）0)0(='±f （D ）)0(±'f 不存在答A

48．设1

arcsin )1()(+-=x x

x x f ，则（）（A ）0)1(='f （B ）1)1(='f （C ）4

)1(π

（D ）)1(f '不存在答C

49．下列公式何者正确？（）（A ）x x x cot csc )(csc -=' （B ）x x x sec tan )(sec -=' （C ）x x 2csc )(tan =' （D ）x x 2csc )(cot =' 答A

50．设f x g x e x x x

()()=-≠=??

-000

, 其中g x ()有二阶连续导数, 且g (),01=

'=-g ()01, 则

(A) f x()在x=0连续, 但不可导,(B)'f()0存在但'f x()在x=0处不连续

()在=0处不连续

[C]

51．设f x()可导, 且满足条件lim ()()

f f x

→

1, 则曲线y f x

=()在

(,())

f处的切线斜率为

(A) 2, (B) -1, (C) 1

, (D) -2

[D]

52．若f x()(,)

为-∞+∞的奇数, 在(,)

-∞0内'>

f x()0, 且''<

f x()0, 则(,)

0+∞内有

(A) '>''<

f x f x

(),()

(B) '>''>

f x f x

(),()

f x f x

(),()

(D) '<''>

f x f x

(),()

[C]

53．设f x()可导, 且满足条件lim ()()

f f x

→

1, 则曲线y f x

=()在

(,())

f处的切线斜率为 ( )

(A) 2, (B) -1, (C) 1

, (D) -2

[D]

54．设f x g x e x

()

-≠

-0

, 其中g x()有二阶连续导数, 且g(),

'=-

g()01, 则

(A)f x()在x=0连续, 但不可导

(B)'f()0存在但'f x()在x=0处不连续(B)'f()0存在且'f x()在x=0处连续

55．设f x ()可导, F x f x x ()()(sin )=+1, 若使F x x ()在=0处可导, 则必有 (A) f ()00=

(B) '=f ()00

[A]

56．设f x x x

x x g x x ()cos ()

=->≤???

??100

2, 其中g x ()是有界函数, 则f x ()在x =0处( )

(A) 极限不存在 (B) 极限存在, 但不连续 (C) 连续, 但不可导

(D) 可导

[D]

57．设 x x y ln =，则 )10(y 等于（）

（A ） 9-x （B ） 9--x （C ） 8!9-x （D ）－8!9-x (答 C)

58．若?????=≠=0

01sin

)(x x x

x x f p

，在点0=x 处连续，但不可导，则=p （）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 答（ B ）

59．判断?

??>≤+=121

2)(2x x x x x f 在1=x 处是否可导的最简单的办法是（）

（ A ）由3)1(=f 得0'3)1('==f ，故可导（导数为0）

（ B ）因)01()01(-≠+f f ，故)(x f 在该点不连续，因而就不可导

（ C ）因1

)

1()(lim

1)1()(lim

010

1--≠---→+→x f x f x f x f x x ，故不可导（ D ）因在1=x 处)'2()'2(2x x ≠+，故不可导答（ B ） 60．若x y ln =，则

=（）（ A ）不存在（ B ） x 1 （ C ） x 1 （ D ）x

答（ B ）

61．若)(x f 是可导的，以C 为周期的周期函数，则)('x f =（）（ A ）不是周期函数（ B ）不一定是周期函数

（ C ）是周期函数，但不一定是C 为周期（ D ）是周期函数，但仍以C 为周期答（ D ）

62．设)('t f x =，),()('t f t tf y -=记 2222'',','','dt

d y dt dy y dt x d x dt dx x ====，则

=22dx

d （）

（ A ）22)'

(t x y = （ B ）)(''')(''''''t f t f t x y +

= （ C ） 1

'''''2

=-x y x y x （ D ）)(''1'''''''3t f x y x y x =- 答（ D ）

63．在计算23

dx 时，有缺陷的方法是：（）

（A ）原式x x dx x d x d dx 2

3))(3

2(1

)(1

)(31

3333

- (B) 原式x x dx x d 2

3)(23)(2

123

2===

dx 2

23223

===

( D) 因,2,32

xdx dx dx x dx ==故x xdx dx x dx dx 2

23223==

答（ B ）

64．以下是求解问题

“b a ,取何值时，??

?>+≤=3

3)(2

x b

ax x x x f 处处可微”

的四个步骤.指出哪一步骤是不严密的：（）（A ）在3=x 处)(x f 可微)(x f ?连续)(lim 3

x f x →?存在

（B ） )(lim 3

x f x →存在93)03()03(=+?-=+?b a f f

（C ）在3=x 处)(x f 可微)03(')03('-=+?f f

（D ）

6)'(lim )03(',)'(lim )03('20

3-=?=?=-+=+-→+→b a x f b ax f x x 答（ D ）

65．若)(x f 与)(x g ，在0x 处都不可导，则=)(x ?)()(x g x f +、

=)(x ψ)()(x g x f -在0x 处（）

（A ）都不可导；（B ）都可导；（C ）至少有一个可导；（D ）至多有一个可导. 答案：D

66．若??

?<≥+=-0

sin 0)(2x ax

x b e x f x ，在00=x 可导，则b a ,取值为（）

（A ）1,2==b a ；（B ）1,1-==b a ；（C ）1,2-=-=b a ；（D ）1,2=-=b a .

答案：C

67．设函数)(x y y =由方程04ln 22

=++x y x

y 确定，则

=dx

（）（A ）

)

ln (222

x x y x y y +?-；（B ）

x y

ln 2；

（C ）

x x y

ln 2-；（D ）)

1(ln 22

+-y x x x y . 答案：C

68．若},{max )(22

0x x x f x <<=，则=')(x f （）

（A ）????

<<<

<='221,2

0,1)(x zx x x f ；（B ）???

?<<≤

<='221

10,1)(x zx x x f ；

（C ）??

?<<<<='21,

0,1)(x zx x x f ；（D ）??

?<<≤<='2

10,

1)(x zx x x f ；

答案：C

69．设||25)(34x x x x f -=，则使)0()

(n f

存在的最大n 值是（）

（A ）0；（B ）1；（C ）2；

（D ）3.

答案：D

70．设)(x f y =有反函数，)(y g x =，且)(00x f y =，已知1)(0='x f ，2)(0=''x f ，则='')(0y g （）

（A ）2；（B ）-2；（C ）

21；（D ）2

-. 答案：B

71．设函数),()()(x a x x f ?-=其中)(x ?在a 点连续，则必有（）。 (A))()(x x f ?='; (B))()(a a f ?=';

(C))()(a a f ?'='; (D))()()()(x a x x x f ??'-+='.

答 ( B )

72．函数)(x f y =在点0x 处可导是)(x f 在点0x 处连续的（）。 (A) 必要条件，但不是充分条件。 (B) 充分条件, 但不是必要条件. (C) 充分必要条件.

(D) 既非充分条件, 也非必要条件. 答（B ） 73．函数x

x f sin )(=

在π=x 处的（）。 (A) 导数;)(ππ='f (B) 导数;1

)(π

π=

)0(π

π=+'f

答（D ）

74．设函数??

?≤+>-=,

,2,

1)(2x b ax x x x f 其中b a ,为常数。现已知)2(f '存在，则必有

( )。

(A) .1,2==b a (B) .5,1=-=b a (C) .5,4-==b a (D) .3,3-==b a 答（ C ） 75．设曲线x

y 1

和2x y =在它们交点处两切线的夹角为?，则=?tan ( )。 (A) -1. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 答（D ）

76．设函数x x x f =)(，),(+∞-∞∈x ，则（） (A)仅在0=x 时， (B) 仅在0>x 时，

77．设函数)(x f 在点a x =处可导，则=--+→x

x a f x a f x )

()(lim

( )

(A) ).(2a f ' (B)).(a f ' (C)).2(a f ' (D) 0. 答（ A ）

78．设函数)(x f 是奇函数且在0=x 处可导，而x

x f x F )

()(=，则（）。)(x F 在0→x 时极限必存在，且有)()(lim 0

x f x F x ''=→

(A) )(x F 在0=x 处必连续。

(B) 0=x 是函数)(x F 的无穷型间断点。 (C) )(x F 在0=x 处必可导，且有)0()0(f F '='。答（ A ） 79．设a 是实数，函数

??=≠-?-=,1,0,1,1

1cos )1(1)(x x x x x f a 则)(x f 在1=x 处可导时，必有 ( )

(A).1-

80．设函数?????

=≠=,00

0,1sin )(x x x

x x f 则)(x f 在0=x 处 ( ) (A) 不连续。 (B) 连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 (D)可导，且导数也连续。答（ B ）

81．设)(x f 是可导函数，x ?是自变量x 处的增量，则=?-?+→?x

x f x x f x )

()(lim

220 ( )

(A) 0. (B)).(2x f (C)).(2x f ' (D)).()(2x f x f '

答（ D ）

82.已知函数)(x f 在a x =处可导，且,)(k a f =' k 是不为零的常数，则

(A) .k (B).2k (C).2k - (D).8k

(A) 1. (B) –1. (C) 0. (D) 不存在。答（ C ）

84．设)(x f 在),(b a 可导，则)(x f '在),(b a ( ). (A) 连续 (B) 可导 (B) 高阶可导

85．设曲线2

1x e y -=与直线1-=x 的交点为P ，则曲线2

1x e y -=在点P 处的切线方程是 ( )

(A) .012=--y x (B).012=++y x (C) .032=-+y x (D) .032=+-y x 答（ D ）

(A )不可导；（ B ）可导；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。答（ D ）

87．设方程,033有三个实根=+-a x x 则（）

(A) a =2 (B) a >2 (C)a <2 (D)与a 无关

答( C )

88．设)(x f 定义于),(+∞-∞,00≠x 是f(x)的极大值点,则（）

(A)0x 必是f(x)的驻点. (B)-0x 必是-f(-x)的极小值

点.

f(x )≤f(0x ). 答 ( B ) 陆小

89．若曲线y =x 2+ax +b 和2y=-1+xy 3在点)1,1(-处相切,其中b a ,是常数,则（）（Ａ）a =0,b =2-. (B) a =1,b =3-. (C) a =3-,b =1. (D) a =1-,b =1-. 答（ D ）

90．)()()(,)()(x g x f x F a x x g x f ==则函数处取得极大值都在和设两个函数处在a x = ( )

（Ａ）必定取得极大值. （Ｂ）必定取得极小值. （Ｃ）不可能取得极值. （Ｄ）不一定．答（ D ）

91．指出正确运用洛必达法则者：（）（A ） 1lim 1

x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim

（C ） x

x x x x x x x x cos 1cos

1sin 2lim sin 1sin lim

020-=→→不存在（D ） 11

lim lim 00==→→x x x x e e x 答（ B ）

92．)(')('x g x f >是)()(x g x f >的（）

（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）无关条件

答（ D ）

93．设函数)(x f 二阶可导，则)(''x f 的表达式是( )

A 20)(2)()(lim

h x f h x f h x f h ---+→ B 20)

(2)()(lim h

x f h x f h x f h +-++→ C 2

0)(2)()(lim h x f h x f h x f h --++→ D 以上都不对答C

94．设f 为可导函数，)]}([sin sin{x f f y =，则

)(=dx

A )]}([sin cos{)]([sin )(''x f f x f f x f ??

B )]}([sin cos{)(cos )('x f f x f x f ??

C )]}([sin cos{)]([sin )(cos ''x f f x f f x f ??

D )]}([sin cos{)]([sin )(cos )(''x f f x f f x f x f ??? 答 D

95．一直线与两条曲线33+=x y 和13-=x y 都相切，其切点分别为（）

A )2,1(-和)2,1(-

B )4,1(和)2,1(--

C )2,1(-和)2,1(--

D )2,1(- 和)4,1( 答 B 96．当参数)(

=a 时，抛物线2ax y =与曲线x y log =相切。

lim （） (A) ab (B) ab (C) ab ln (D) ab ln 98．设),0(log >=a a y x 则

一元函数微分学典型例题

一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα

● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存在【】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→

2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学

2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理对一元函数微分学，希望对学员有所协助。一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物