判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.

一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别

例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,

且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.

分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.

解：连接BD交AC于点O.

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,

所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.

所以四边形DEBF是平行四边形.

二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别

例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.

分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.

解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,

所以四边形ABCF是平行四边形.

同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.

因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.

三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别

例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.

分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.

解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.

因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，

所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形

. 图1

图2

A

B C D

E

F

图3

四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别 例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？

分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.

解：四边形AECF 是平行四边形.

理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，

所以AF ∥EC .又因为∠1=

21∠DAB ，∠2=2

1

∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，

所以∠1=∠3，所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.

判定平行四边形的五种方法

平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

一、 两组对边分别平行

如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CF

A

F

A

B

C D

E F

图4

1

3

2

(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE≌△FEC

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACD=60°

∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形

∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°

∴∠BDE=∠FEC=120°

又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC

（2）四边形ABDF是平行四边形

理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等

边三角形

∵∠CDE=∠ABC=∠EF A=60°

∴AB∥DF，BD∥AF

∵四边形ABDF是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证

截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，

可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平

行四边形。

二、一组对边平行且相等

例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交

DE于F

(1)求证：△BCG≌△DCE；

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判

断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。

分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，

又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这

样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

解：（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE

（2）∵△DCE绕D顺时针

旋转90°得到△DAE′，

∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，

∵四边形ABCD是正方形

∴BE′∥DG，AB=CD

∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG

∴四边形DE′BG是平行四边形

点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相

等，即可得这个四边形是平行四边形

三、两组对边分别相等

例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC 为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等

边△BCF。

求证：四边形DAEF是平行四边形；

分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组

对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°

∴∠DBF=∠ABC

又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF

∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC

∴AB=EF=AD

∴四边形ADFE是平行四边形

点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边

形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四

边形。

四、对角线互相平分

例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。

图4

分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。

证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，

∴∠AEO=∠CGO，

∵∠AOE=∠COG，OA=OC

∴△AOE≌△COG，

∴OE=OG

同理△BOF≌△DOH

∴OF=OH

∴四边形EFGH是平行四边形

点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

五、两组对角相等

例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。

(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到

Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形

吗？说出你的结论和理由：。

分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形

的两组内角相等解决问题。

解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：

∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，

∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°

又∠A=60°，∠C=60°，

∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C

（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：

将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置

时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1

∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1

∴有

∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD

C1，∠BC1D1=

1

∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB

所以四边形ABC 1D 1是平行四边形 点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，将

Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置时，始终有AB ∥C 1D 1，故ABC 1D 1是平行四边形。

判断平行四边形的策略

在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：

一、考虑“对边”关系

思路1：证明两组对边分别相等

例1 如图1所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，并且AF ＝CE .求证：四边形ACEF 是平行四边形. 证明：∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴DF ⊥BC ，DB = DC . ∴∠FDB = ∠ACB = 90°.

∴DF ∥AC .∴CE = AE =

2

1

AB . ∴∠1 = ∠2 .

又∵EF ∥AC ，AF = CE = AE ， ∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F . ∴△ACE ≌△EF A . ∴AC = EF .

∴四边形ACEF 是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行

=

=

例 2 已知：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使ED = DF = EB . 连结FC .

求证：四边形AEFC 是平行四边形.

证明：∵AB ＝AC ，∴∠B =∠ACB . ∵ED = EB ，∴∠B =∠EDB . ∴∠ACB =∠EDB . ∴EF ∥AC .

∵E 是AB 的中点，∴BD = CD .

∵∠EDB =∠FDC ，ED = DF ，

∴△EDB ≌△FDC . ∴∠DEB =∠F .

∴AB ∥CF .

∴四边形AEFC 是平行四边形. 思路3：证明一组对边平行且相等

例3 如图3，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，AE = CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点.

求证：四边形ENFM 是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD = BC ，∠A =∠C .

又∵AE = CF ，∴△ADE ≌△CBF .

∴∠1 =∠2，DE = BF . ∵M 、N 分别是DE 、BF 的中点， ∴EM = FN .

∵DC ∥AB ，∴∠3 =∠2. ∴∠1 =∠3. ∴EM ∥FN .

∴四边形ENFM 是平行四边形.

二、考虑“对角”关系

思路：证明两组对角分别相等

例4 如图4，在正方形ABCD 中，点E 、 F 分别是AD 、BC 的中点.

求证：（1）△ABE ≌△CDF ；

（2）四边形BFDE 是平行四边形. 证明：（1）在正方形ABCD 中，AB = CD ，AD = BC ，∠A =∠C =

90°，∵AE =

21AD ，CF =2

1

BC ， ∴AE = CF . ∴△ABE ≌△CDF .

（2）由（1）△ABE ≌△CDF 知，∠1 =∠2，∠3 =∠4. ∴∠BED =∠DFB .

∵在正方形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ， ∴∠EBF =∠EDF .

∴四边形BFDE 是平行四边形. 三、考虑“对角线”的关系

思路：证明两条对角线相互平分

例5 如图5，在平行四边形ABCD 中， P 1、P 2是对角线BD 的三等分点.

求证：四边形AP 1CP 2是平行四边形. 证明：连结AC 交BD 于O .

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC ，OB = OD . ∵BP 1 = DP 2 ，∴OP 1 = OP 2 .

∴四边形AP 1CP 2是平行四边形.

平行四边形的识别浅析

平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。

1利用定义或定理直接识别平行四边形

1.1两组对边分别平行，如图1,AB ∥CD ,AD ∥BC 。 1.2两组对边分别相等，如图1,AB =CD ,AC =BC 。 1.3两组对角分别相等，

如图1,∠ABC =∠ADC ,∠BAD =∠BCD 。

1.4一组对边平行且相等，如图1,AB ∥CD ,AB =CD 。 1.5两条对角线互相平分，如图1,OA =OC ,OB =OD 。 2利用定义和定理间接识别平行四边形

2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB ∥CD ,∠ABC =∠ADC 。

证明：∵AB ∥CD ∴∠ABC +∠BCD =180° 又∵∠ABC =∠ADC ∴∠ADC ＋∠BCD ＝180° ∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行)

2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1, AB ∥CD ，OA =OC 。

证明：∵AB ∥CD ∴∠BAC =∠DCA 在⊿AOB 和⊿COD

图1

C

A

中，∠BAC =∠DCA ，OA =OC ，∠AOB =∠COD ∴⊿AOB ≌⊿COD (ASA ) ∴AB =CD ∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等）

2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角， 如图1,∠DAB +∠ABC =180°,∠ABC +∠BCD =180°。 证明：∵∠DAB +∠ABC =180° ∴AD ∥BC 又∵∠ABC +∠BCD =180°

∴AB ∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边平

行）

3不能识别为平行四边形

3.1两组不同的邻角互补，

如图2,∠A +∠B =180°, ∠C +∠D =180°,可以画出梯形。 3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图3, AB =AD ,CB =CD ,不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4, ∠A =∠D ,∠B =∠C ,可以画出等腰梯形。

3.3一组对边平行且另一组对边相等，

如图4,AD ∥BC ,AB =CD ,也可以画出等腰梯形。 3.4

形。反例作图方法,如图5：①作∠ABC ,在边BA A ,在边BC 上确定点C ,②过点A 、B 、C 作⊙O 1,③以点圆心，以线段AB 长为半径作⊙C ,④以AC 为弦作⊙O 1圆⊙O 2,交⊙C 于D 、E 两点，则四边形ABCD 形，而四边形ABCE AB =CE ,∠ABC =∠AEC 。

3.5一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图6：

①作线段AB ,②过线段AB 的中点O 作直线CD ,③

过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E ,④以点E 为圆心，小于线段OE 的长为半径作⊙E ,交CD 于F 、G 两点，⑤以点A 为圆心，BF 长为半径作⊙A ,交直线CD 于H 、I 两点，则四边形AGBH 和四边形AFBI 为

平行四边形，而四边形AGBI 和四边形AHBF 即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI 中，AI =BG ,OA =OB 。

图4图2

C B C

D 图6 D C

说明一个四边形是平行四边形的思

路

山东于秀坤

平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形．如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明．

一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．

例1 如图1，在△ABC中，AD是角的平分线，DE//AC交AB于点E，EF//BC交AC于点F，试说明AE=CF．

图1

分析：由AD是角的平分线，可知∠1=∠2，由DE//AC，可知∠2=∠3，所以∠1=∠3，即可得AE=ED，要说明AE=CF，可转化为说明ED=EC，因此，只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了．

解：因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE =ED ， 又因为DE //AC ，EF //BC ，所以四边形EDCF 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 所以ED =CF ，所以AE =CF ．

二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．

例2 如图2，AE 、CF 分别是 的内角∠DAB 、

∠BCD 的平分线，试说明四边形AECF 是平行四边形．

图2

解：在ABCD 中，因为∠DAB =∠BCD ，又因为

∠1=

21∠DAB ，∠2=2

1

∠BCD ， 所以，∠1=∠2，

因为AB //CD ，所以∠3=∠1，∠4=∠2， 所以∠3=∠4，所以∠5=∠6， 所以四边形AECF 是平行四边形．

三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”

例3 如图3，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，EF 过O 分别交AD 、BC 于E 、F ，GH 过O 分别AB 、CD 交于G 、H ．试说明四边形EGFH 是平行四边形．

图3

解：在□ABCD 中，因为AB //CD ，所以∠1=∠2， 因为OA =OC ，∠3=∠4，所以△AOG ≌△COH ，所以

OG =OH ，

同理OE =OF ，

所以四边形EGFH 是平行四边形．

构造平行四边形解题

山东 邹殿敏

平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决．

一、求线段的长

例１如图1，在正△ABC 中，P 为边AB 上一点，Q 为边AC 上一点，且AP =CQ ．今量得A 点与线段PQ 的中点M 之间的距离是19cm ，则P 点到C 点的距离等于 cm ．

分析：作QD //AB ，交BC 于点D ，连接PD ，MD ．由△ABC 为正三角形，易知BP =BD ，AP =DQ ，所以四边形APDQ 为平行四边形．所以

AD =2AM =2×19=38（PC =AD ．所以PC =38cm ．

例2 如图2，在梯形ABCD 中，AD //BC

，AB =CD ，延长CB 到E ，使EB =AD ，连接AE ．求证：AE =AC ．

分析：连接BD ．由AD 与BE 平行且相等，易知四边形AEBD 是平行四边形，所以BD =AE ．因为AC =BD ，所以AE =AC ．

三、证明线段和差问题 例3 如图3，△ABC 中，D ，F 是AB 边上两点，且AD =BF ，作DE //BC ，FG //BC ，分别交AC 于点E ，G ．求证：DE +FG =BC ．

分析：作GH //AB 交BC 于点H ．则四边形BHGF 是平行四边形．所以GH =BF =AD ，FG =BH ．因为DE //BC ，GH //AB ，所以∠1=∠C ，∠A =∠2．所以△ADE ≌△GHC ．所以DE =HC ．因为BH +CH =BC

四、证明线段倍分问题

例4 如图4，已知E 为平行四边形ABCD 中DC

线上一点，且CE =DC ，连接AE ，分别交BC ，BD 于点F ，G 连接AC 交BD 于O ，连接OF ．试说明：AB =2OF ． 分析：连接BE ．易知四边形ABEC 为平行四边形．由“平行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF =CF ，AO =OC ，所以OF 为△CAB 的中位线，从而得出AB =2OF ．

五、证明两直线平行问题

例5 如图5，△ABC

中，E ，F 分别是AB ，BC 边的中点，M ，N 是AC 的三等分点，EM ，FN 的延长线交于点D ．求证：AB //CD ．

分析：连接BD 交AC 于点O ，连接BM ，BN ．

由AE =BE ，AM =MN

可得ED //BN ；由BF =CF ，MN =NC 可得BM //FD ．所以四边形BMDN 是平行四边形．所以OB =OD ，OM =ON ．所以OA =OC ．由此可得出四边形ABCD 是平行四边形．所以AB //CD ．

图3

六、证明两直线垂直问题

例6如图6，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．分析：设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN，HN．则四边形AHNF为平行四边形．所以FN=AH=AC，∠AFN+∠F AH=180°．因为∠BAC+∠F AH=180°，所以∠AFN=∠BAC．因为AF=AB，所以△AFN≌△BAC．所以∠1=∠2．

因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．

判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上, 且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD. 解：连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形. 二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别 例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由. 分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别. 解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1, 所以四边形ABCF是平行四边形. 同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形. 因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形. 分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件. 解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB. 因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE， 所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形 . 图1 图2 A B C D E F 图3

(完整版)平行四边形的性质和判定练习题

初2017级寒假培训（八）A 层----平行四边形的性质与判定 班级： 姓名： 1.定义：两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD 记作：□ 几何语言：, 2.性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分； 几何语言：∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥ BC, _________ （对边平行）；AD=BC ,__________（对边相等）； ，_________（对角相等）；…（邻角互补）； ， （对角线互相平分）。 平行四边形的判定： 判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定4.对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 几何语言 判定1., 判定2.， 判定3., 判定4. 判定5., 夯实基础： 1.如图，将□的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=________． E 2.如图，在□中，，则＝ °． 3.在平行四边形ABCD 中，cm AB 6=，cm BC 8=，则平行四边形ABCD 的周长 为 cm ． 4.如图，在□中，已知， 平分交边于点，ABCD BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAC ∠=∠ο180=∠+∠ABC BAC OC OA =BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BC AD DC AB ==,是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAD ADC ABC ∠=∠∠=∠,Θ是平行四边形四边形ABCD ∴,,DO BO CO AO ==Θ是平行四边形四边形ABCD ∴CD AB CD AB =,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴ABCD ABCD ο120=∠A D ∠ABCD ,6,8CM AB CM AD ==DE ADC ∠BC E A B C D O A B C D 4 E A B C D 2 1 A B C D

中考数学平行四边形的判定经典题型精编

平行四边形的判定 一、【基础知识精讲】 1.平行四边形的判定方法： ① 两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等 ③ 一组对边平行且相等 ④ 两组对角分别相等 ⑤ 对角线互相平分 2.平行四边形性质的运用： ① 直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数， 线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等． ② 判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行． ③ 先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题． 二、【例题精讲】 例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( ) A ．一组对边平行且相等的四边形 B ．两组对角分别相等的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．对角线互相平分的四边形 （2）下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A ．AB=CD ，AD ∥BC B ．AB=CD ，AB ∥CD C ．AB ∥C D ，AD ∥BC D ．AB=CD ，AD=BC 例2．已知：如图，□ABCD 中，点E 、F 在对角线上，且AE ＝CF ． 求证：四边形BEDF 是平行四边形． 的四边形是平行四边形

例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ， G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形． 三、【同步练习】 A 组 1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ， 若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 是______, 根据是_____________________ . 2．在图中，AC=BD ， AB=CD=EF ，CE=DF ， 图中有哪些互相平行的线段？ 3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A ．88°，108°，88° B ．88°，104°，108° C ．88°，92°，92° D ．88°，92°，88° 4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形． D

平行四边形的判定典型例题

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF和BE 相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢可以看到 ，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

平行四边形性质及判定练习题

A B E C F D O B D C E D C O F B A 平行四边形性质及判定练习题 一、耐心填一填！ 1、ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝＿＿。 2、ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝＿＿cm ，AD ＝＿＿cm 。 3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是＿＿。 4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为＿＿。 5、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ， ∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝＿＿＿，ABCD 的周长为＿＿。 6．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8， 则两短边间的距离为_____________． 7、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______, ∠D=__________,∠A=_________,∠C=__________. 8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 、BC= 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有___ 对。 二、精心选一选! 11、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 12、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取 （ ） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 14、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ ） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 16、如图所示，在ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形， 还应满足（ ） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 18、根据下列条件，得不到平行四边形的是（ ） A 、 AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 19、若ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（ ） A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm

《平行四边形的性质与判定》典型例题

《平行四边形的性质》典型例题 例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？ 例2已知：如图，ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，?的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长. ?的周长比BOC AOB 例3 已知：如图，在ABCD中，BD AC、交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由.

例4 已知：如图，ABCD的周长是cm 36，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且cm =.求这个平行四边形的面积. 5 DF3 4 =，cm DE3 例5 如图，已知：ABCD中，BC EAF， ∠60 AE⊥于E，CD = AF⊥于F，若?FD3 =. =，cm BE2 cm 求：AB、BC的长和ABCD的面积.

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC 的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD.

例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH. 例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF， ∠BAC=∠DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

平行四边形的判定

[文件] sxc2jja0010.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行四边形/判定 [标题] 平行四边形的判定 [内容] 教学目标 1．掌握平行四边形的判定定理及应用． 2．会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题． 3．会根据条件来画出平行四边形． 4．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 教学重点和难点 重点是平行四边形的判定定理及应用； 难点是平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 教学过程设计 一、用类比、逆向思维的方式探索平行四边形的判定方法 1．复习平行四边形的主要性质， 角：（c）两组对角相等．（性质3）（等价命题：两组邻角互补） 对角线：（d）对角线互相平分．（性质4） 2．逆向思维：怎样判定一个四边形是平行四边形？ （1）学生容易由定义得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（判定方法一）．也就是说，定义既是平行四边形的一个性质，又是它的一个判定方法．（2）观察判定方法一与性质1的关系，寻找逆命题的特征： ①由两个独立条件和一个结论组成； ②两个独立条件属于同类条件（即都分别属于：（a）对边的位置关系，（b）对边的数量关系，（c）对角的数量关系或（d）对角线关系的条件，简称为同类条件）； ③逆命题正确． （3）类比联想，猜想其他性质的逆命题也能判定平行四边形，构造逆命题如下： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形（猜想1）； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形（猜想2）； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形（猜想3）． （4）证明猜想，得到平行四边形的判定定理1，2，3． 教师引导学生根据平行四边形的定义以及平行线的性质、三角形全等的知识对以上猜想进行证明． 注意利用新证定理简化后来读定理的证明过程及选择简捷方法． 3．进一步探求用两个独立的非同类条件判定平行四边形的方法．（这部分内容的设计意图和处理方法详见设计说明部分） （1）教师解释“两个独立的非同类条件”的含义，指从平行四边形四方面的性质（a），

初中数学判定平行四边形的五种常用方法

判定平行四边形的五种常用方法 名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程． 利用两组对边分别平行判定平行四边形 1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形． (第1题) 利用两组对边分别相等判定平行四边形 2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形． 求证：四边形ADEF是平行四边形． (第2题) 利用一组对边平行且相等判定平行四边形 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形． (第3题)

利用两组对角分别相等判定平行四边形 4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由． (第4题) 利用对角线互相平分判定平行四边形 5．【中考·哈尔滨】如图①，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形； (2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)． (第5题)

答案 1． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 平行且等于BF . ∴四边形BFDE 为平行四边形． ∴BE ∥DF .同理，AF ∥CE . ∴四边形FMEN 为平行四边形． 2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形， ∴BA ＝BD ＝AD ，BC ＝BE ，AF ＝AC ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°. ∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ， 即∠ABC ＝∠DBE . ∴△ABC ≌△DBE .∴AF ＝AC ＝DE . 同理，可证△ABC ≌△FEC ， ∴AD ＝AB ＝EF . ∴四边形ADEF 是平行四边形． 3．证明：过A 作AM ⊥DF 于M . ∵∠ACB ＝90°，ED ⊥BC ， ∴DF ∥AC .∴AM ＝DC . 在Rt △AMF 和Rt △CDE 中， ? ????AM ＝CD ，AF ＝CE ， ∴Rt △AMF ≌Rt △CDE . ∴∠F ＝∠CED .∴AF ∥CE . 又∵AF ＝CE ， ∴四边形ACEF 是平行四边形． 4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在?ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C . ∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12 ∠ADC .∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF .∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED .∴四边形BFDE 是平行四边形． 5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO . ∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC . 在△OAE 与△OCF 中， ?????∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ， ∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF . 同理OG ＝OH ， ∴四边形EGFH 是平行四边形． (2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有?GBCH ，?ABFE ，?EFCD ，?EGFH .

【精品】初中数学八年级下册《平行四边形的判定》拔高练习

《平行四边形的判定》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（） A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．BC＝AD 2．（5分）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（） A．①②B．②④C．③④D．①③ 3．（5分）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3 4．（5分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相平分 5．（5分）如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（） A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AC为对角线，已知点E、F在AC上，添加一个条件，可使四边形BFDE为平行四边形． 7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC 的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形． 8．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有个． 9．（5分）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是． 10．（5分）如图，在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB＝4，那么对角线AC+BD＝．

平行四边形的判定(1)

平行四边形的判定 教学目标：1、经历平行四边形的判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法； 2、探索并掌握平行四边形的判别条件； 3、在探究过程中，培养学生的动手实践水平、转化水平、反思水平、 归纳水平，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 教学重点：1、平行四边形的三种判别条件； 2、平行四边形的判别条件的初步应用。 教学难点：平行四边形的判别条件的初步应用 教学过程： 新课讲解： 一、动手操作 小明的爸爸在制作平行四边形框架时采用了下面两种方法 （1）他把两根木条AC、BD的中点O重叠并固定后得到了 理由：∵AO＝CO,BO＝DO,∠AOB＝∠COD ∴⊿AOB≌⊿COD ∴∠ABO＝∠CDO ∴AB∥CD 同理可得BC∥AD ∴四边形ABCD是平行四边形 判别方法一：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）他把两根等长的木条AB、C D平行摆放并固定后得到了四边 形ABCD，它是平行四边形，请你说明理由。

理由：连接AC ∵AB ∥CD ∴∠BAC ＝∠ACD 又∵AB ＝CD,AC ＝CA ∴⊿ABCC ≌⊿CDA ∴∠ACB ＝∠CAD ∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 判别方法二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 二、应用 例1、 如图，AC ∥ED,点B 在AC 上且AB ＝ED ＝BC ，找出图中的平行四边形 解：四边形ABDE 、BCDE 都是平行四边形 理由：∵AB ＝DE, AB ∥ED ∴ 四边形ABDE 是平行四边形 ∵BC ＝DE, BC ∥ED ∴ 四边形BCDE 是平行四边形 三、随堂练习： 书上 104页，第1题 四、小结：本节课主要学习了什么内容？你有何收获？ 五、作业：书上 104页，习题4.3，知识技能1，2，数学理解3 平行四边形的判定 教学目标：1、经历平行四边形的判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情 推理意识和主动探究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法； 2、探索并掌握平行四边形的判别条件； C B D C

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

平行四边形的判定教学设计 (1)

《平行四边形的判定》教学设计 柴沟堡二中 张彦春 教学目标： 知识与技能：1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法。 2、理解平行四边形形的判定方法，并学会简单运用。 过程与方法：1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培 养学生的动手能力、合情推理能力；使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题， 渗透化归意识。 2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生 的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形判定方法的探究，提高学生解决 问题的能力。 情感、态度与价值观： 通过对平行四边形判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理 性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析事物。 重点难点 重点 平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的结合运用。 难点 对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 学情分析： 经过近两年的初中学习，学生推理意识与能力有所加强。在知识储备上，学生已经学习了平 行四边形的性质，对命题与逆命题、定理与逆定理已经有了初步认识。 教学过程： 一、复习、引入新课 复习： 问题（多媒体展示问题） 1、平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2、平行四边形的性质有哪些？（从三个方面：边、角、对角线，两个角度：文字语言、符 号语言回答） 引入新课 我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？ 二、新课 活动一： 1、教师明确平行四边形的第一种判定方法——根据定义。 平行四边形判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、学生结合图形，用符号语言表述这一定理。 符号语言： ∵AB ∥CD ，AD ∥BC （已知） ∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形 是平行四边形。） 活动二： 1、探究1：如图，将两长两短的四条线段首尾顺次连接，拼成一个四边形，使等长的线段 成为对边，转动这个四边形，使它形状改变。在图形变化过程中，它一直是一个什么四边形？ （如图） A B C D A B C D

平行四边形判定方法.

平行四边形的判定 【知识要点】 同学们都知道，平行四边形具有对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质， 并且我们得到了平行四边形的五种判定方法： ①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【能力解读】 1. 掌握平行四边形的判定方法，会利用平行四边形的性质和判定进行有关线段的证明和角 的计算。 2. 将平行四边形转化成三角形来研究，深入理解平行四边形的性质和判定。 3. 平行四边形的性质和判定是中考命题的热点，特别是平行四边形的判定多与其他知识点 结合命题，以平行四边形为基架而精心设计的的中考题更是璀璨夺目，精彩四射。 【平行四边形判定方法的选择】 判定平行四边形的五种方法各有妙用，我们应仔细观察题目所给出的条件，仔细选择合 适于题目的判定方法进行解答。在解题时，如何有针对性的选择使用这些方法呢？这里列表 例1（条件开放题）如图1，四边形ABCD 中，BC AD =， 要使四边形ABCD 为平行四边形，还需补充的一个条件是 ． 课标剖析：熟练地掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。 解：答案不唯一，如：(1)AB CD =(2)AD BC ∥(3) ?=∠+∠180B A ,(4) ?=∠+∠180D C . 例2．（结论开放题）如图2，在□ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别 是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、 G 、 H 、O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形． 课标剖析：：根据平行四边形的判定方法④解答. 【解】第一种：可画为□EFGH 第二种：可画为□DEBG （或画为□AHCF ） 分析：□ABCD 可得OA=OC ，OB=OD ，又因为点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD D 2 D C 图1

平行四边形的判定典型题备课讲稿

平行四边形的判定 例题1：BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要添加的一个条件是_________ 练习：1、如图， 已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF 。 求证：四边形BFDE 是平行四边形。 2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，P 1、P 2是对角线BD 的三等分点，求证：?四边形AP 1CP 2是平行四边形． 3、如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ， 那么请说明AM=DC 且AM ∥DC 例题2：（2013?镇江）如图，AB∥CD，AB=CD ，点E 、F 在BC 上，且BE=CF ． （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）试证明：以A 、F 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形． O A B D

练习：1、11、如图，在□ABCD 中，已知两条对角线相交于点O ，E 、F 、G 、 H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形 2．（2012?惠城区模拟）如图，D 是AB 上的一点，DF 与AC 相交于E ，DE=EF ，CF∥BA． 求证：四边形ADCF 是平行四边形． 3、已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD?相交于点 O ，EF 经过点O 并且分别和AB 、CD 相交于点E 、F ，又知G 、H 分别为OA 、OC 的中点． 求证：四边形EHFG 是平行四边形． 例题3：、如图4.4-17，等边三角形ABC 的边长为a ，P 为△ABC 内一点，且PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，那么，PD+PE+PF 的值为一个定值.这个定值是多少?请你说出这个定值的来历. H G F E O A B C D H G F E O A B C D H G F E O A B C D H G F E O A B C D

平行四边形的性质及判定(提升版)

第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3

平行四边形的判定教学设计(1)

平行四边形的判定教学设计（1） 学情分析 认知基础：本节课是学习了三角形的相关知识、平行四边形的定义、性质的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。 学生在初一学习平行线、三角形全等证明及本学期学习勾股定理、平行四边形性质的过程中已经初步掌握的简单几何推理，也初步体会到解决四边形问题转化为三角形问题的转化思想。但对于几何逻辑尚处于起始阶段的八年级学生来讲，推理的认知与规范证明难度仍然较大。 活动经验基础：在学习平行四边形性质的过程中，学生的观察、测量、画图、模型操作、拼摆等的能力有了很大的提高，在活动中学生有了体验和经验，同时活动中培养了学生良好的情感态度。教材的地位和作用 “平行四边形的判定”是初中数学几何部分一节十分重要的内容。主要体现在知识技能和思想方法两个方面。 从知识技能上讲，它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。 数学思维品质。 教学目标 1、经历平行四边形判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，使学生。 2、学生能归纳平行四边形判定方法并且能运用它判定是否是平行四边形 3、培养学生动手、独立思考、归纳概括、创新的能力，激发学生探究创新的热情。 教学重点 平行四边形的判定涉及平行四边形的元素各个方面同时又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其它问题的基础。 教学难点 1、能寻求多种方法画平行四边形。 2、对已解决的问题加以归纳总结判定方法。 设计理念 现行教材中的定理教学，多数是沿用“定义——定理——证明——应用”这样的模式。按照这

《平行四边形的判定》典型例题知识讲解

《平行四边形的判定》典型例题

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF 和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

《平行四边形的判定(2)》参考教案

18.1.2 平行四边形的判定（2） 一、教学目标 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题． 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法． 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 3．难点的突破方法： 本节课是平行四边形判定的第二节课，本节课在上节课的基础上，学习平行四边形的判定方法，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，并且通过本节课的学习，继续培养学生的分析问题、寻找最佳解题途径的能力．本节课的知识点不难，但学生灵活运用判定定理去解决相关问题并不容易，在以后的教学中还应加强一题多解和寻找最佳解题方法的训练． （1）平行四边形的判定方法4不是性质的逆命题．它可以用平行四边形定义或平行四边形判定方法1或3来证明，可以看作是巩固前面两个判定方法的一个很好的练习题．教学中可引导学生用不同的方法进行证明，以活跃学生的思维．（2）注意强调：判定方法是“一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形”，而“一组对边平行另一组对边相等的四 边形不一定是平行四边形”．例如：如图，AD∥BC，AB＝ DC，但四边形ABCD不是平行四边形． （3）学过本节后，应使学生掌握平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是： 从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

数学八年上册第四章第二节《平行四边形的判别》教案

课时课题: 第四章第二节平行四边形的判别（2） 课型: 新授课 教学目标： 1．经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法. 2．探索并了解平行四边形的判别方法：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.能根据判别方法进行有关的应用. 3．在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯. 教法及学法指导： 本节应用“自主探究-小组合作”教学模式，引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得出结论，学会解决问题的方法.这节课是在上节课的基础上继续研究平行四边形的判定方法，学生利用全等三角形的知识可以轻松的推出有关的结论，关键是用性质定理和判定定理去解决实际问题. 教学准备： 教具：多媒体课件三角板 学具：学生准备的牙签课本练习本 教学过程： 一、创设情境，导入新课 师：上节课我们学习了平行四边形，怎样的四边形称为平行四边形呢？ 生：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 师：这句话可以作为定义，还可以作为什么呢？ 生：它不仅是定义，还可以作为判定． 师：平行四边形还有哪些其它性质？ 师：今天我们继续探究，是否还有其它的判别平行四边形的判定方法呢？ 设计意图：教师提出问题，由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用， 总结出判定四边形是平行四边形的几个条件．对比平行四边形的性质，猜测平行四边形的判定还可能有其他的方法. 二、探究新知：

D A C 探究活动（一） 师：每位同学桌上已经准备了两根牙签和两根棉签．你能在平面内将它们首尾顺次相接，组成一个平行四边形吗？请同学们动手试试看． 请哪个到台前来操作． 师：请你告诉大家，你是如何拼接的？ 生：把两根牙签和两根棉签分别作为四边形的对边． 师：也就是说，你认为如果一个四边形有两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形？ 师：我们得到了这样一句话：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 这句话成立吗？ 生：是的． 师：怎么才能说明它的道理呢？ 生：度量法. 生：还有可以证明． 师：证明之前，我们要做些什么准备工作？ 生：根据题意画出图形，写出已知和求证． 师：已知和求证如何来写？ 生：“已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．” 师：现在，我们有没有方法来证明这是一个平行四边形呢？ 生：可以根据定义来证明． 师：很好，请你说说你的证明思路． 生：连接AC ，证明ABC ?≌CDA ? 师：好，下面请大家再写出证明过程． 生：练习本上快速的完成（小组内交流讨论） 师：这样我们就得到了第二个判定平行四边形的方法，作为判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 几何语言描述为： ∵AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 师：它们之间有什么样的关系？ 生：它们是互逆的． 设计意图：通过学生动手拼摆图形来提高学生参与的积极性，同时让学生分析证明的过 程，让学生知道几何说理的必要性，锻炼了学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力. 探究活动（二） 师：你还能猜想出其他的判别方法吗？