2016届高三年级数学(文)试题
2016届高三年级第二次四校联考
数学（文）试题
2015.12
命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号. )
1．已知}{
0322
≤
--=x x x A ，{
}
32+
==x y y B ，则=?B A
A.
??
B. C. ?? D. ??
2．若复数z 满足1
2
)1(-=
+i i z ，则复数z 的虚部为 A. 1- B. 0 C. i D. 1
3．已知平面向量a ，b 满足()
3a a b ?+= ，且2a
= ，1b =
，则向量a 与b 夹角的正弦
值为
A. 12-
B.
C. 12
D. 4．甲乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为 A.
31 B. 41 C. 51 D. 1
6
5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为
A. 1
B.
2 C.
3 D. 4
6．已知双曲线1:22
22=-b
y a x C )0,0(>>b a ，右焦点F 到渐近
线的距离为2，F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为 A.
35 B. 553 C. 36 D. 2
6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
A ．28＋65
B ．30＋65
C ．56＋125
D ．60＋12 5
8．已知数列2008，2009，1，－2008，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项
之和2014S 等于
A ．1
B ．4 018
C ．2 010
D ．0
9．已知三棱锥ABC P -，在底面ABC ?中，0
60A ∠=
，BC =，ABC PA 面⊥，
2=PA ，则此三棱锥的外接球的体积为
A
B.
C.
D. 8π 10. 已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x R ?∈，都有)()2(x f x f =+；③当[1,1]x ∈-时，()||1f x x =-+，则方程x x f 2log 2
1
)(=在区间[3,5]-内解的个数是 A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
11. 已知函数()()sin 2f x x φ=+ (其中φ是实数)，若()()6
f x f π
≤对x R ∈恒成立，且
()(0)2
f f π
>，则()f x 的单调递增区间是 A. ,()36k k k Z ππππ?
?
-+∈???? B. ,()2k k k Z πππ?
?
+∈????
C. 2,()63k k k Z ππππ?
?
++∈???? D. ,()2k k k Z π
ππ?
?
-∈????
12. 函数32231(0)
()(0),
ax x x x f x e x ?++≤?=?>??在[]2,3-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是
A . 1[ln 2,)3+∞ B. 1[0,ln 2]3 C. (,0]-∞ D. 1(,ln 2]3
-∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞（a R ∈），()f x '为()f x 的导函数，(1)2f '=，则
a =
14. 若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤??
-+≤??-+≥?
，则3z x y =+的最大值为
15. 抛物线2
2(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2
2
1x y -=相交于,A B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝
16. 在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且c A b B a 2
1
cos cos =
-，当
)tan(B A -取最大值时，角B 的值为
三、解答题（本大题共8小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，13b =，且{}n b 的前n 项和为n S ，2
332
27,S a S q a +==. （Ⅰ）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足3
2n n
c S =，求{}n c 的前n 项和n T .
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是正三角形，点D 是
11B A 中点，2AC =，21=CC ．
（Ⅰ）求三棱锥1BDC C -的体积; （Ⅱ）证明：11BC C A ⊥.
19．（本小题满分12分）
某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y =-=-得到下表2：
（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程???y
bx a =+，其中1
2
2
1
???,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a
y bx x
nx ==-?==--∑∑）
20．（本小题满分12分）
如图，圆C 与x 轴相切于点)0,2(T ，与y 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的下方），且3MN =．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M 任作一条直线与椭圆22
184
x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．
21．（本小题满分12分） 已知函数1
()ln f x a x x
=
-（a R ∈）. （Ⅰ）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间； （Ⅱ）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围.
选做题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知,ABC AB AC ?=中，D ABC ?为外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E , 延长AD 交BC 的延长线于F ．
（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；
（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ??=??．
23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线C
的参数方程为31x y αα
?=??=+??(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为1
sin cos θθρ
-=
，求直线被曲线C 截得的弦长.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()3,0,(3)0f x x m m f x =+->-≥的解集为(][),22,-∞-+∞ ． （Ⅰ）求m 的值；
第22
题
（Ⅱ）若x R ?∈，使得23
()2112
f x x t t ≥--+
+成立，求实数t 的取值范围．
2016届高三四校第二次联考文科数学试题参考答案
一、选择题
ＣＢＤＡＣ ＢＢＣＡＡ ＣＤ 二、填空题
13. 2
14. 4
15.
16.
6
π 三、解答题
17．解：()1设数列{}n b 的公差为d ， 2
332
27,S a S q a +==
∴ 22318,6q d d q +=+= ，3,3q d == ? 4分
13n n a -=，3n b n = ， ? 6分
()2由题意得：()332n n n S += ，()332111
22311n n c S n n n n ??==?=- ? ?++?? 111111111122334111
n n
T n n n n =-+-+-++-=-=+++ ? 12分.
18. 证明：（Ⅰ） 11BCC D BD C C V V --=? 1分
过D 作11B C DH ⊥,直三棱柱中11B C ⊥面111C B A 11B C ∴⊥DH ,
⊥∴DH 面1BCC ,DH ∴是高DH ∴=
2
3
，? 3分 222211=??=
?BCC S ,6
62233111=??==∴--BCC D BDC C V V ? 6分 （Ⅱ）取11B C 的中点E,连接CE E A ,1
底面是正三角形,111C B E A ⊥∴ ? 8分 矩形BC B C 11中，CE C RT 1?中，1,211==
E C C C ,
1BCC RT ?中，2,21==CC BC ,∴=∴
,1
11CC E
C BC C C CE C 1?∽1BCC ?， C EC BC C 11∠=∠∴,∴=∠+∠,90011C BC BC C 01190,ECC BC C ∠+∠=
1CE BC ∴⊥? 10分
⊥∴1BC 面CE A 1,∴11BC C A ⊥? 12分
19.解：（1）2
.2,3==z t ,455
1
=∑=i
i i z
t ,555
1
2=∑=i i t
4553 2.2? 1.25559b
-??==-?，? 2.23 1.2 1.4a z bt =-=-?=- 4.12.1-=∴t z ? 6分
（2）2010,5t x z y =-=-，代入4.12.1-=t z 得到：
5 1.2(2010) 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =-? 9分
（3） 1.220202408.415.6y ∴=?-=，
∴ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 ? 12分
20.解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为),2(r .
∵ 3MN =∴ 2
2
2322r ??
=+ ???
，解得2254r =．? 2分
∴ 圆C 的方程为()4252522
2
=??? ??-+-y x ．? 4分
（Ⅱ）把0=x 代入方程()4252522
2
=??? ?
?
-+-y x ，解得1=y 或4=y ，
即点)4,0(),1,0(N M ．? 6分
（1）当y AB ⊥轴时，可知ANM BNM ∠=∠=0．
（2）当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1+=kx y ．
联立方程??
?=++=8
21
2
2y x kx y ，消去y 得，064)21(22=-++kx x k ．? 8分
设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点，则
221214k k x x +-=
+，2
2
1216
k x x +-=． ∴2
1212122112211)
(323344x x x x x kx x kx x kx x y x y k k BN AN +-=
-+-=-+-=+
若0AN BN k k +=，即ANM BNM ∠=∠? 10分 ∵021122112)(322
22121=+-+-=
+-k
k
k k x x x kx ， ∴ ANM BNM ∠=∠．? 12分 21. 解：（1）()h x 定义域为(0,)+∞，
2222
13231(21)(1)
()2x x x x h x x x x x -+--'=-+-=-=- ……2分
()h x ∴的单调递减区间是10,2??
???
和()1,+∞.……4分
（2）问题等价于1
ln a x x
=
有唯一的实根 显然0a ≠，则关于x 的方程1
ln x x a
=有唯一的实根 ? （6分）
构造函数()ln ,x x x ?=则()1ln ,x x ?'=+
由()1ln 0,x x ?'=+=得1
x e -=
当1
0x e -<<时，()0,()x x ??'<单调递减 当1
,()0,()x e x x ??-'>>时单调递增
所以()x ?的极小值为11
()e e ?--=- ? （8分）
如图，作出函数()x ?的大致图像，则要使方程1
ln x x a
=
的唯一的实根， 只需直线1y a =与曲线()y x ?=有唯一的交点，则1
1e a -=-或10a
>
解得0a e a =->或
故实数a 的取值范围是{}(0,)e -?+∞ ? （12分）
22．解析：()1证明：A 、B 、C 、D 四点共圆
∴CDF ABC ∠=∠．
AB AC = ABC ACB ∴∠=∠
且ADB ACB ∠=∠,
EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,
∴CDF EDF ∠=∠ ? 5分
()2由()1得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠ ,
所以BAD ?与FAB ?相似,
AB AD
AF AB
∴
=
2AB AD AF ∴=?， 又AB AC = , A B A C A D ∴?=?，∴AB AC DF AD AF DF ??=??
根据割线定理得DF AF FC FB ?=?，
AB AC DF AD FC FB ??=??． ? 10分 23．解：()1∵曲线C
的参数方程为31x y α
α
?=+??=+?? (α为参数)
∴曲线C 的普通方程为()()2
2
3110x y -+-= 曲线C 表示以()3,1
为半径的圆。
将?
??==θρθ
ρsin cos y x 代入并化简得：6cos 2sin ρθθ=+
即曲线c 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+ . ? 5分
()2∵的直角坐标方程为1y x -=
∴圆心C
到直线的距离为2d =
∴弦长为=. ? 10分 24．解：()1因为()3f x x m =+- ，所以()30f x x m -=-≥，
0m > ，x m ∴≥ 或x m ≤- ，又 ()30f x -≥的解集为(][),22,-∞-+∞ ．
故2m ＝. ? 5分
()223()2112f x x t t ≥--++等价于不等式2332132
x x t t +--≥-++，
4,31()32132,3214,2
x x g x x x x x x x ?
?-≤-?
?
=+--=+-<<
??
?
-+≥??，? 8分
（本处还可以用绝对值三角不等式求最值） 故max 17()()22g x g ==
，则有2
73322
t t ≥-++，即22310t t -+≥，解得12t ≤或1t ≥
即实数的取值范围[)1,1,2
??-∞+∞ ??
?
? 10分