山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） A ．
11a b
< B ．a b <
C ．0ab <
D ．2ab b >
2．设命题2:,2n P n N n ?∈>，则P ?为（ ） A ．2,2n n N n ?∈> B ．2,2n n N n ?∈≤ C ．2,2n n N n ?∈≤
D ．2,2n n N n ?∈=
3．在等差数列{}n a 中，5799a a a ++=，212a a +=（ ） A ．3 B ．6 C ．9
D ．9
4．“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知方程22
1612x y m m
+=--表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，
则m 的取值范围为（ ） A ．()6,9
B ．()9,12
C ．()6,12
D ．()
()6,99,12
6．网上购鞋常常看到下面的表格：脚长与鞋号对应表
如果一个篮球运动员的脚长为290mm ，根据上表，他应该穿的鞋号为（ ） A ．46
B ．47
C ．48
D ．49
7．“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，
()123,n n n a a n n a --++≥=∈N ，记其前n 项和为n S ，则6543S S S S +--=（ ）
A ．8
B ．13
C ．21
D ．34
8．若不等式20ax bx c -+>的解集是()2,3-，则不等式20bx ax c ++<的解集是（ ） A ．()3,2- B ．()2,3-
C ．()
(),23,-∞-+∞ D ．()
(),32,-∞-+∞
9．数列1，13+，2133++，，211333n -+++
+，
的前n 项和n S =（ ）
A ．31
2n -
B ．3122n n --
C ．133
4n +-
D ．13342
n n +--
10．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于
A ，
B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆
C 的离心率为（ ）
A ．
12
B 1
C ．
1
2
D 1
11．已知0,0a b >>，若不等式212n
a b a b
+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ）
A ．9
B ．12
C ．16
D ．20
12．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c .某同学根据所学知识，得到下列结论:
①卫星向径的取值范围是[],a c a c -+
②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 ③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 ④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③
C ．②④
D ．①③④
二、填空题
13．已知命题“x ?∈R ，220x x a ++≥” 是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 14．在等比数列{}n a 中，22a =，3516a a ?=，则6a =__________．
15．设1F ，2F 分别是椭圆2212516x y +=的左右焦点，P 为椭圆上任意-一点，点M 的坐
标为()1 ,3-，则1PM PF 的最大值为__________．
16．下列四个命题:
①若0a b >>，0a m >>，则b m b b m
a m a a m
-+<<-+ ②函数4
()1
f x x x =+
+，的最小值是3 ③用长为2l 的铁丝围成--个平行四边形，则该平行四边形能够被直径为l 的圆形纸片完全覆盖
④已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y +
的最小值为3. 其中所有正确命题的序号是__________．
三、解答题
17．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为35，点
()5,0A -为椭圆的左顶点.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若点()()000,0P x y x >在椭圆C 上， 且12F PF ?的面积为3，求点P 的坐标. 18．(1)求不等式
21
11
x x -≥+的解集. (2)求关于x 的不等式2(1)0x a x a +--> (其中a ∈R )的解集.
19．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和，525S = ，且2a ，5a ，
14a 依次成等比数列.
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．如图，已知圆22:(1)16E x y ++=，点()1,0F 是圆E 内一个定点，P 是圆E 上任意-一点，线段PF 的垂直平分线l 和半径PE 相交于点Q ，连接QF ，记动点Q 的轨
迹为曲线T .
(1)求曲线T 的方程;
(2)若A 、B 是曲线T 上关于原点对称的两个点，点D 是曲线T .上任意-一点(不同于点
A 、
B )，当直线DA 、DB 的斜率都存在时，记它们的斜率分别为1k 、2k ，求证:12
k k ?的为定值.
21．为了提高职工的工作积极性，在工资不变的情况下，某企业给职工两种追加奖励性绩效奖金的方案:第一种方案 是每年年末(12月底)追加绩效奖金一次，第一年末追加的绩效奖金为1万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多1万元;第二种方案是每半年(6月底和12月底)各追加绩效奖金一次，第一年的6月底追加的绩效奖金为0.3万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多0.3万元. 假设你准备在该企业工作()n n +∈N 年，根据上述方案，试问:
(1)如果你在该公司只工作2年，你将选择哪一种追加绩效奖金的方案?请说明理由. (2)如果选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多，你至少在该企业工作几年?
(3)如果把第二种方案中的每半年追加0.3万元改成每半年追加x 万元，那么x 在什么范围内取值时，选择第二种方案的绩效奖金总额总是比选择第一种方案多? 22．已知数列{}n a 的前n 项和()22n n S a n +=-∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n B ; (3)设11
(1)
n n c a n n =
-+，n T 为数列{}n c 的前n 项和，是否存在正整数k ，使得对任意的()n n +∈N ，均有k n T T ≥若存在，求出k 值;若不存在，请说明理由.
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案． 【详解】 解：
0a b <<， 0ab ∴>，故C 错误；
两边同除ab 得：
11
a b
>，故A 错误； a b ∴>，故B 错误；
两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确； 故选D ． 【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档． 2．C 【详解】
特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2
,2n
n N n ?∈≤，即本题的正确选项为C. 3．B 【分析】
根据等差数列的下标和性质解答，即在等差数列中，若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 【详解】
解：由等差数列下标和公式知，
5799a a a ++=，5972a a a +=
73a ∴=
212726a a a ∴+==
故选B
本题考查等比数列的下标和性质，若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+，属于基础题． 4．A 【分析】
利用等比中项公式及充分必要条件判断求解． 【详解】
解：m 是两个正数2和8的等比中项，
4m ∴==±．
故4m =是4m =±的充分不必要条件，
即“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的充分不必要条件， 故选A ． 【点睛】
本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个． 5．B 【分析】
方程2
2
1x y
m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是0
0m n m n
>??>??>?
，列出不等式组，解得.
【详解】
解：因为方程22
1612x y m m
+=--表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，
所以60120612m m m m ->??
->??->-?
解得912m <<即()9,12m ∈
故选B 【点睛】
本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质． 6．C 【分析】
根据表中数据分析可知脚的长度与鞋号是一次函数的关系，求出函数解析式，解得．
解：由表所给数据知脚的长度与鞋号是一次函数的关系，满足()220534y x -=-，即
550y x =+
当290y =时解得48x =
故脚长为290mm ，他应该穿的鞋号为48， 故选C 【点睛】
本题考查一次函数的应用问题，属于基础题． 7．C 【分析】
由数列的递推式和斐波那契数列{}n a 的定义，计算可得所求值． 【详解】 解：
11a =，21a =，()123,n n n a a n n a --++≥=∈N 3122a a a =+= 4233a a a =+=
5345a a a =+= 6458a a a =+=
6543S S S S ∴+-- 6453S S S S =-+- 5546a a a a =+++
855321=+++=
故选C ． 【点睛】
本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于基础题． 8．D
根据不等式20ax bx c -+>的解集求出a 、b 和c 的关系， 代入不等式20bx ax c ++<中化简，即可求出该不等式的解集． 【详解】
解：不等式20ax bx c -+>的解集是()2,3-， 所以方程20ax bx c -+=的解是-2和3，且0a <；
即2323b a c a ?
-+=????-?=
??
，
解得b a =，6c a =-；
所以不等式20bx ax c ++<化为260ax ax a +-<， 即260x x +->， 解得3x <-或2x >，
所以所求不等式的解集是()(),32,-∞-+∞．
故选D ． 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法与对应一元二次方程的关系问题，是基础题． 9．D 【分析】
首先求出数列的通项公式，再用分组求和法求解． 【详解】
解：依题意设题中数列为{}n a ，11a = 当(
)*
2n n N
≥∈时，2
1
133********
n
n n n a
-+
-===+-+-+令1n =，1131
12
a -==成
立，31
22
n n a =-
所以12111111
333222222
n n S =
?-+?-++?- 121
1111
133322222
2n ????
=?+?+
+?-+++ ? ?????
()1
31312132
n n
?-=-- 13342
n n +-=-
故选D 【点睛】
本题考查等比数列求和及分组求和，属于基础题． 10．D 【分析】
可解得点A 、B 坐标，由AF
BF ⊥，得0AF BF =，把222b a c =-代入该式整理后两边同除以4a ，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围 【详解】
解：由22
221
x y a b y ?+=???=?
，消y 可得得2222
2(3)a b x a b +=，解得
x =
y =，
A ∴
，
(B ，
，
∴
AF c =+
，(BF c =-，
AF BF ⊥
∴2222
2
22223033a b a b AF BF c a b a b
=--=++，
222
22
43a b c a b
∴=+，(*) 把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-，
两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得24e =-
1e ∴=，
故选：D ． 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题． 11．A 【分析】
因为0,0a b >>，所以利用不等式的性质，把不等式212n
a b a b
+≥+中的变量n 分离出
来，变为221())(n a a b b ++≥，利用基本不等式求出2)(21
()a b
a b ++的最小值，确定n 的取
值范围，最后求出n 的最大值.
【详解】 因为0,
0a b >>，所以20a b +>，
22121((2))a b n n a b a b a b
+≥?++≥+，
2212()552)(9b a b b a a a b +=++≥+=+（当且仅当a b =时，取等号）
，要想不等式
212n a b a b
+≥+恒成立，只需9n ≤，即n 的最大值为9，故本题选A. 【点睛】
本题考查了不等式的性质、基本不等式、不等式恒成立问题，把变量n 分离出来，利用基本不等式是解题的关键. 12．B 【分析】
①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么； ②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论； ③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断
④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小． 【详解】 解：如图所示，
对于①，卫星向径的最小值为11||A F a c =-，最大值为21||A F a c =+，∴①正确；
对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为22
111a c c a a c a c c
-=-=-
+++， a c 越小，21a e
+就越大，2
11a c -
+就越小，椭圆轨道越扁，∴②错误； 对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，∴③正确；
对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，∴④错误； 综上，正确结论的序号是①③，共2个． 故选B ．
【点睛】
本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题． 13．[
)1,+∞ 【分析】
此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为x ∈R ，函数2
2y x x a =++的图象抛物线开口向上，所以只要判别式不大于0即可． 【详解】
解：因为命题“x R ?∈，220x x a ++≥”是真命题， 所以不等式220x x a ++≥在x ∈R 上恒成立．
由函数2
2y x x a =++的图象是一条开口向上的抛物线可知， 判别式0?即2240a -解得1a ≥ 所以实数a 的取值范围是[
)1,+∞．
故答案为：[
)1,+∞． 【点睛】
本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用，解题要注意x 的范围，如果x R ?，一定要注意数形结合；还应注意条件改为假命题，有时考虑它的否定是真命题，求出a 的范围．本题是一道基础题． 14．8 【分析】
根据等比数列的下标和公式可得，即若数列{}n a 是等比数列，且m n p q +=+则
m n p q a a a a =．
【详解】
解：因为数列{}n a 是等比数列， 所以3526a a a a = 又22a =，3516a a ?= 所以68a = 故答案为：8 【点睛】
本题考查等比数列的性质，属于基础题． 15．15 【分析】
由椭圆的定义可得，122||||2||||2||PM PF a PM PF a MF +=+-+，由此可得结论． 【详解】
解：由题意2(3,0)F ，2||5MF =，
由椭圆的定义可得，1222||||2||||10||||10||15PM PF a PM PF PM PF MF +=+-=+-+=， 当且仅当P ，2F ，M 三点共线时取等号， 故答案为：15． 【点睛】
本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 16．①③④ 【分析】
①利用不等式的性质即可得出； ②取特殊值可排除②；
③利用余弦定理及基本不等式判断； ④利用基本不等式可证． 【详解】
解：对于①，0a b >>，0a m >>．
0a b ∴->，0a m +>，0a m ->， ()0a b m ∴->，
()()()0a b m a b m b a m ∴-=+-+>，()()()0a b m b a m a b m -=---> ()()a b m b a m ∴+>+同除()a a m +得
()()b m b
a m a
+∴
>+
()()b a m a b m ∴->-同除()a a m -得
()()b m b a a m -∴>-综上得b m b b m a m a a m
-+<<-+，故①正确； 对于②，4()1f x x x =+
+则4
(2)2621
f -=-+
=--+，故②错误； 对于③，设平行四边形的一组邻边分别为,x y 夹角为θ，0,0,x l y l x y l <<<<+=，
()0,θπ∈
=
x y l +=≥
2
4
l xy ∴≤
l <
所以平行四边形的任何一边及对角线都小于l ，该平行四边形能够被直径为l 的圆形纸片完全覆盖，故③正确；
对于④，正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则421
x
y x -=
+，()0,2x ∈
所以4266
21333111x x y x x x x x x -+=+=+-=++-≥=+++
当且仅当6
11
x x +=
+即1x =取等号，故④正确； 故答案为:①③④ 【点睛】
本题考查不等式的性质，及基本不等式的应用，属于中档题．
17．（1）22
12516x y +=；（2）,14??± ? ???
. 【分析】
（1）由已知a 的值及离心率，可得c ，再由222b a c =-求出b 即可求得椭圆方程； （2）由121201
2
PF F S F F y ?=?，可求得0y ，代入方程，即可求得P 坐标． 【详解】
解:(1)由已知得，5a =， 又3
5
c e a =
=，3c ∴=， 则22216b a c =-=，
所以椭圆标准方程为22
12516x y +
=. （2）)由(1)知，1226F F c ==
12F PF ?的面积为1212012PF F S F F y ?=
?01
632
y =??=， 解得01y =±，
代入椭圆的方程解得0x =
所以点P 的坐标为,14??
± ? ???
.
【点睛】
本题考查用待定系数法求曲线方程的能力，及三角形的面积计算，属于基础题． 18．（1）{2x x ≥或1}x <-；（2）分类讨论，详见解析. 【分析】
（1）通分，将分式不等式转化为整式不等式，解整式不等式即可，需注意分母不能为零． （2）先利用十字相乘法因式分解，然后对a 分类讨论． 【详解】
解:(1)原不等式化为
21101x x --≥+，即2
01
x x -≥+， 所以(2)(1)0
10
x x x -+≥??
+≠?，解得2x ≥或1x <-，
∴不等式解集为{}21x x x ≥<-或.
(2)原不等式可化为()(1)0x a x +->， 当1a ->，即1a <-时，解得x a >-或1x < 当1a -=，即1a =-时，解得1x ≠， 当<1a -，即1a >-时，解得1x >或x a <-.
综上所述，当1a <-时，不等式的解集为{}
1x x a x >-<或； 当1a =-时，不等式的解集为{}
1x x ≠;
当1a >-时，不等式的解集为{}
1x x x a ><-或 【点睛】
本题考查分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，属于基础题． 19．（1）21n a n =-；（2）21
n n
T n =+. 【分析】
（1）利用前n 项和公式及等比中项的性质构造关于1a 和d 的方程组，解得. （2）利用裂项相消法求和．
【详解】
解:(1)设数列{}n a 的首项为1a ，公差为()d d ≠0，
由题意52521425S a a a =??=??，即()()()1
21
1154525,2413,
a d a d a d a d ??+=???+=++?
1125,2a d d a +=?∴?=?
，解得11
2,a d =??=?
21n a n ∴=-，
(2)由题意知，111(21)(21)n n n b a a n n +=
=-+11122121n n ??
=- ?-+??
12n n T b b b ∴=+++
1111
11123352121n n ??
=-+-++
- ?-+??
111221n ??=
- ?+??
21
n
n =
+. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的求解，等差数列前n 项和公式的应用，以及裂项相消法求和，属于基础题．
20．（1）22143
x y +=；
（2）详见解析. 【分析】
（1）根据中垂线的性质可得QP QF =，可得4QE QF +=，由椭圆的定义知，Q 点的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出轨迹方程．
（2）设D 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，则点B 的坐标为()00,x y --，表示出
1k 、2k ，由D 、A 、B 在椭圆上，则满足椭圆方程，消去00,x y 即可得12k k ?为一个定值．
【详解】
(1)解:
Q 在线段PF 的中垂线l 上，
QP QF ∴=，
4QE QF QE QP PE ∴+=+==，
又
24EF =<
Q ∴点的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，
24a ∴=，22c =，即2a =，1c =，
23b ∴=，
∴曲线T 的方程为22
143
x y +=.
(2)设曲线T 上点D 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，则点B 的坐标为()00,x y --，
故22
143
x y +=，2200143x y +
=， 由斜率公式得010y y k x x -=
-，0
20
y y k x x +=+
22
12220
y y k k x x -∴?=-
又
22334y x =-，2
200334
y x =-，
22012220
333344x x k k x x ????--- ? ?????∴?=-()2
202203344x x x x -==-- 因此，斜率之积12k k ?为定值34
-. 【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是设而不求的整体思想，属于中档题．
21．（1）见解析；（2）至少在该公司工作3年；（3）13
x >. 【分析】
（1）将两种方案可得奖金分别计算出来，比较得出结论；
（2）根据规则计算出第n 年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，解得；
（3）根据规则计算出第n 年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，参变分离，求出x 的取值范围． 【详解】
解:(1)第2年末，依第一方案得到的奖金总额为
123+=（万元）.
依第二方案得到的奖金总额为
0.30.320.330.343+?+?+?=(万元).
∴在该公司工作2年，选择第一方案和选择第二方案得到的绩效奖金一样多
(2)第n 年末，依第一方案得到的奖金总额为:(1)
1232
n n n +++++=
（万元） 依第二方案得到的奖金总额为:()()0.312320.321n n n ++++=+
由题意得:(1)
0.3(21)2
n n n n ++>， 解得:2n >，
因为n +∈N ，所以3n ≥，
所以至少在该公司工作3年才能保证选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多.
(3)第n 年末，依第一方案，得到的绩效奖金总额为(1)
1232
n n n +++++=
（万元)， 依第二方案，得到的绩效奖金总额为(1232)(21)x n xn n ++++=+
由题意(1)
(21)2
n n xn n ++>对所有正整数恒成立， 即1
42
n x n +>
+对所有正整数恒成立，
因为
111111
4244(21)4123
n n n +=+≤+=++
所以当1
3
x >万元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案的绩效奖金总额多. 【点睛】
本题考查等差数列求和的应用，关键是理解题意，属于基础题．
22．（1）2n n a =；（2）1
6(23)2n n B n +=+-?；（3）存在，4k =.
【分析】
（1）根据1112n n
n S n a S S n -=?=?-≥?，用作差法求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n B ； （3）将11(1)
n n c a n n =-+的通项求出，判断其增减性，即可得到k n T T ≥． 【详解】 解（1）由
22n n S a =-得1122n n S a ++=- 1122n n n a a a ++∴=-， 12n n a a +∴=即1
2n n
a a +=， 又1122S a =-，得12a =，
∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，
1222n n n a -∴=?=.
(2)由(1)得(21)2n
n b n =-，
123n n B b b b b ∴=++++23123252(21)2n n =?+?+?++-，
2321232n B =?+?+
1(23)2(21)2n n n n ++-+-
相减得23
122222n B -=?+?+?122(21)2n n n ++
+?--?
21228(21)2n n n ++=+--- 1(32)26n n +=--. 16(23)2n n B n +∴=+-?
∴数列{}n b 的前n 项和为16(23)2n n ++-?.
（3）由(1)得112(1)n n c n n =
-+1(1)1(1)2n n n n n +??=- ?+??
， 计算得：1: 0c =，20c >，30c >，40c >，50c <， 当5n ≥时，
1(1)(1)(2)22n n n n n n ++++-1
(2)(1)02n n n +-+=>， 5n ∴≥时，(1)2n
n n +??
????
为递减数列， 又
5n =时，
5(1)65
122n
n n +?=<， 5n ∴≥时，
(1)
12n
n n +<， 5n ∴≥时，1(1)10(1)2n n
n n c n n +??
=
-< ?+??
， 故123445,T T T T T T <<<>>
∴当4k =时，使得对任意的n ，均有4n T T ≥.
【点睛】
本题考查作差法求数列的通项公式，错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题．