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中考数学培优 (含解析 )之圆与相似及详细答案

一、相似

1．如图，在四边形ABCD 中， AD//BC，， BC=4， DC=3， AD=6.动点P 从点 D 出

发，沿射线 DA 的方向 ,在射线 DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P、 Q 分别从点

Q从点C D,C 同时出发

出

,当

点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动.设运动的时间为t(秒 ).

（ 1）设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是________（不写取值范围） .

（2）当 B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.

（3）当线段PQ 与线段 AB 相交于点O，且 2OA=OB 时，直接写出=________.（4）是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在,请说明理由 .

【答案】（1）

（2）解：如图1，过点 P 作 PH⊥ BC 于点 H，

∴∠ PHB=∠ PHQ=90 ，°

∵∠ C=90 ，°AD∥ BC，

∴∠ CDP=90 ，°

∴四边形 PHCD是矩形，

∴PH=CD=3， HC=PD=2t，

∵CQ=t， BC=4，

∴H Q=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，

∴BQ2=，BP2=，PQ2=，

由 BQ2=BP2可得：，解得：无解；

由 BQ2=PQ2可得：，解得：；

由 BP2= PQ2可得：，解得：或，

∵当时， BQ=4-4=0，不符合题意，

∴综上所述，或；

（3）

（4）解：如图 3，过点 D 作 DM∥ PQ 交 BC的延长线于点 M，

则当∠ BDM=90°时， PQ⊥ BD，即当 BM2=DM2+BD2时， PQ⊥ BD，

∵AD∥ BC， DM∥ PQ，

∴四边形 PQMD 是平行四边形，

∴Q M=PD=2t ，

∵QC=t,

∴CM=QM-QC=t，

∵∠ BCD=∠MCD=90 °，

∴BD2=BC2+DC2=25， DM2=DC2 +CM2=9+t 2，

∵B M2=(BC+CM)2=(4+t)2，

∴由 BM2=BD2+DM2可得：，解得：，

∴当时，∠ BDM=90 °，

即当时， PQ⊥ BD.

【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-，t点 P 到 BC 的距离 =CD=3，

∴S△PBQ= BQ × 3=；

（ 3 ）解：如图2，过点 P 作 PM⊥ BC交 CB的延长线于点M ，

∴∠ PMC=∠ C=90 ，°

∵AD∥ BC，

∴∠ D=90 ，°△ OAP∽ △ OBQ，

，

∴四边形PMCD 是矩形，∴PM=CD=3，

CM=PD=2t，∵AD=6， BC=4，CQ=t，

∴P A=2t-6， BQ=4-t， MQ=CM-CQ=2t-t=t,

∴，解得：，

∴MQ=，

又∵ PM=3，∠ PMQ=90°，

∴tan ∠ BPQ=；

【分析】（ 1）点 P 作 PM⊥ BC，垂足为M，则四边形PDCM 为矩形，根据梯形的面积公式

就可以利用t 表示，就得到s 与 t 之间的函数关系式。

（2）以B、 P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分PQ=BQ、 BP=BQ、 PB=PQ 三种情况，在Rt△ PMQ 中根据勾股定理，就得到一个关于t 的方程，就可以求出t。

（3）根据相似三角形对应边比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值；

（4）首先假设存在，然后根据相似三角形对应边成比例求证。

2．如图，在△ ABC 中，已知AB=AC=10cm， BC=16cm， AD⊥ BC 于 D，点 E、 F 分别从 B、C 两点同时出发，其中点E沿 BC向终点 C 运动，速度为4cm/s ；点F 沿CA、 AB 向终点 B 运动，速度为5cm/s ，设它们运动的时间为x（ s）．

（1）求 x 为何值时，△ EFC和△ ACD相似；

x （2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5 ，若存在，求出

的值，若不存在，请说明理由；

（3）若以 EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x 的取值范围．

【答案】（1）解：如图 1 中，

点 F 在 AC 上，点 E 在 BD 上时，①当时，△CFE∽△ CDA，

∴=，

∴t=，

②当时，即=，

∴t=2 ，

当点 F 在 AB 上，点 E 在 CD上时，不存在△ EFC和△ ACD相似，

综上所述， t=s 或 2s 时，△ EFC和△ ACD相似．

（2）解：不存在．

理由：如图 2 中，当点 F 在 AC 上，点 E 在 BD 上时，作 FH⊥ BC于 H， EF交 AD 于 N．

∵C F=5t． BE=4t，

∴C H=CF?cosC=4t，

∴B E=CH，

∵AB=AC， AD⊥ BC，

∴B D=DC，

∴DE=DH，

∵DN∥ FH，

∴=1，

∴E N=FN，

∴S△END=S△FND，

∴△ EFD被 AD 分得的两部分面积相等，

同法可证当点 F 在 AB 上，点 E 在 CD 上时，△ EFD被 AD 分得的两部分面积相等，

∴不存在某一时刻，使得△ EFD被 AD 分得的两部分面积之比为3： 5．

（3）解：①如图 3 中，当以 EF 为直径的⊙ O 经过点 A 时，⊙ O 与线段 AC 有两个交点，连接AE，则∠ EAF=90°．

由=cosC= ，可得=，

∴t= ，

∴0≤t＜时，⊙ O 与线段 AC 只有一个交点．

②如图 4 中，当⊙ O 与 AC 相切时，满足条件，此时t=．

③如图 5 中，当⊙ O 与 AB 相切时， cosB=，即=，解得t=．

④如图 6 中，⊙O 经过点 A 时，连接AE，则∠EAF=90°．

由 cosB==，即=，t=，

∴＜ t ≤4时，⊙ O 与线段 AC 只有一个交点．

综上所述，当⊙ O 与线段 AC 只有一个交点时，0≤t＜或或或＜ t ≤4

【解析】【分析】（ 1）分类讨论：根据路程等于速度乘以时间，分别表示出BE,,CE,CF的

长，①当时，△ CFE∽ △ CDA，②当时△ CEF∽ △ CDA，根据比例式，分别列出方程，求解t 的值；当点 F 在 AB 上，点 E 在 CD 上时，不存在△EFC 和△ ACD 相似，综上所述，即可得出答案；

（2）不存在．理由：如图 2 中，当点 F在 AC上，点 E 在 BD 上时，作 FH⊥BC于 H，EF交AD 于 N．由题意知CF=5t． BE=4t，根据余弦函数的定义由CH=CF?cosC，表示出 CH 的长，从而得出BE=CH，根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC，根据等量减等量差相等得出

DE=DH，根据平行线分线段成比例定理得出=1 得出 EN=FN，根据三角形中线的性质得出 S△END△FND

，△ EFD被 AD 分得的两部分面积相等，同法可证当点F在 AB上，点=S

E 在 CD上时，△EFD被 AD 分得的两部分面积相等，故不存在某一时刻，使得△ EFD被 AD 分得的两部分面积之比为3：5；

（3）①如图 3 中，当以 EF 为直径的⊙ O 经过点 A 时，⊙O 与线段 AC 有两个交点，连接AE，则∠ EAF=90°．根据余弦函数的定义，由，结论列出方程，求解得出t 的值，故 0≤t时，⊙ O 与线段 AC 只有一个交点；②如图 4 中，当⊙O 与 AC 相切时，

满足条件，此时t=；③如图 5中，当⊙O与 AB 相切时，根据余弦函数的定义，由cosB=，列出方程，求解得出t 的值；④如图 6 中，⊙ O 经过点 A 时，连接 AE，则

∠EAF=90 ．°由 cosB=，列出方程求出 t 的值，故＜ t ≤4时，⊙ O 与线段 AC 只有一个交点；综上所述，得出答案。

3．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ ABC 是比例三角形，（ 2）如图1，在四边形ABCD 证：△ ABC是比例三角形；

AB=2， BC=3．请直接写出所有满足条件的AC 的长；

中， AD∥BC，对角线BD 平分∠ ABC，∠BAC=∠ ADC．求

（3）如图 2，在（ 2）的条件下，当∠ ADC=90°时，求的值。

【答案】（1）或或.

（2）证明：∵ AD∥ BC，

∴∠ ACB =∠ CAD，

又∵∠ BAC=∠ADC，

∴△ ABC∽ △ DCA，

∴=，

即 CA2=BC·AD，

又∵ AD∥ BC，

∴∠ ADB=∠ CBD，

∵BD 平分∠ ABC，

∴∠ ABD=∠ CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴CA2=BC·AB，

∴△ ABC是比例三角形.

（3）解：如图，过点 A 作 AH⊥ BD 于点 H,

∵A B=AD,

∴B H= BD,

∴AD∥ BC，∠ADC=90 ,°

∴∠ BHA=∠ BCD=90 ,°

又∵∠ ABH=∠ DBC,

∴△ ABH∽△ DBC,

∴=,

∴AB·BC=DBBH,·

∴AB·BC=BD2,

又∵ AB·BC=AC2,

∴BD2=AC2,

∴=.

【解析】【解答】解：（1）∵已知△ ABC是比例三角形，依题可得：

2

∵AB=2，

BC=3．∴4=3AC，

∴A C= ；

②CB 2=AB·AC，

∵AB=2，

BC=3．∴9=2AC，

∴A C= ；

③AC 2=BC·AB，

∵A B=2， BC=3．

∴AC2=2×3，

∴AC= .

综上所述： AC 的长为：或或.

【分析】（ 1）由比例三角形的定义分三种情况讨论：①当 AB2=BC·AC 时，② CB 2=AB·AC，

③AC 2=BC·AB，代入 CB、 AB 的数值分别求得 AC长 .

（ 2 ）根据平行线的性质和相似三角形的判定得△ABC∽△ DCA，由相似三角形的性质得

CA2=BC·AD；根据平行线的性质和角平分线的定义得∠ ADB=∠ ABD，根据等腰三角形等角对

等边得 AB=AD，将此代入上式即可得证 .

（3）如图，过点 A 作 AH⊥ BD 于点 H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH=BD,由相

似三角形的判定和性质得AB·BC=DB·BH,即 AB·BC= BD2,联立（1）中的结论即可得出答案.

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=（x-a）（ x-3）的图像与 x 轴交于点 A、 B（点 A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点 D，过其顶点 C 作直线 CP⊥ x 轴，垂足为点 P，连接AD、 BC.

（1）求点 A、 B、 D 的坐标；

（2）若△ AOD 与△BPC相似，求 a 的值；

（3）点 D、 O、C、 B 能否在同一个圆上，若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由.

【答案】（1）解：∵y=（ x-a）（ x-3）（ 0

∴A（a，0 ）， B（ 3,0），

当 x=0 时， y=3a，

∴D（ 0,3a） .

（2）解：∵ A（ a， 0）， B（ 3,0）， D（ 0,3a）.

∴对称轴 x=,AO=a， OD=3a，

当 x=时，y=-，

∴C（，-），

∴PB=3- = ①当△ AOD∽ △

，PC=

BPC时，

，

∴,

即，

解得： a=3（舍去）；

② △AOD∽ △ CPB，

∴,

即，

解得： a1 =3（舍）， a2=.

综上所述： a 的值为.

（3）解：能；连接BD，取 BD 中点 M ，

∵D、 B、 O 三点共圆，且 BD 为直径，圆心为 M（， a），若点 C

也在此圆上，

∴MC=MB，

∴，

化简得： a4-14a2+45=0，

∴（ a2-5）（ a2-9） =0,

∴a2=5 或 a2=9,

∴a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），

∵0

∴a=，

∴当 a=时，D、O、C、B四点共圆.

【解析】【分析】（ 1 ）根据二次函数的图像与x 轴相交，则y=0,得出A（ a， 0）， B （3,0），与 y 轴相交，则 x=0,得出 D（ 0,3a） .

（2）根据（ 1）中A、 B、 D 的坐标，得出抛物线对称轴x=,AO=a， OD=3a，代入求得顶点C（，-），从而得PB=3-=，PC=；再分情况

讨论：①当△ AOD∽ △ BPC 时，根据相似三角形性质得，解得：a= 3（舍去）；

② △AOD∽ △ CPB，根据相似三角形性质得

（ 3）能；连接BD，取BD 中点M ，根据已知得D、B、O ，解得：

在以BD

a1=3（舍），

为直径， M

a2=.

为圆心

（，a）的圆上，若点 C 也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于

a 的方程，解之即可得出答案.

5．在矩形 ABCD 中， AB＝ 6， AD＝8，点 E 是边 AD 上一点， EM⊥ EC交 AB 于点 M ，点 N 在射线 MB 上，且 AE 是 AM 和 AN 的比例中项 .

（1）如图 1，求证：∠ANE＝∠ DCE；

（2）如图 2，当点 N 在线段 MB 之间，联结 AC，且 AC与 NE 互相垂直，求MN 的长；（3）连接 AC，如果△ AEC与以点 E、 M、 N 为顶点所组成的三角形相似，求DE的长 .

【答案】（ 1）解：∵ AE 是 AM 和 AN 的比例中项

∴，

∵∠ A＝∠ A，

∴△ AME∽ △ AEN，

∴∠ AEM＝∠ ANE，

∵∠ D＝ 90 °，

∴∠ DCE＋∠DEC＝ 90 °，

∵EM⊥BC，

∴∠ AEM＋∠ DEC＝90 °，

∴∠ AEM＝∠ DCE，

∴∠ ANE＝∠ DCE

（2）解：∵AC 与NE 互相垂直，

∴∠ EAC＋∠ AEN＝90 °，

∵∠ BAC＝ 90 °，

∴∠ ANE＋∠ AEN＝90 °，

∴∠ ANE＝∠ EAC，

由（ 1）得∠ ANE＝∠ DCE，

∴∠ DCE＝∠EAC，

∴t an ∠ DCE＝ tan ∠DAC，

∴，

∵DC＝AB＝ 6，AD＝ 8，

∴DE＝，

∴AE＝ 8﹣＝，

由（ 1）得∠ AEM＝∠ DCE，

∴t an ∠ AEM＝ tan ∠ DCE，

∴，

∴AM＝，

∵，

∴AN＝，

∴MN ＝

（3）解：∵ ∠ NME＝∠ MAE＋∠ AEM，∠AEC＝∠ D＋∠ DCE，又∠ MAE＝∠ D＝90°，由（ 1）得∠ AEM＝∠ DCE，

∴∠ AEC＝∠ NME，

当△ AEC与以点 E、 M、 N 为顶点所组成的三角形相似时

① ∠ENM＝∠ EAC，如图 2，

∴∠ ANE＝∠ EAC，

由（ 2）得： DE＝；

② ∠ENM＝∠ ECA，

如图 3，

过点 E 作 EH⊥ AC，垂足为点H，

由（ 1）得∠ ANE＝∠ DCE，

∴∠ ECA＝∠ DCE，

∴HE＝ DE，

又 tan∠ HAE＝，

设 DE＝3x，则 HE＝ 3x， AH＝4x， AE＝ 5x，

又 AE＋ DE＝ AD，

∴5x＋ 3x＝8，

解得 x＝ 1，

∴D E＝3x＝ 3，

综上所述， DE 的长分别为或 3

【解析】【分析】（ 1 ）由比例中项知，据此可证△ AME∽ △ AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠ AEM＝∠ DCE 可得答案；（ 2）先证∠ ANE＝∠ EAC，结合∠ANE＝∠ DCE 得

∠DCE＝∠ EAC，从而知，据此求得AE＝ 8﹣＝，由（1）得∠ AEM＝∠ DCE，据

此知，求得 AM ＝

＝∠ ECA两种情况分别求解可得，由求得

.

MN＝；（ 3）分∠ ENM＝∠EAC 和∠ ENM

6．在△ ABC 中，∠ACB＝ 90°， AB＝25， BC＝ 15．

（1）如图 1，折叠△ ABC 使点 A 落在 AC 边上的点 D 处，折痕交AC、AB 分别于 Q、 H，若△ABC＝9S△DHQ ，求HQ的长．

S

（2）如图 2，折叠△ ABC 使点 A 落在 BC 边上的点 M 处，折痕交 AC、 AB 分别于 E、 F．若FM∥ AC，求证：四边形 AEMF 是菱形；

（3）在 (1)(2)的条件下，线段 CQ 上是否存在点P，使得△ CMP 和△ HQP 相似？若存在，求出 PQ 的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（ 1）解：如图 1 中，

在△ ABC中，∵∠ ACB＝ 90°， AB＝ 25， BC＝15，

∴AC＝＝20，设HQ＝x，

∵HQ∥BC ，

∴，

∴AQ＝x ，

∵S△ABC＝ 9S△DHQ，

∴× 20 ×＝ 915××x× x，

∴x＝ 5 或﹣ 5 （舍弃），

∴H Q＝5，

故答案为 5 ．

（2）解：如图 2 中，

由翻折不变性可知：AE＝ EM ， AF＝ FM ，∠ AFE＝∠ MFE ，

∵FM∥ AC ，

∴∠ AEF＝∠ MFE ，

∴∠ AEF＝∠ AFE ，

∴AE＝ AF ，

∴AE＝ AF＝ MF＝ ME ，

∴四边形 AEMF 是菱形．

（3）解：如图 3 中，

设 AE＝ EM＝ FM＝AF＝4m ，则 BM＝ 3m ， FB＝ 5m ，∴4m+5m＝ 25，

∴m＝，

∴AE＝ EM＝，

∴EC＝ 20﹣＝，

∴CM＝，

∵QG＝ 5， AQ＝，

∴QC＝，设PQ＝x，

当时，△ HQP∽ △ MCP ，

∴，

解得： x＝，

当＝时，△ HQP∽ △ PCM ，

∴

解得： x＝10 或，

经检验： x＝ 10 或是分式方程的解，且正确，

综上所，满足条件长QP的值为或10或．

【解析】【分析】（ 1）利用勾股定理求出AC，设 HQ=x，根据 S△ABC=9S△DHQ，构建方程

即可解决问题；（2）想办法证明四边相等即可解决问题；（3）设AE=EM=FM=AF=4m，则

BM=3m ， FB=5m，构建方程求出m 的值，分两种情形分别求解即可解决问题.

7．在直角坐标系中，过原点O 及点 A（8， 0）， C（ 0，6）作矩形OABC、连结OB，点 D 为OB的中点，点 E 是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥ DE，交OA于点F，连结

EF．已知点 E 从A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t 秒．

（1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长．

（2 ）如图2，当点 E 在线段AB 上移动的过程中，∠ DEF的大小是否发生变化？如果变

化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠ DEF的值．

（3）连结 AD，当 AD 将△DEF分成的两部分的面积之比为1： 2 时，求相应的t 的值．

【答案】（1）解：当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点，

∵A（8， 0）， C（ 0，6），

∴O A=8，OC=6，

∵点 D 为 OB 的中点，

∴DE∥ OA， DE=OA=4，

∵四边形 OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴DE⊥AB，

∴∠ OAB=∠ DEA=90 ，°

又∵ DF⊥ DE，

∴∠ EDF=90 ，°

∴四边形 DFAE是矩形，

∴D F=AE=3

（2）解：∠ DEF的大小不变；理由如下：

作 DM⊥OA 于 M，DN⊥AB 于 N，如图 2 所示：

∵四边形 OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴四边形 DMAN 是矩形，

∴∠ MDN=90 °，DM ∥AB， DN∥OA，

∴，，

∵点 D 为 OB 的中点，

∴M 、 N 分别是 OA、 AB 的中点，

∴DM= AB=3， DN=OA=4，

∵∠ EDF=90 ，°

∴∠ FDM=∠ EDN，

又∵∠ DMF=∠ DNE=90°，

∴△ DMF∽ △ DNE，

∴，

∵∠ EDF=90，°

∴t an ∠ DEF=

（3）解：作 DM⊥OA 于 M ，DN⊥AB 于 N，

若 AD 将△ DEF的面积分成 1： 2 的两部分，

设 AD 交 EF于点 G，则点 G 为 EF的三等分点；

①当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示， NE=3﹣ t，

由△ DMF∽ △ DNE 得： MF=（3﹣t），

∴A F=4+MF=﹣ t+ ，

∵点 G 为 EF 的三等分点，

∴G（设直线

），

AD 的解析式为y=kx+b，

把 A（ 8， 0）， D（ 4， 3）代入得：，解得：，

∴直线 AD 的解析式为 y=x+6，

把 G（② 当点

）代入得：

E 越过中点之后，如图

t=

4

；

所示， NE=t﹣ 3，

由△ DMF∽ △ DNE 得： MF=（t﹣3），

∴A F=4﹣MF=﹣ t+ ，

∵点 G 为 EF 的三等分点，

∴G（），

代入直线AD 的解析式y=﹣x+6 得： t=；

综上所述，当 AD 将△ DEF分成的两部分的面积之比为1： 2 时， t 的值为或

【解析】【分析】（ 1）由 t=3 可得此时 E 为 AB 的中点，进而可得DE 为△ ABO 的中位线，从而可得 DE∥ OA，DE 的长，再由矩形的性质和判断可得四边形DFAE是矩形，，进而求出 DF 的长；

（ 2）作 DM⊥OA 于 M ， DN⊥ AB 于 N，可证得四边形DMAN 是矩形，则 DM ∥ AB，DN∥OA，再由平行线分线段成比例和已知可求出DM和 DN 的长，由两角相等可证

△DMF∽△ DNE，可得 DF： DE=DM： DN，由三角函数可求出tan∠DEF 的值；

（3）作 DM⊥ OA 于 M， DN⊥ AB 于 N，若 AD 将△ DEF 的面积分成1：2的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；分点 E 到达中点之前、点 E 越过中点之后两种情

况来求 .都先求出直线 AD 的解析式，由△DMF∽△ DNE 求出用 t 的代数式表示的点 G 的坐标，代入直线 AD 的解析式可求出 t 的值 .

8．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E， F 为 CD 的延长线上一点，连接AF，且 FA2=FD?FC．

（1）求证： FA 为⊙O 的切线；

（2）若 AC=8， CE： ED=6： 5， AE： EB=2： 3，求 AB 的

值．【答案】（1）证明：连接 BD、 AD，如图，

∵

∴

∵∠ F=∠ F，

∴△ FAD∽ △ FCA.

∴∠ DAF=∠ C.

∵∠ DBA=∠ C，

∴∠ DBA=∠ DAF.

∵AB 是⊙ O 的直径，

∴

∴

∴

∴即 AF⊥AB.

∴FA为⊙O 的切线.

（2）解：设 CE=6x， AE=2y，则 ED=5x， EB=3y.

由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA.

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴F D=5x.

∴

∴

∵

∴

∵△ FAD∽ △ FCA.

∴

∵

∴

解得：

∴

∴AB 的值为 10

【解析】【分析】（ 1）连接BD、 AD，根据两边成比例且夹角相等可得△ FAD∽ △ FCA；由△FAD∽△ FCA 及同弧所对的圆周角相等可得∠ DBA=∠ DAF；再根据直径所对的圆周角是直

浙教版初中数学中考培优题(含答案)

1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

七年级数学培优讲义word版

目录 第01讲与有理数有关的概念（2--8） 第02讲有理数的加减法（3--15） 第03讲有理数的乘除、乘方（16--22） 第04讲整式（23--30） 第05讲整式的加减（31--36) 第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43) 第07讲一元一次方程解法(44--51) 第08讲实际问题与一元一次方程(52--59) , 第09讲多姿多彩的图形(60--68) 第10讲直线、射线、线段(69--76) 第11讲角(77--82) 第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90) 第13讲平行线的性质及其应用(91--100) 第14讲平面直角坐标系（一）(101--106) 第15讲平面直角坐标系（二）(107--112) 第16讲认识三角形(113--119) 第17讲认识多边形(120--126) 第18讲二元一次方程组及其解法(127--134) ( 第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145) 第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155) 第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164) 第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三 （

第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. ` 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） 《 A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间l 5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、 分数分类，有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7是分数0.033.3是无 限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】

中考数学 专题 四边形培优试题

四边形 1、如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，过C作AE的垂线交AE的延长线于点F，连结DE，过点D作DF的垂线交AF于点G。 （1）求证：AG=CF。 （2）连结BG，若BG⊥AE，取BC的中点H，试判断线段BD与线段EH的数量关系和位置关系，并给出证明。 2、（1）如图1，已知正方形ABCD，E是边CD上一点，延长CB到点F，使BF=DE，作∠EAF 的平分线交边BC于点G，求证：BG+DE=E G。 （2）如图2，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面积。

3、如图1，摆放矩形AB CD与矩形ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，猜想DM与ME的关系，并证明你的结论。 拓展与延伸： （1）若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM 和ME的关系为。 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立。

4、在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同速度在直线DC、CB上移动。 （1）如图1，当点E在线段CD上，点F在线段BC上时，连结AE和DF交于点P，请写出AE与DF的关系，并说明理由。 （2）如图2，点E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连结AE和DF，（1）中的结论还成立吗？真接写出结论，无需证明。 （3）如图3，当点E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连结AE与D F，（1）的结论还成立吗？请说明理由。 （4）如图4，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F 的移动，使得点P也随之移动，请画出点P的运动路径的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值。

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

人教版初三数学圆的测试题及答案

九年级圆测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，直角三角形A BC 中，∠C ＝90°，A C ＝2，A B ＝4，分别以A C 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为 （ ） A 2π－ 3 B 4π－4 3 C 5π－4 D 2π－23 2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 （ ） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．在Rt △A BC 中，已知A B ＝6，A C ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216° 7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根，则两圆的位置关系是 （ ） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8．四边形中，有内切圆的是 （ ） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么

学而思初一数学资料培优汇总精华

第一讲数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n（0,, n m n ≠互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那 么|||| a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=，求b a的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1， , a b a +的形式式，又可表示为0， b a，b 的形式，求 20062007 a b +。

中考数学培优专题复习相似练习题及答案

中考数学培优专题复习相似练习题及答案 一、相似 1．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O. （1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由; （2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长. 【答案】（1）解：AC是⊙O的切线 理由：， ， 作于， 是的角平分线， ， AC是⊙O的切线 （2）解：连接， 是⊙O的直径， ,即 . . 又 (同角) ， ∽ ,

（3）解：设 在和中，由三角函数定义有： 得： 解之得： 即的长为 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的. 2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC， 在中， ∵别是的中点， ∴EF∥AD， ∴ EF∥BC，

初三数学培优辅导资料(6)(最新整理)

初三数学培优辅导资料（六） 1．如图，等腰Rt △ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一条直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止。设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ，则y 与x 之间的函数的图象大致是( ) 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分 别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有（ ）A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0）∠AOC =60°， 垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4），则能大致反映S 与t 的函数的图象是（ ） A B C D 4、如图，抛物线与x 轴正半轴交于点A （3，0）2 32--=x ax y .以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ， 再以BD 为边向上作正方形BDEF ,则点E 的坐标是 .5．如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），…… ，P n （x n ，y n ）在函数y=x 9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，……，△P n A n －1A n …… 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，……，A n-1A n ， 都在x 轴上，则y 1+y 2 = ．y 1 + y 2 + … + y n = ． 6、如图，将二次函数y=x2﹣3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持第15 题

初三数学圆测试题和答案及解析

九年级上册圆单元测试 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分) 1．下列命题：①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2．同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆 的位置关系是( ) A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( ) A.35° B.70° C.110° D.140° 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围( ) A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3＜OM＜5 D.4＜OM＜5 5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于( ) A.42 ° B.28° C.21° D.20° 6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是( ) A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BD，则图

中阴 影部分的面积为( ) A. B. C. D. 8．已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R=2，⊙O2的半径r=1，若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相 切，则满足条件的⊙C有( ) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 9．设⊙O的半径为2，圆心O到直线的距离OP=m，且m使得关于x的方程有实数 根，则直线与⊙O的位置关系为( ) A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 10．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小4分，共计20分) 11．(山西)某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包 装侧面，则需________________的包装膜(不计接缝，取3). 12．(山西)如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经被攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅

中考数学总复习 培优专题精选经典题

专项训练一 一元二次方程 一、选择题 1．(2016·新疆中考)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( ) A ．(x －3)2＝14 B ．(x －3)2＝4 C ．(x ＋3)2＝14 ．(x ＋3)2＝4 2．(2016·攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋3 2ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4 3．(2016·凉山州中考)已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( ) A ．－43 B.83 C ．－83 D.43 4．(2016·随州中考)随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次， 2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是( ) A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20 C ．20(1＋x )2＝28.8 D ．20＋20(1＋x )＋20(1＋x )2＝28.8 5．(2016·潍坊中考)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 6．已知三角形两边的长是3和4，第三边长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( ) A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对 7．(2016·深圳中考)给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n － 1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的解是( ) A ．x 1＝4，x 2＝－4 B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝0 D ．x 1＝23，x 2＝－2 3 8．★关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2n ＝0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2＋2ny ＋2m ＝0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m －1)2＋(n －1)2≥2；③－1≤2m －2n ≤1，其中正确结论的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 9．(2016·菏泽中考)已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________． 10．方程(2x ＋1)(x －1)＝8(9－x )－1的根为____________． 11．(2016·聊城中考)如果关于x 的一元二次方程kx 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是______________． 12．(2016·黄石中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________． 13．关于x 的反比例函数y ＝ a ＋4 x 的图象如图所示，A 、P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B .若△P AB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋1 4 ＝0的根的情况是______________． 14．一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这

初三数学中考培优试题

初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

人教中考数学 圆的综合综合试题附答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， OB OC 5∴==， AB m 5==， OB OC AB ∴==， AOB ∴是等边三角形， AOB 60∠∴=，

1 ACB AOB 302 ∠∠∴==， 故答案为30； ()2①如图2，连接AO 并延长交 O 于D ，连接BD ， AD 为O 的直径， AD 10∴=，ABD 90∠=， 在Rt ABD 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3 tan ADB BD 4 ∠∴= =， C ADB ∠∠=， C ∠∴的正切值为3 4 ； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ， AC BC =，AO BO =， CE ∴为AB 的垂直平分线， AE BE 3∴==， 在Rt AEO 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=， CE OE OC 9∴=+=， ABC 11 S AB CE 692722 ∴=?=??=； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，

2020年中考数学培优 专题讲义 第17讲 二次函数与面积

第17讲 二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】 例题1 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝1 2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题： 如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； ②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． C B 1把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1， 所以1y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3， 设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b 由1y ＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3） 把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中 解得：k ＝－1，b ＝3 所以2y ＝－x ＋3； （2）①因为C 点坐标为（1,4） 所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2 所以CD ＝4－2＝2 CAB S △＝ 1 2 ×3×2＝3（平方单位）；

②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x 2＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x 2＋3x 由PAB S △＝CAB S △ 得： 1 2 ×3×（－x 2＋3x ）＝3 化简得：x 2－3x ＋2＝0， 解得：1x ＝1，2x ＝2， 将1x ＝1代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（1，4）． 将2x ＝2代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（2，3）． ∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）． 模型讲解 竖切 面积公式均为1 = 2 S dh C B h C B h C B 横切 面积公式均为1 = 2 S dh D 【总结】 这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得. 例题2 已知一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P （－1，－4）.

初一数学资料培优汇总(精华)

第一讲 数系扩张--有理数(一） 一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ) A ．相反数 B.倒数 Ｃ.绝对值 D.平方 ３、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D ．6 ６、 有３个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ ７、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示 为０，b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:１+２-3－4+５+6-７－８+…+2005＋２00６ 2、计算：1×2+2×3+３×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - ４、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc

中考数学圆试题及答案

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 B ． C ． 一．选择 1. （2009 年泸州）已知⊙O 1 与⊙O 2 的半径分别为 5cm 和 3cm ，圆心距 020=7cm ，则两圆的位置关系为 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 2. (2009 年滨州)已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ） A ． 0 < d < 1 B ． d > 5 C ． 0 < d < 1或 d > 5 D ． 0 ≤ d < 1 或 d > 5 3.（2009 年台州市）大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含 4.（2009 桂林百色）右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内切 D ．内含 5．若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ，圆心距为 6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6（2009 年衢州）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ．4 D ．3 7.（2009 年舟山）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ．4 D ．3 8. .（2009 年益阳市）已知⊙O 1 和⊙O 2 的半径分别为 1 和 4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距 O 1O 2 的 取值范围在数轴上表示正确的是 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A ． D ． 9. （2009 年宜宾）若两圆的半径分别是 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm ，则这两个圆的位置关系是（ ） A. 内切 B.相交 C.外切 D. 外离 10.. （2009 肇庆）10．若⊙O 与 ⊙O 相切，且 O O = 5 ，⊙O 的半径 r = 2 ，则⊙O 的半径 r 是（ ） 1 2 1 2 1 1 2 2 A ． 3 B ． 5 C ． 7 D ． 3 或 7 11. ．(2009 年湖州)已知⊙O 与 ⊙O 外切，它们的半径分别为 2 和 3，则圆心距 O O 的长是（ ） 1 2 1 2 A ． O O =1 B ． O O ＝5 C ．１＜ O O ＜５ D ． O O ＞５ 1 2 1 2 1 2 1 2

初一数学资料培优汇总(精华)

第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ，b 的形式，求20062007a b +。

中考数学总复习培优专题精选经典题

初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图）

初三数学培优辅导资料(4)(最新整理)

B A 初三数学辅导资料（4） 1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足 =，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ， 若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG=2；③S △DEF=4．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 2、如图，扇形DOE 的半径为3 的菱形OABC 的顶点A ， C ，B 分别在O D ，O E ，弧ED 上，若把扇形DOE 围成一个圆锥， 则此圆锥的高为（ ）A ． B. C D ． 1 23、如图，AB 是圆O 的直径，AC 交圆O 于E 点，BC 交圆O 于D 点，CD =BD ,∠C =70°,现给出以下四个结论：①∠A =70°,②AC =AB . ③AE =BE , ④,其中正确的结论的序号是（ ） 22CE AB BD ?=A.　①② B. ②③ C. ②④ D.　③④4．如图，⊙O 过四边形ABCD 的四个顶点，已知∠ABC ＝90o， BD 平分∠ABC ，则：①AD ＝CD ，BD ＝AB ＋CB ， ③点O 是∠ADC 平分线上的点，④， 2222AB BC CD +=上述结论中正确的个数为（ ）A ．4 个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5.如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不 与A 、B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A 、B 的滑动角. 若⊙O 半径为 1，，则∠APB 的取值范围为 32≤ ≤AB （第10题图） D （第10题）

“” “” At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!