一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗

一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗

湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中李敬峰谷兴武在学习《平行四边形的判定》时，学生遇到这样一道判断题：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。学生判断这个命题时，通过证明方法证不出来，画图总是受平行四边形思维的制约，请教老师，但是有的年青教师也不能画出准确的反例图形，所以笔者就这个问题，进行了深入的研究。现归纳几种方法如下：

一、拼图法

笔者研究这个问题时也是从证明开始入手的。

如图1，四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，求：四边形ABCD是不是平行四边形？

分析: 经验告诉我们，遇到四边形问题往往要转化成三角形问题来解决。所以很自然想到连接AC，分四边形ABCD为两个三角形，如果能够证明△ABC≌△CDA，便可证明四边形ABCD 是平行四边形。可是能够为△ABC和△CDA找到的三个条件：AB=CD，∠B=∠D，AC公用，满足的却是?两边及其中一边的对角对应相等?的关系（注:为了简洁，笔者下文将两个三角形符合这样的条件简称?SSA?），不能证明△ABC≌△CDA，所以无法证明四边形ABCD是平行四边形。但是我们知道判断两个直角三角形全等的方法?HL?满足的是?SSA?条件，所以

当∠B=∠D=时，△ABC≌△CDA，易证四边形ABCD是平行四边形（另外∠B=∠D＞时

也可证△ABC≌△CDA，这个留给读者验证）。可见，一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。

在上述证明过程中，笔者联想到人教版八年级(上)数学课本中证明?符合‘SSA’的两个三角形不一定全等?的基本图形(如图2)，图2中△ABC与△ABD满足?SSA?的条件。笔者考虑到：在向学生讲述文章开头一段的问题时，直接证明有难度，何不把图2中的△ABC与△ABD剪下来，拼接出一个反例图形。方法如下：可以采用把一张白纸对折成双层，在上层纸的上面画出如图2的基本图形，并且标上相应的字母，注意画图时尽可能把锐角∠B画大点( ∠B＞∠CAD，这样后面更容易拼接成一个凸四边形)，然后用剪刀沿△ABD的三边的轮廓剪下，得到两个全等的三角形，把下层的三角形每个角写上与上层的△ABD相对应的字母

(与A点对应)、(与B点对应)、D，得到；再把上层的三角形沿线段AC剪开，得到△ABC；最后让学生把各自作得与△ABC放在一张深色的纸板上拼接成一个符

合要求的反例四边形，并且用透明胶带把这个四边形固定在深色纸板上，便于与同学之间互相交流或上讲台展示，教师还可以选部分同学的作品用小磁铁固定在磁性黑板上展示。通过动手活动，学生积极性高，教学效果明显。

二、间接作图法

思路：借助于某种具有两个等角和两条等边的图形，使其发生某种变换，构照出?仅有一对对角相等及一对对边相等的四边形?，从而作出反例图形。学生很容易想到等腰三角形、平行四边形等图形能够提供一对等角和一对等边。请看下面笔者总结的较为经典的几种方法：

（一）利用等腰三角形构造（如图3）

作法：①如图3，任意作一等腰△ABC，AB=AC（要求底角∠B、∠C尽可能画大一些，这样后面更容易得到一个凸四边形的反例图形）

②在底边BC上任取一点D，使得BD≠DC（不要取BC的中点，原因留给读者思考）

③由点D作∠2=∠1（如图3），取DE=AC，连接AE。

∵易证△ADC≌△DAE ∴∠E=∠C=∠B，AE=DC 又∵DE=AC=AB，AE=DC≠BD

∴四边形ABDE即为所求的反例图形。显然，四边形ABDE不是平行四边形

另外，也可以沿着AD把等腰△ABC剪开，再把剪下的两个△ABD和△ADC拼成一个符合

要求的反例四边形。请读者自己动手试试呀（图略）.

再则，作△DAE的方法也多种多样，可作AD的垂直平分线，再作C点关于AD的垂直平分线的对称点E（图略）；或者取AD的垂直平分线交AC于F（图略）,连结DF并延长到E,使EF=CF,则AC=DE；或者分别以A、D为圆心，线段CD、AC为半径画弧（图略），两弧交于点E，连接AE、DE。不管哪种方法，其目的都是想得到与△ADC具有公共边AD的全等△DAE （如图3）。

（二）利用平行四边形构照

首先声明，由于方法多种多样，笔者下面即将介绍的方法（只包括图4、图5、图6），笔者意向让∠B作为反例图形中一对相等的对角之一，让AB边作为一对相等的对边之一。

1.旋转三角形法

作法：①如图4、图5,作ABCD，并且连接AC。【注意：当△ABC为锐角三角形时，让∠ACB为唯一的最大锐角，尽可能把∠ACB画得接近，这样后面更容易得到一个凸四边形的反例图形（如图4）；当△ABC为钝角三角形时，∠ACB为钝角且不要画的度数太大，尽可能地接近，同样也是为了让后面得到的反例图形是一个凸四边形（如图5）。】

②将△ACD绕着点A顺时针（如图4）或逆时针旋转（如图5），可以使C点再次落在BC （或BC的延长线）上，记为点，此时点D旋转到处（如图4、图5）。此步中的旋转三角形是启发于图2中摆动短木棒而想到的.

显然，△ADC≌，这样=CD=AB，∠=∠D=∠B，又因≠BC=AD=

所以四边形显然不是平行四边形，即为所求的反例图形。

2.剪拼法

另外，对于图4，由于∠ACB为锐角，以A点为圆心，AC的长为半径画弧，必然与BC

相交于（如图4）,显然=AC，为等腰三角形，将等腰三角形剪下，再将和△ADC拼起来（与C重合，记为点），拼成一个四边形（图略），此时四边形即为所求反例图形。

3.利用圆周角和等弦知识的方法

再则，也可利用圆周角知识作图，如图6所示，作ABCD，连接AC（要求△ABC与?旋转三角形法?的作法①中的要求相同），再作△ADC的外接圆⊙O，再以C为圆心， CD的长为半径画弧，与⊙O相交于点E，则四边形ABCE即为所求反例图形。可以看出，利用此法，图4、图5还有一种作图方法，且都满足∠B作为反例图形中的一对相等的对角之一，AB边作为一对相等的对边之一。这个留给读者朋友验证。

4.作全等三角形法

作法1：首先作一个锐角△ABC（如图7，可以把锐角△ABC看成是某平行四边形被对角线分成的两个三角形之一，为了便于理解，读者可以把平行四边形的另一半三角形补上，使

∠ABC是一个接近直角的锐角，即让∠ABC略小于，这样可以等会儿得到反例图形是一

个凸四边形），然后以点A为圆心，线段AB长为半径画弧，与BC相交于F点（由于∠ABC 是锐角，所以这种作法总是可以实现的）。好了，现在我们再作△BAE≌△AFC，使BE=AC，AE=CF（如图7），那么在四边形AEBC中，易证∠ACB＝∠E，AE＜BC，又因BE＝AC，所以它满足一组对角相等一组对边相等，但是，它显然不是平行四边形。

作法2：或者作△FAE≌△ABC（如图8），使EF=AC，AE=BC，显然四边形AEFC也是符合条件的反例图形，且它也不是平行四边形。

其实图7中的四边形AEBC与图8中的四边形AEFC是全等图形，只是作图方法稍微有点区别而已。事实上，我们可以把它们理解成是由两个符合?SSA?条件且不全等的三角形按照同样的方式拼接而成的全等四边形，只是拼接后的四边形的摆放位臵不同。而且看出，拼接它们的两个符合?SSA?条件三角形都有一个是原△ABC或与原△ABC全等的三角形。

图7、图8中，如果我们以AB为平行四边形的一条对角线把平行四边形补画完整（图略，请读者自己动手），那么读者可以验证一下，图7的画法相当于?利用圆周角和等弦知识的方法?画的一致，图8的画法相当于利用上面介绍的?旋转三角形法?画的一致。

图7、图8中，笔者一再强调∠ABC是锐角△ABC的一个接近直角的锐角，即尽可能略小于，其目的想让∠ABC成为锐角△ABC最大的锐角，而另外两个锐角∠BAC和∠ACB要较小些。从而（如图8）造成∠AFE＜∠AFB，使四边形AEFC的内角∠EFC＜，那么按图8

的方法就能做出一个凸四边形的反例图形。由于图7、图8作出的反例图形是全等的，所以图8的方法能画，图7的方法也一定能画。决不会出现图7的方法画出来的是凸四边形，图8的方法画出来的是凹四边形的情况。

图7、图8中，都是以∠ABC为锐角△ABC最大的锐角，画出的反例四边形都是以最大的锐角∠ABC所对的最长边AC为一对相等的对边之一，以较小的锐角∠ACB为一对相等的对角之一。现在我们把图7、图8中锐角△ABC变换位臵思考，还是∠ABC为锐角△ABC最大的锐角，能不能按图7、图8介绍的方法画出2个以最大的锐角∠ABC所对的最长边AC为一对相等的对边之一，而以另一个较小的锐角∠BAC为一对相等的对角之一的反例凸四边形呢(图略，留给读者验证)？答案是肯定的。这样，仅含有一个最大锐角的锐角三角形可以按上述介绍的?作全等三角形法?能画出4个反例凸四边形。当两个较小的锐角相等时，4个反例凸四边形全等；当两个较小的锐角不相等时，4个反例凸四边形分成两对不同的分别全等的凸四边形。

当△ABC为钝角三角形时，且令∠ACB＞（如图5，在此借用一下图5），设∠ACB=α，∠BAC=β，∠ABC=γ（如图9），为了能使反例凸四边形的内角＜，

先求出==，又因∠CAD=∠ACB=α，所以易求得钝角α满足α＜

时，可以按照图7、图8方法作2个，以钝角∠ACB所对的最长边AB为一对相等的对边之一，以锐角γ（即∠ABC）为一对相等的对角之一的全等的反例凸四边形。变换位臵

思考，如果钝角α满足α＜时，可以按前面介绍的?利用圆周角和等弦知识的方

法?和?旋转三角形法?分别作出一个以钝角∠ACB所对的最长边AB为一对相等的对边之一，以锐角β（即∠BAC）为一对相等的对角之一且全等的反例凸四边形。可见，当锐角β=γ（即锐角∠BAC=∠ABC），这4个反例凸四边形全等，但位臵不同。

【结论】那么，到底什么样的平行四边形能构造?一组对边相等，一组对角相等的凸四边形不是平行四边形?的例子呢？由于平行四边形被一条对角线分成两个全等的三角形，而从上面的研究发现，不管哪一种方法得到反例四边形都是由两个符合?SSA?条件且不全等的三角形拼接而成的，并且这两个不全等的三角形中总有一个是平行四边形的一条对角线分成的三角形或者是与其全等的三角形，所以我们可以把平行四边形问题转化为三角形问题来理解：平行四边形的两邻边与一条对角线构成什么样的三角形能构造?一组对边相等，一组对角相等的凸四边形不是平行四边形?的例子呢？

如图10、图11，我们令ABCD的两邻边AB、BC与对角线AC构成△ABC中∠ACB=α，∠BAC=β，∠ABC=γ，那么△ABC必须满足：

①△ABC为锐角三角形时，有且只有一个最大的锐角。而且对于图10而言，α、β、γ都有可能是最大锐角，最大锐角一旦确定，当另外两个较小的锐角不相等时，共可作出2对以最大锐角所对边为一对相等的对边之一，分别以另外两个较小的锐角为一对相等的对角之一的反例凸四边形，而且每一对的两个反例凸四边形全等；当两个较小的锐角相等时，这4个反例凸四边形全等.

②△ABC为钝角三角形时，如图11，令α是钝角（α也是最大角，提醒读者注意，β、γ都

有可能成为钝角），则β、γ为较小的锐角，当α＜或α＜这两条件不能同时成立时，能作出一对以钝角所对边为一对相等的对边之一，以较小的锐角γ或β为一

对相等的对角之一的反例凸四边形；当α＜或α＜这两条件同时成立且β≠γ时，一共能作2对反例凸四边形，而且每一对的两个反例凸四边形全等；当α＜

或α＜这两条件同时成立且β=γ时，能作4个全等的反例凸四边形。

综合上面的结论①②考虑，图10中，有一个内角是锐角的ABCD被对角线AC分成一对全等的锐角三角形，被对角线BD分成一对全等的钝角三角形，显然△ABC与△DBC不全等，如果△ABC与△DBC分别符合上面的结论①、②，那么ABCD通过上述介绍的方法有可能构造出6个或8个符合条件的反例四边形；同样，图11中，ABCD被对角线AC、BD分别分成一对全等的钝角三角形，显然钝角△ABC与钝角△DBC也不全等，如果△ABC与△DBC同时都符合上面的结论②，那么ABCD通过上述介绍的方法有可能构造出4个或6个或8个符合条件的反例四边形。这个问题留给读者验证。限于篇幅，笔者至此就不一一赘述了。

三、直接作图法

已知:线段a，锐角α（笔者规定α＜）

求作凸四边形，使该四边形满足一组对边相等且为a,一组对角相等为α的条件。

作法:①作∠MBN=α（如图12）；

②在射线BM上截取BA=a；

③过点A作AO⊥BN，垂足为O；

④在射线BN上，O点的两旁分别截取OC=,且使C、两点靠近O点；

⑤分别以A，C为圆心，线段，AB为半径画弧，两弧交于点D；（就图12而言，这一步还有一种作法，请读者基于对前面介绍的间接作图法的理解再思考,动动手）

⑥连接线段AD，CD.

∴四边形ABCD即为所求的符合要求的四边形。由于OC=是任意截取的，所以作出来的四边形ABCD的形状并不是唯一的。

四边形知识点归纳及练习

B D 四边形知识点归纳及练习 1、平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。 菱形的性质：菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.四条边相等的四边形是菱形。S 菱形=1/2×ab（a 、b 为两条对角线） 4、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。 正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。2.有一个角是直角的菱形是正方形。 5、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 解梯形问题常用的辅助线：如图

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式 解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理 ,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边 .勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5. 他们分别是 3,4 和 5 的倍数 .常见的勾股弦数有： 3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13;10,24,26; 等等 . 解斜三角形： 在三角形ABC a/SinA=b/SinB=中 , 角A,B,C c/SinC=2R 的对边分别为a,b,c. 则有 (R 为三角形外接圆半径 ) （ 1 ）正弦定理 （ 2 ）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况（.3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时有一解. 两边和夹角(如 a、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边 所对的角 ,再由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边 (如 a、 b、 c) 余弦定理由余弦定理求出角 A 、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解 .

两边和其中一边的对角( 如 a 、 b 、 A)正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解. 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 内容：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平 方.几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,则 AB2+BC 2=AC 2 勾股定理的逆定理也 成立 ,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方 ,则这个三角形是直角三角形几 何语言：若△ABC 满足 ,则∠ABC=90 °. [3] 射影定理（欧几里得定理） 内容：在任何一个直角三角形中 ,作出斜边上的高 ,则斜边上的高的平方等于高所 在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积 .几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,作 BD ⊥AC,则 BD2 ＝AD ×DC 射影定理的拓展：若△ ABC满足∠ABC=90°,作BD ⊥ AC,(1)AB 2 =BD ·BC(2)AC 2 ;=CD ·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理 内容：在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与 三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC 中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三 角形 /abc结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是 外接圆半径） 余弦定理 内容：在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边 的 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中,a2=b 2+c 2-2bc×cosA此定 理可以变形为： cosA= （ b 2+c 2-a 2 ）÷2bc

平行四边形性质和判定习题(答案详细)

平行四边形性质和判定习题 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE， CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足 分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB， DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系， 并加以证明． 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 求证：AE与DF互相平分． 12．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四 边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

四边形判定定理以及性质定理

四边形判定定理以及性质定理 一、平行四边形： 判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 性质： （1）平行四边形两组对边分别平行。 （2）平行四边形的对边相等。 （3）平行四边形的对角相等。 （4）平行四边形的两条对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 二、矩形： 判定： （1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。 （2）有三个内角是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等平行四边形是矩形。 性质： （1）矩形的四个角都是直角。 （2）矩形的两条对角线相等。 三、菱形： 判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （2）四条边都相等的四边形是菱形。 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 性质： （1）菱形的四条边都相等。 （2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 四、正方形： 判定： （1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个内角是直角的菱形是正方形。 性质： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 （2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角。 五、梯形： 判定： （1）两腰相等的梯形是等腰梯形。

（2）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。（3）对角线相等的四边形是等腰梯形。 性质： （1）等腰梯形在同一底边上的两个内角相等。 （2）等腰梯形的两条对角线相等。

(完整版)平行四边形的性质和判定练习题

初2017级寒假培训（八）A 层----平行四边形的性质与判定 班级： 姓名： 1.定义：两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD 记作：□ 几何语言：, 2.性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分； 几何语言：∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥ BC, _________ （对边平行）；AD=BC ,__________（对边相等）； ，_________（对角相等）；…（邻角互补）； ， （对角线互相平分）。 平行四边形的判定： 判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定4.对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 几何语言 判定1., 判定2.， 判定3., 判定4. 判定5., 夯实基础： 1.如图，将□的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=________． E 2.如图，在□中，，则＝ °． 3.在平行四边形ABCD 中，cm AB 6=，cm BC 8=，则平行四边形ABCD 的周长 为 cm ． 4.如图，在□中，已知， 平分交边于点，ABCD BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAC ∠=∠ο180=∠+∠ABC BAC OC OA =BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BC AD DC AB ==,是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAD ADC ABC ∠=∠∠=∠,Θ是平行四边形四边形ABCD ∴,,DO BO CO AO ==Θ是平行四边形四边形ABCD ∴CD AB CD AB =,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴ABCD ABCD ο120=∠A D ∠ABCD ,6,8CM AB CM AD ==DE ADC ∠BC E A B C D O A B C D 4 E A B C D 2 1 A B C D

三角形边长的计算公式

解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b 分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形： 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况.（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解. 两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解. 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.

平行四边形性质及判定练习题

A B E C F D O B D C E D C O F B A 平行四边形性质及判定练习题 一、耐心填一填！ 1、ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝＿＿。 2、ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝＿＿cm ，AD ＝＿＿cm 。 3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是＿＿。 4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为＿＿。 5、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ， ∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝＿＿＿，ABCD 的周长为＿＿。 6．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8， 则两短边间的距离为_____________． 7、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______, ∠D=__________,∠A=_________,∠C=__________. 8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 、BC= 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有___ 对。 二、精心选一选! 11、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 12、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取 （ ） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 14、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ ） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 16、如图所示，在ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形， 还应满足（ ） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 18、根据下列条件，得不到平行四边形的是（ ） A 、 AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 19、若ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（ ） A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm

特殊四边形的性质和判定表

①

（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形。等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）.等腰梯形具有稳定性. 性质：①两腰相等；②同一底上的两角相等；③对角线相等. 判定定理：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形； 梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h÷2；变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：ha=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a. 另一计算梯形的面积公式：中位线×高，用字母表示：L·h 对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2 ⑴四边形中基本图形 （2）梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)

做证明题的一些思想方法： ⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。 ⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。 ⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。 ⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 ⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法； ③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。 ⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。 【经典题目】 1.从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH. 2.平行四边形ABCD的对角线交于O，作OE⊥BC，AB=37cm, BE=26cm, EC=14cm,求：平行四边形ABCD的面积. 第1题图第2题图 3.如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x． （1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由； （2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2 ？ 4. 在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高，∠A的平分线AE交CD于F，交BC于E，EG⊥AB于G，求证：CFGE是菱形。 第3题图第4题图 5.已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1) 求证：△ADE≌△CBF；(2) 若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论. 6.矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，求△BEF的面积。 7.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4 cm，求（1）AB，（2）BC的长？ 2，AE⊥BD于点E，求OE的长？ 8.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=3

三维计算三角形边角

import java.math.BigDecimal; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.List; class XYZ{ private String X; private String Y; private String Z; public String getX() { return X; } public void setX(String x) { X = x; } public String getY() { return Y; } public void setY(String y) { Y = y; } public String getZ() { return Z; } public void setZ(String z) { Z = z; } } public class Calum { @SuppressWarnings("unchecked") public List getData(String[] XYZ){ //坐标格式为x,y,z字符串如1,2,3 List list=new ArrayList(); List line=new ArrayList();//储存边长

for(int i=0;i1){ for(int i=0;i

《一组对边平行且相等的四边形是平行四边形》教学设计2

18.1.2 平行四边形的判定（二） 教学目标： 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．有效运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题． 3．使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法，并通过定理，习题的证明提高学生的逻辑思维能力； 4．进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。 教学重点： 平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法． 教学难点： 几何推理方法的应用，平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 教学过程： 一、复习旧知，引入新课 1、已经学习平行四边形的判定方法。 2、思考问题，引入新课 我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形，请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？有几种情形？（以小组讨论的形式探讨这一问题） 二、猜想证明，探究新知 问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是请给出证明，如果不是请举出反例说明. （小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形. ） 问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 如图1 ，这个四边形EFGH 满足一组对边EF=HG 相等的条件， 但它不是平行四边形. 问题3： 命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 请你猜想,这个命题成立吗？ 【探究】 取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？ 结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 几何语言：因为A B ∥CD,且AB=CD ， 所以 四边形ABCD 是平行四边形 说明：除了用两组对边相等证明以外，还有其他的方法证明吗？让学生感受各种证明平行四边形的方法的寻找，开拓学生的思路 A B D C

平行四边形的对角相等、对边相等

1 主备人：覃海华 教研组审核：_______审核人: _______ ____班_______组 姓名______ 宜州市洛东中学八年级下册数学科导学案 课题：18.1.1 平行四边形的性质(一) 课型：新授课 学习目标：：1、理解并掌握平行四边形的定义及其性质定理1和性质定理2。 2、理解两条平行线的距离的概念. 预习导学 （一）复习引入 1.观察下图，想一想它们是什么几何图形？ 2．你能总结出平行四边形的定义吗？， (1)定义：两组对边分别______的四边形叫做平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如右上图，平行四边形ABCD 记作“ __________”，读作“__________________”。 （二）合作探究 1.量一量右上图的平行四边形ABCD 发现：AB_____CD, BC_____AD ； ∠A_____∠C, ∠B_____∠D 2.猜一猜：（平行四边形的性质） （1）边：_______________________。几何语言表示：∵□ABCD ，∴ （2）角：_______________________。几何语言表示：∵□ABCD ，∴ 3. 如图，l 1∥l 2,l 3∥l 4，你从中发现的平行四边形 为 ，有哪几组线段相等？ 推论：夹在两条平行线间的 5.两条平行线之间的距离: 注意：①两相交直线无距离可言； ②与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系。 （三）运用平行四边形的性质 （例1）如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC,CF ⊥AD,垂足分别为E,F.求证AE=CF. E l 1 l 2 l 3 l 4 A B C D

一组对边是平行四边形平行且相等的四边形

平行四边形的判定（1）教学设计 教学目标： 1、经历平行四边形判定定理的探究过程，在活动中发展学生合情推理的能力。 2、在探索平行四边形判定定理的基础上，会证明平行四边形的判定定理，在证明的过程中，进一步理解证明的意义，提高学生推理证明的能力。 3、掌握平行四边形的判定定理，并能熟练运用。 教学重点： 熟练运用平行四边形的判定进行证明。 教学难点： 引导学生进行题目的分析，培养学生思维能力。 教学准备：多媒体、三角板、6个信封、冰糖雪梨瓶 教学过程： 活动一：课堂测验(幻灯片2、3)（7分钟） 教师故意说因为教师的紧张，不进行新课的教学，而改为数学测验，让学生通过测验完成知识准备。教师通过观察，了解学生准备情况。并给每组发红包一个，加以奖励，同时为活动三做准备。 活动二：完成目标(幻灯片4、5、6)（5分钟） 教师通过多媒体让学生掌握平行四边形定义法的判定，然后通过学生预习123页探究，得出猜想，再由测验最后一题加以延伸证明，得出平行四边形的判定1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。完成本节知识目标。 活动三：游戏类比（信封、冰糖雪梨瓶）（2分钟） 通过冰糖雪梨红包组合的游戏，使学生认识到要想得到红包，需两个不可缺少的条件共同组合才行，类比到平行四边形的判定也需要两个条件，从而帮助学生理解平行四边形的判定。同时让枯燥的数学课变得有趣。 活动四：能力提升（幻灯片7）（7分钟） 对于例题的讲解，教师应把重点放在题目的分析上，引导和带领学生一步步进行分析，培养学生分析问题的能力，同时要培养学生规范书写证明步骤的能力。 活动五：学生时间（幻灯片8、9）（15分钟）

通过课堂练习的训练，让学生唱主角，完成题目的分析，让小组长带领组员完成书写及讲解。增加学生的成就感，同时把学生的能力进行再挖掘，提升。教师根据学生情况适时参与。本环节也是本节课的重点和亮点所在。教师一定要善于引导，否则会产生课堂沉闷的现象。 活动六：课堂检测（幻灯片10）（6分钟） 一道检测题，检测学生知识掌握情况，同时教师的再次讲解也为后进生在提供一次学习的机会。 活动七：课堂小结（幻灯片11）（2分钟） 总结一堂课学生要掌握的知识内容，使学生分析问题的能力和规范书写步骤的能力得到提高。 活动八：引起下节（幻灯片12）（1分钟） 一堂课要完成学习目标，同时还要为下一节课留下一点念想，才能让学生自觉进行预习学习。

一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形的反例.doc

页脚内容2 一组对边相等，一组对角相等的四边形一定是平行四边形吗？若是请加以证明，若不是请举出反例。 解：不一定是平行四边形 反例： ①做∠B ，在∠B 的一边上取点A ，以A 为圆心，任意长度为半径（要能与∠B 的另一边相交）画弧，交∠B 另一边于E 、C ，以C 为圆心，以AB 的长为半径画弧，以A 为圆心，以BE 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接AD 、CD ，则四边形ABCD 就满足 ②作Rt △ABE ，其中∠B=90°(不要做等腰直角三角形)，以E 为圆心，以BE 的长度为半径画弧，交AE 于 D ，再以D 为圆心，以AB 的长度为半径画弧，交B E 于C ，连接DC ，则四边形ABCD 中AB=CD ，∠A=∠DCB ，满足一组对边相等，一组对角相等，但很明显这不是平行四边形。 其中AB=CD 很显然，∠A=∠DCB 的证法如下： 过B 作BM ⊥AE 于M ， 过D 作DN ⊥BE 于N ∴∠BME=∠DNE=90° ∵BE=DE ，∠E=∠E ∴△BME ≌△DNE ∴BM=DN 在Rt △ABM 和Rt △CDN 中 AB=CD ，BM=DN B E B A N E B

页脚内容2 ∴Rt △ABM ≌Rt △CDN （HL ） ∴∠A=∠DCB ③作等腰三角形ABE ，其中AB=AE （要求不作等腰直角三角形），在底边BE 上取一点C （要求BC>CE ），连接AC ，过C 作射线（如图），使得∠2=∠1，以C 为圆心，以AE 的长为半径画弧交射线于D ，连接AD ，则四边形ABCD 中AB=CD ，∠B=∠D ，满足一组对边相等，一组对角相等，但很明显这不是平行四边形。 ④作等边三角形ABE ， BE 上取一点C （要求BC>CE ），连接AC ，过C 作射线CF ，使得∠2=∠1，以C 为圆心，以AE 的长为半径画弧交射线于D ，连接AD ，则四边形ABCD 中AB=CD ，∠B=∠D ，满足一组对边相等，一组对角相等，但很明显 这不是平行四边形。 ⑤如图，作一圆，在圆上取一点D ， 以D 为圆心，任意长度为半径画弧， 交圆于C 、E 两点，在弧DE 上再取 一点B ，以D 、E 、B 为顶点做一个 平行四边形ABED ，连接CD 、CB ， 则四边形ABCD 中AB=CD ，∠A=∠C ， 满足一组对边相等，一组对角相等， 但很明显这不是平行四边形。 B B

初一数学三角形角度的相关计算

[适用年级]：华师七年级 [期 别]：39期 [栏 目]：一点就通 三角形中的角度计算 河南安阳市十六中学 牛书堂 455000 要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角 直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系 已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2 1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式： 1、方程法， 2、推理代换法， 3、特殊值法 1、方程法 例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半， ∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。 解法1、设∠B=x ，则∠ACB=21(180°－x),∠BCD=4 1(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4 1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°， 所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°－2×20°=140° 例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C 解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B=5 7(x-10°),所以有 C B A

初中几何定理归纳整理

初中几何定理归纳整理

初中几何定理归纳整理 图形认识初步 1.两点确定一条直线； 2.两点之间，线段最短； 3.等角的余角相等； 4.等角的补角相等； 5角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等， 6.角角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 相交线与平行线 1、余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；对顶角相等。 2、垂直 （1）垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短； （2）线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线； （3）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 (4)线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上； 3、平行 （1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 （2）平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补。 （3）平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行。 （4）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 （5）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 三角形 1、三角形的有关性质（三角形具有稳定性） ①三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800；

∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。 特殊角的三角函数值： 四边形 1、平行四边形（中心对称图形） （1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离；两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等。 （3）平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。 （4）平行四边形的判定： ①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 2、矩形（轴对称图形） （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)。 （2）矩形的性质：①两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分； （3）矩形的判定：①定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。 3、菱形（轴对称图形） （1）定义：。 （2）菱形的性质：；①菱形的四边相等，两组对边分别平行；②对角相等，邻角互补；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形的判定：①定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4、正方形（既是轴对称又是中心对称） （1）定义：四条边都相等且一个角是直角的四边形叫做正方形。 （2）正方形的性质：；①正方形的四边相等，对边平行；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （3）正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。 轴对称 1定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，

平行四边形性质与判定经典例题练习题

第十九章四边形 19.1.1 平行四边形的性质 第一课时 一、自主学习 ●目标导学 1、理解平行四边形有关概念以及记作方法。 2、探索并掌握平行四边形的有关性质、平行线间的距离。并能运用性质解决实际问题。 ●自学生疑 1、叫平行四边形 2、平行四边形的性质 1)边 2）角 3）对角线 4）对称性 3.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是________. 二、合作学习 ●合作探究 【探究一】平行四边形的定义 1、定义： 2、表示方法： 3、平行四边形与长方形、正方形、菱形、梯形的关系： 【探究二】平行四边形的性质 1、根据定义可得到什么性质？ 用几何语言叙述： 2、根据定义如何判定一个四边形为平行四边形？ 用几何语言叙述：

2、通过量一量.折一折.看看平行四边形的边、角、对角线、对称性还存在什么性质？边：；角：；对角线：；对称性：。 3、证明你所得到的性质： 4、用几何语言叙述平行四边形的性质： 练一练： 1.已知：平行四边形的周长为28cm.相邻两边的差为4cm.则相邻两边长为、。 2.如图,在ABCD中.对角线AC、BD相交于点O.图中全等三角形共有________对. 3.ABCD中.若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=_____.∠B=______.∠C=______.∠D=_____. 4.如图.ABCD的对角线AC和BD相较于点O.如果AC=10.BD=12.AB=m.那么m的取值范围是 。

● 精讲精练 例：如图.E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点.CE AF 请你猜想：BE 与 DF 有怎样的位置．．关系和数量．． 关系？并对你的猜想加以证明．（多种方法） 变式：1、已知ABCD 的对角线交于O .过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F .求证： OE =OF . 2、（07日照）如图.在周长为20cm 的□ABCD 中.AB ≠AD .AC 、BD 相交于点O .OE ⊥BD 交AD 于 E .则△ABE 的周长为 cm. A B C D E F A B C D O E

一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形的反例.doc

一组对边相等，一组对角相等的四边形一定是平行四边形吗？若是请加以证明，若不是请举出反例。 解：不一定是平行四边形 反例： ①做∠B ，在∠B 的一边上取点A ，以A 为圆心，任意长度为半径（要能与∠B 的另一边相交）画弧，交∠B 另一边于E 、C ，以C 为圆心，以AB 的长为半径画弧，以A 为圆心，以BE 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接AD 、CD ，则四边形ABCD ②作Rt △ABE ，其中∠B=90°(不要做等腰直角三角形)，以E 为圆心，以BE 的长度为半径画弧，交AE 于D ，再以D 为圆心，以AB 的长度为半径画弧，交BE 于C ，连接DC ，则四边形ABCD 中AB=CD ，∠A=∠DCB ，满足一组对边相等，一组对角相等，但很明显这不是平行四边形。 其中AB=CD 很显然，∠A=∠DCB 的证法如下： 过B 作BM ⊥AE 于M ， 过D 作DN ⊥BE 于N ∴∠BME=∠DNE=90° ∵BE=DE ，∠E=∠E ∴△BME ≌△DNE ∴BM=DN 在Rt △ABM 和Rt △CDN 中 AB=CD ，BM=DN ∴Rt △ABM ≌Rt △CDN （HL ） ∴∠A=∠DCB B E B A N E B

③作等腰三角形ABE ，其中AB=AE （要求不作等腰直角三角形），在底边BE 上取一点C （要求BC>CE ），连接AC ，过C 作射线（如图），使得∠2=∠1，以C 为圆心，以AE 的长为半径画弧交射线于D ，连接AD ，则四边形ABCD 中AB=CD ，∠B=∠D ，满足一组对边相等，一组对角相等，但很明显这不是平行四边形。 ④作等边三角形ABE ， BE 上取一点C （要求BC>CE ），连接AC ，过C 作射线CF ，使得∠2=∠1，以C 为圆心，以AE 的长为半径画弧交射线于D ，连接AD ，则四边形ABCD 中AB=CD ，∠B=∠D ，满足一组对边相等，一组对角相等，但 很明显这不是平行四边形。 ⑤如图，作一圆，在圆上取一点D ， 以D 为圆心，任意长度为半径画弧， 交圆于C 、E 两点，在弧DE 上再取 一点B ，以D 、E 、B 为顶点做一个 平行四边形ABED ，连接CD 、CB ， 则四边形ABCD 中AB=CD ，∠A=∠C 满足一组对边相等，一组对角相等， 但很明显这不是平行四边形。 B B

八年级下册数学重要知识点归纳整理

八年级下册数学重要知识点归纳整理 八年级下册数学重要知识点归纳整理 平行四边形的性质： ⑴从边看：平行四边形两组对边分别平行；平行四 边形两组对边分别相等． ⑵从角看：平行四边形的两组对角分别相等，邻角 互补． ⑶从对角线看：平行四边形的两条对角线互相平分． 平行四边形的判定方法： ⑴按边：①一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形． ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ⑵按角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑶按对角线：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．（难点） 平行四边形知识的应用： ⑴运用平行四边形的性质求角的度数，线段的长度，证明线段相等或倍分． ⑵先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行 四边形的性质解决某些问题． 矩形（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边

形是矩形； （2）性质定理：矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线互相平分且相等． （3）判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形． [方法] 证明矩形可以先证明它是一个平行四边形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；也可以直接证 明其中有三个角是直角． 菱形（1）矩形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）性质定理：菱形四条边都相等； 菱形对角线互相平分且垂直； 每条对角线平分一组对角； （3）判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边都相等的四边形是菱形． [方法] 证明菱形可以先证明它是一个平行四边形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；也可以直 接证四条边都相等．