2021年中考数学 专题训练：全等三角形(含答案)

2021中考数学专题训练：全等三角形

一、选择题

1. 下列说法错误的是( )

A．全等三角形的对应边相等

B．全等三角形的对应角相等

C．若两个三角形全等且有公共顶点，则公共顶点就是它们的对应顶点

D．若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角

2.

如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是( )

A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B

C．AD∥BC D．DF∥BE

3.

如图，小强画了一个与已知△ABC全等的△DEF，他画图的步骤是：(1)画DE＝AB；(2)在DE的同旁画∠HDE＝∠A，∠GED＝∠B，DH，EG相交于点F，小强画图的依据是( )

A．ASA B．SAS

C．SSS D．AAS

4.

如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有( )

A．1对B．2对C．3对D．4对

5. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()

A.△ABD和△CDB的面积相等

B.△ABD和△CDB的周长相等

C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD

D.AD∥BC，AD=BC

6.

如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是( )

A．∠A＝∠D

B．∠ACB＝∠DBC

C．AC＝DB

D．AB＝DC

7.

如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a ，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )

A．a＋c B．b＋c

C．a－b＋c D．a＋b－c

8. 如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，△AEC≌△DFB.如果AD=37 cm，BC=15 cm，那么AB的长为()

A.10 cm

B.11 cm

C.12 cm

D.13 cm

9. 如图，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则∠ABD等于( )

A．∠EAC B．∠ADE C．∠BAD D．∠ACE

10. 如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB的度数为 ()

A.40°

B.50°

C.55°

D.60°

二、填空题

11.

如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H ，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.

12.

如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．

13.

如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAC＝65°，则∠ACD 的度数为________．

14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长

为半径画弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC

于点D，则∠ADB=°.

15.

如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是___________________________ _____．

16. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长

线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S

△BPC =2，则S

△ABC

=.

三、解答题

17. (2019?泸州)如图，，和相交于点，．求证：

．

18. 如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：

(1)AB＝AC；(2)AD＝AE；

(3)AM＝AN；(4)AD⊥DC，AE⊥BE.

请你以其中三个论断为题设，余下的一个论断为结论，使之组成一个真命题，并写出证明过程．

19. 如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.

(1)求∠APB的度数．

(2)求证：点P在∠C的平分线上．

(3)求证：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.

20. 在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB 上一点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.

(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM；

(2)如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形；

(3)如图③，若AB＝23，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，若MG=n ME，求n的值.

21.

如图，已知AD是△ABC的中线，AM⊥AB，AM＝AB，AN⊥AC，AN＝AC.

求证：MN＝2AD.

2021中考数学专题训练：全等三角形-答案

一、选择题

1. 【答案】C[解析] 根据全等三角形的定义，C明显错误．可举一反例，例如本试卷第14题的配图．

2. 【答案】B[解析] 在△ADF和△CBE中，由AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF≌△CBE.故选B.

3. 【答案】A

4. 【答案】C [解析] ①∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，

∴∠CFB ＝∠BEC ＝90°. 在Rt △BCF 和Rt △

CBE 中，?

????CF ＝BE ，

BC ＝CB ，

∴Rt △BCF ≌Rt △CBE(HL)．

②∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠AEB ＝90°.在△ABE 和△ACF 中， ????

?∠AEB ＝∠AFC ，

∠A ＝∠A ，BE ＝CF ，

∴△ABE ≌△ACF(AAS)． ③设BE 与CF 相交于点O. ∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ， ∴∠OFB ＝∠OEC ＝90°.

∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，AE ＝AF. ∴BF ＝CE.

在△BOF 和△COE 中，????

?∠OFB ＝∠OEC ，

∠BOF ＝∠COE ，BF ＝CE ，

∴△BOF ≌△COE(AAS)．

5. 【答案】C

[解析] A .∵△ABD ≌△CDB ，

∴△ABD 和△CDB 的面积相等，故本选项不符合题意; B .∵△ABD ≌△CDB ，

∴△ABD 和△CDB 的周长相等，故本选项不符合题意; C .∵△ABD ≌△CDB ，

∴∠A=∠C ，∠ABD=∠CDB.

∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB ≠∠C+∠CBD ，故本选项符合题意; D .∵△ABD ≌△CDB ，

∴AD=BC ，∠ADB=∠CBD.

∴AD ∥BC ，故本选项不符合题意.故选C .

6.

【

答

案

】

C [解析]

A ．∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠DC

B ，B

C ＝BC ，符合“AAS”，即能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项不符合题意；

B ．∠AB

C ＝∠DCB ，BC ＝CB ，∠ACB ＝∠DBC ，符合“ASA”，即能推出△A BC ≌△DCB ，故本选项不符合题意；

C ．∠ABC ＝∠DCB ，AC ＝DB ，BC ＝BC ，不符合全等三角形的判定条件，即不能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项符合题意；

D ．AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，符合“SAS”，即能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项不符合题意． 故选 C.

7.

【

答

案

】

D [解析]

∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠AFB ＝90°，∠A ＝∠C.又∵AB ＝CD ，∴△CED ≌△AFB.∴AF ＝CE ＝a ，DE ＝BF ＝b ，DF ＝DE －EF ＝b －c.∴AD ＝AF ＋DF ＝a ＋b －c.故选D.

8. 【答案】B

[解析] ∵△AEC ≌△DFB ，∴AC=DB.

∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD. ∵AD=37 cm ，BC=15 cm ， ∴AB==11(cm).

9.

【

答

案

】

D [解析]

∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE .

在△ABD 和△ACE 中，????

?AB ＝AC ，

∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，

∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴∠ABD ＝∠ACE.

10. 【答案】D

[解析] 因为△ABC ≌△ADE ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，

所以∠CAB=∠EAD=

180°-105°-25°=50°.所以∠DAB=∠CAB+∠DAC=60°.由图易得∠DFB=∠DAB=60°.

二、填空题

11.

【

答

案

】

AH ＝CB (符合要求即可)

【解析】∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 、E ，∴∠BEC ＝∠AEC ＝90°，在Rt △AEH 中，∠EAH ＝90°－∠AHE ，在Rt △HDC 中，∠ECB ＝90°－∠DH C ，∵∠AHE ＝∠DHC ，∴∠EAH ＝∠ECB ，∴根据AAS 添加AH ＝CB 或EH ＝E B ；根据ASA 添加AE ＝CE.可证△AEH ≌△CEB.故答案为：AH ＝CB 或EH ＝EB 或AE ＝CE 均可．

12. 【答案】答案不唯一，如AB ＝DE

[解析] ∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，????

?AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，

∴△ABC ≌△DEF(SAS)．

13. 【答案】25°

14. 【答案】125

[解析] 由题意可得AD 平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠

CAB=70°.

∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.

15.

【答案】

两直线平行，内错角相等 SAS 全等三角形的对应角相等

内错角相等，两直线平行

16. 【答案】7

[解析] 过点P 作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥AB 于点G ，连接AP .∵△

ABC 的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，∴PF=PG=PE=2.∵S △BPC =2，∴BC ·2=2，解得BC=2.∵△ABC 的周长为11，

∴AC+AB=11-2=9.

∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.

三、解答题

17. 【答案】

∵，∴，，

在和中，，

∴，

∴．

18. 【答案】

解：若要组成真命题，则论断(4)必须作为条件．因此可组成以下三个真命题： 命题①：若(1)(2)(4)，则(3)；命题②：若(1)(3)(4)，则(2)；命题③：若(2)(3)(4)，则(1)．

下面以命题①为例进行证明：

∵AD ⊥DC ，AE ⊥BE ，∴∠D ＝∠E ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △

ACD 中，?

????AB ＝AC ，

AE ＝AD ，

∴Rt △ABE ≌Rt △ACD(HL)． ∴∠BAE ＝∠CAD.

∴∠BAE －∠BAC ＝∠CAD －∠BAC ， 即∠EAN ＝∠DAM.

在△ADM 和△AEN 中，????

?∠DAM ＝∠EAN ，AD ＝AE ，∠D ＝∠E ，

∴△ADM ≌△AEN(ASA)． ∴AM ＝AN.

19. 【答案】

解：(1)∵AE ，BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAP ＝12∠BAC ，∠ABP ＝1

2∠ABC.

∴∠BAP ＋∠ABP ＝12(∠BAC ＋∠ABC)＝1

2(180°－∠C)＝60°.∴∠APB ＝120°. (2)证明：如图，过点P 作PF ⊥AB ，PG ⊥AC ，PH ⊥BC ，垂足分别为F ，G ，H.

∵AE ，BD 分别平分∠BAC ，∠ABC ， ∴PF ＝PG ，PF ＝PH. ∴PH ＝PG .

又∵PG ⊥AC ，PH ⊥BC ， ∴点P 在∠C 的平分线上．

(3)证明：①∵∠C ＝60°，PG ⊥AC ，PH ⊥BC ， ∴∠GPH ＝120°. ∴∠GPE ＋∠EPH ＝120°.

又∵∠APB ＝∠DPE ＝∠DPG ＋∠GPE ＝120°， ∴∠EPH ＝∠DPG . 在△PGD 和△PHE 中， ????

?∠PGD ＝∠PHE ＝90°，PG ＝PH ，∠DPG ＝∠EPH ，

∴△PGD ≌△PHE.∴PD ＝PE. ②如图，在AB 上截取AM ＝AD. 在△ADP 和△AMP 中， ????

?AD ＝AM ，∠DAP ＝∠MAP ，AP ＝AP ， ∴△ADP ≌△AMP. ∴∠APD ＝∠APM ＝60°. ∴∠EPB ＝∠MPB ＝60°. 在△EBP 和△MBP 中， ????

?∠EPB ＝∠MPB ，BP ＝BP ，∠EBP ＝∠MBP ，

∴△EBP ≌△MBP. ∴BE ＝BM.

∴AB ＝AM ＋BM ＝AD ＋BE.

20. 【答案】

(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ，

在△AME 和△DMF 中，

????

?∠A ＝∠FDB AM ＝DM ∠AME ＝∠DMF

， ∴△AEM ≌△DFM (ASA)；

(2)证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于H ，

解图①

∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点，

∴AM ＝1

2AD ＝2，∴AM ＝GH ， ∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ， 在△AEM 和△HMG 中， ????

?AM ＝GH ∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG

， ∴△AEM ≌△HMG ， ∴ME ＝MG ， ∴∠EGM ＝45°，

由(1)得△AEM ≌△DFM ， ∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ，

，

∴GE ＝GF ，

∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°， ∴△GEF 是等腰直角三角形．

(3)解：如解图②，过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，

解图②

∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23， ∵MG ⊥EF ， ∴∠GME ＝90°，

∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ， 又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ， ∴EM MG ＝AM GH ，

在Rt △GME 中，tan ∠MEG ＝MG

EM ＝3. ∴n =

21. 【答案】

证明：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE.

∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD.

在△BDE 和△CDA 中，

????

?BD ＝CD ，∠BDE ＝∠CDA ，DE ＝DA ，

∴△BDE ≌△CDA(SAS)． ∴BE ＝AC ＝AN ，∠DBE ＝∠DCA. ∴AC ∥BE.∴∠ABE ＋∠BAC ＝180°. ∵∠BAM ＝∠CAN ＝90°， ∴∠MAN ＋∠BAC ＝180°. ∴∠ABE ＝∠MAN.

在△ABE 和△MAN 中，????

?AB ＝MA ，

∠ABE ＝∠MAN ，BE ＝AN ，

∴△ABE ≌△MAN(SAS)． ∴AE ＝MN.

∵AE ＝2AD ，∴MN ＝2AD.