2019-2020年高考冲刺压轴广东卷数学(文卷三) 含解析

2019-2020年高考冲刺压轴广东卷数学（文卷三） 含解析

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．

第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的． 1、（2015·广东省汕头市二模·1）设集合{}U 1,2,3,4=，{}1,2A =，{}2,4B =，则()

U

B A =e（ ）

A ．{}2

B ．{}4

C ．{}1,2,4

D ．{}1,4

2．（2015·广东省肇庆市三模·2）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四

象限

3．（2015·广东省佛山市二模·3）已知向量(1,0)a =-，13

(,2b =，则向量a 与b 的夹角为（ ）

A ．

6π

B ．

3π C ．

23

π D ．

56π 4、（2015·广东省湛江市二模·5）“11c -<<”是“直线0x y c ++=与圆22

1x y +=相交”

的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．（2015·广东省中山市二模·5）函数 2sin(2)2

y x π

=+

是：（ ）

A ．周期为

π 的奇函数

B ．周期为

π 的偶函数

C ．周期为 2π 的奇函数

D ．周期为 2π的偶函数

6．（2015·广东省深圳市二模·5）已知直线l ，平面,,αβγ，则下列能推出//αβ的条件是（ ） A ．l α⊥，//l β

B ．//l α，//l β

C ．α⊥γ，γβ⊥

D ．//αγ，//γβ

7．（2015·广东省茂名市二模·5）若,x y 满足不等式1

101x y x x y +≤??

+≥??-≤?

, 则2x y +的最小值为（ ）．

A ． 0

B ． 4-

C ．4

D ． 3

8．（2015·广东省揭阳市二模·7）图1中的三个直角三角形是一个体积为3

30cm 的几何体的三视图，则侧视图中的h 为（ ）

侧视图

A. 5 cm

B.6 cm

C.7 cm

D.8 cm

9．（2015·广东省惠州市二模·8）执行如图的程序框图，输出的T = （ ） A ．30

B ．25

C ．20

D ．12

10．（2015·广东省汕头市二模·10）设集合()(){},F ,0x y x y M =

=为平面直角坐标系x y O 内

的点集，若对于任意()11,x y ∈M ，存在()22,x y ∈M ，使得12120x x y y +<，则称点集M 满足性质P ．给出下列四个点集： ①(){}R ,sin 10x y x y =-+= ②(){},ln 0S x y x y =-=

③(){}

2

2,10x y x

y T =

+-= ④(){}W ,10x y xy =-=

其中所有满足性质P 的点集的序号是（ ）

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）

11．（2015·广东省肇庆市三模·11）如右图是某高三学生进入高中三年来第1次至14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数是

798 6 3 8

9 3 9 8 8 4 1 510 3 1114

12．（2015·广东省佛山市二模·11）已知等差数列{}n a 满足3412a a +=，253a a =，则

6a = ．

13．（2015·广东省惠州市二模·13）设0,0a b >>2a

与2b

的等比中项，则11

a b

+的最小值为 ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（2015·广东省广州市二模·14）（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，

4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作

DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ．

15．（2015·广东省湛江市二模·8）（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为1

x y t ?=??

=+??（t 为参数），则直线l 的倾斜角是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（2015·广东省肇庆市三模·16）（本小题满分12

分）已知函数

x x x x f 2c o s )2

s i n ()s i n (3)(-+-=π

π．

（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若]0,2[π

θ-∈，103)32(=+πθf ，求)4

2sin(π

θ-的值．

17．（2015·广东省汕头市二模·17）（本小题满分12分）我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了72名居民，按缴费在100500元，6001000元，以及年龄在2039

岁，4059岁之间进行了统计，相关数据如下：

()1用分层抽样的方法在缴费100

500元之间的居民中随机抽取6人，则年龄在2039岁

之间应抽取几人？

()2在缴费100

500元之间抽取的6人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都

在4059岁之间的概率．

18．（2015·广东省深圳市二模·18）（本小题满分14分）如图5，ABC ?是边长为4的等边三角形，ABD ?是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，

2EC =．

（1）证明：//DE 平面ABC ； （2）证明：AD ⊥BE ．

D

C

A

B

E

（图5）

19．（2015·广东省中山市二模·20）（本小题满分14分）已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60，

且a 6为a 1和a 21的等比中项．

（1）求数列{a n }的通项公a n 及前n 项和S n ；

（2）若数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n （n ∈N *），且b 1＝3，求数列{1b n }的前n 项和T n ．

20．（2015·广东省揭阳市二模·20）(本小题满分14分) 已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的

焦点分别为1(F 、2F ，P 为椭圆

C 上任一点，12PF PF ?uuu r uuu r

的最大值为1. （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.

21．（2015·广东省汕头市二模·21）（本小题满分14分）已知函数

()()32

31312

a f x x x ax +=-

++，R a ∈． ()1若函数()f x 在点()()2,2f 处的切线与直线90x y +=垂直，求实数a 的值；

()2若函数()f x 在()0,4x ∈内存在最小值1，求实数a 的值．

2015年高考冲刺压轴卷·广东卷

数学（文卷三）

参考答案与解析

1．B

【命题立意】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用．

【解析】∵集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，∴U C A ={3，4}，∴（U C A ）∩B={4}， 故选：B ． 2．A

【命题立意】本题考查复数的乘法运算法则、考查复数的几何意义. 【解析】z=i （1-i ）=1+i 所以z 对应的点为（1，1） 所以z 对应的点位于第一象限故选A 3．C

【命题立意】本题旨在考查向量的夹角公式.

【解析】1

1

2cos ,112a b a b a b

-

===-?，故2,3a b π=

.故选：C ． 4．A

【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系及充分必要性证明. 【解析】

,22-,2||,12

||<<∴<∴

由直线与圆相交得出22-<

x y +=相交的充分不必要条件. 5．B

【命题立意】本题旨在考查三角函数的周期性和奇偶性． 【

解

析

】

由

2sin(2)2cos 22

y x x

π

=+=，

22

T ππ=

=，

()2cos(2)2cos 2()f x x x f x -=-==，偶函数．

6．D

【命题立意】本题考查了面面平行的判定．

【解析】能推出//αβ的条件是//αγ，//γβ． 7．B

【命题立意】考查简单的线性规划，容易题．

【解析】不等式组表示的平面区域如图三角形ABC （包括边界），解方程组??

?-==-1

1

x y x 可得点

)2,1(--B ，

要2x y +取得最小值，平移直线y x z +=2当经过点B 时满足条件，∴2x y +的最小值为

42)1(2-=--?．

8．B

【命题立意】考查三视图，容易题.

【解析】原几何体是一个三棱锥，底面是直角三角形，直角边为5和6，三棱锥的高为h ，

∴30652

1

31=???h ，解得6=h . 9．A

【命题立意】本题考查循环型程序框图．

【解析】由题意可知，第一次循环S=5，n=2，T=2，不满足T>S ；第二次循环，S=10，n=4，T=2+4=6， 不满足T>S ；第三次循环，S=15，n=6，T=12，不满足T>S ；第四次循环，S=20，n=8，T=20， 不满足T>S ；第五次循环，S=25，n=10，T=30，满足T>S ；结束，此时T=30，故选A 10．B

【命题立意】本题考查的知识点是集合的集合的新定义及应用．

【解析】对于①，M={（x ，y ）|sinx-y+1=0}，对于任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2<0不成立，例如（0，1），不存在（x 2，y 2）∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2<0，所以M 不满足性质P ；

对于②M={（x ，y ）|lnx-y=0}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线

互相垂直，所以不满足性质P ；

对于③，T={（x ，y ）|x 2+y 2-1=0}．图形是圆，对于任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，x 2与x 1符号相反，即可使得x 1x 2+y 1y 2＜0，③点集M 满足性质P ； 对于④(){}W ,10x y xy =

-=是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，

所以在同一支上，任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，满足x 1x 2+y 1y 2<0 在另一支上对任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ， 使得x 1x 2+y 1y 2<0成立，点集M 满足性质P ． 故选B ． 11．94.5

【命题立意】本题主要考查茎叶图的应用，以及中位数的求法.

【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114， 所以中位数为94与95的平均数94.5．故答案为：94.5 12．11

【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式和性质.

【解析】设数列的公差为d,3412511122512,33()4a a a d a a a d a d +=+=??∴??

=+=+??，解得11

2a d =??=?， 61515211a a d ∴=+=+?=.故答案为：11．

13．4

【命题立意】本题考查基本不等式及等比数列的性质．

【解析】由题意知2221a b a b =??+=，又0,0a b >>，

所以

1111()()1b a b a b a b a +=++=

+14a b ++≥=，所以11

a b +的最小值为4． 14．34

【命题立意】考查平行四边形的性质，勾股定理，容易题.

【解析】 在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，

∴CF BC =，又 CF AD // ∴CF AE =，

AE 平分BAD ∠，AB DE //

∴ADE ?是等腰三角形，即DE AD =， 4=AB ，∴2==DE AD

DG AE ⊥，1DG =，∴3=AG ， ∴34=AF .

15．0

30

【命题立意】本题考查将参数方程转化为一般方程. 【解析】由参数方程可得13

3

+=

x y ，所以所求倾斜角为030.

16．（1）π（2）【命题立意】本题考查的是二倍角公式，辅助角公式以及和差公式进行化简求值.

【解析】（1）2

f(x)=x （2分）

cos2x +1

=

-2

（4分） π1

=sin(2x -)-62

（5分）

所以函数f(x)的最小正周期2π

T =

=π2. （6分） （2）由（1）得θπ

θππ1π11f(+)=sin[2(+)-]-

=sin(θ+)-=cos θ-23

23

6

2222

，（7分） 由13cos θ-

=210，得4

cos θ=5. （8分） 因为

πθ∈[-,0]2

，所以3sin θ=-5

. （9分） 所以24sin2θ=2sin θcos θ=-

25，2

7cos2θ=2cos θ-1=25

， （11分）

所以π

ππsin(2θ-)=sin2θcos -cos2θsin =-44450

. （12分）

17．（1）年龄在20

39岁之间应抽取2人；（2）2

5

．

【命题立意】本题考查了分层抽样和古典概型． 【解析】（1）设年龄在20

39岁之间应抽取x 人，则

63612

x =，解得2x =

所以年龄在2039岁之间应抽取2人 ；

（2）记在缴费100

500元之间抽取的6人中，年龄在2039岁的2人为12,a a ；年龄在

4059岁的4人为1234,,,b b b b .

所以随机抽取2人的所有结果有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()21,a b ，

()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ；

共15种.

设这2人的年龄都在40

59岁之间的事件为A,则事件为A 包含的基本事件有：

()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ；共6种.

所以()62155

P A =

= 答：这2人的年龄都在4059岁之间的概率为2

5

．

18．（1）略（2）略

【命题立意】本题考查了空间中点、线、面的位置关系，考查了空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．

【解析】证明：（1）取AB 中点O ，连接DO,CO ，∵△ABD 是等腰直角三角形，AD ⊥BD ，∴DO ⊥AB ，DO=

1

22

AB =，又∵平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC=AB ，DO ?平面ABD ，∴DO ⊥平面ABC ，由已知得EC ⊥平面ABC ，∴DO//EC ，又∵EC=2=DO ，∴四边形DOCE 为平行四边形，∴DE//OC ，而DE ?平面ABC ，CO ?平面ABC ，∴DE//平面ABC

（2）∵O 为AB 的中点，△ABC 为等边三角形，∴OC ⊥AB ，由（1）知DO ⊥平面ABC ，而CO ?平面ABC ，可得OD ⊥OC ，∵DO ∩AB=O ，∴OC ⊥面ABD ，而AD ?平面ABD ，∴OC ⊥AD ，又DE//OC ，而BD ⊥AD ，∴AD ⊥平面BDE ，又AD ?平面BDE ，∴AD ⊥BE ．

19．（1） 23n a n =+，(4)n S n n =+（2） 2354(1)(2)

n n n n +++

【命题立意】本题旨在考查求数列的通项公式及前n 项和． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，

则12

11161560(20)(5)

a d a a d a d +=??+=+?解得125d a =??=?∴23n a n =+ (523)

(4)2

n n n S n n ++=

=+

（2）由1n n n b b a +-=， ∴11(2,)n n n b b a n n N ---=≥∈

当n ≥2时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+

1211n n a a a b --=++

++

(1)(14)3(2)n n n n =--++=+ 对13b =也适合 ∴(2)()n b n n n N =+∈

11111()(2)22

n b n n n n ==-++ 2111111131135(1)()2324

222124(1)(2)

n n n

T n n n n n n +=-+-+

+-=--=

+++++．

20．(1)2214x y +=；（2）(,)-∞?+∞. 【命题立意】考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，探求性问题，较难题.

【解析】(1)设(,)P x y ,由1(F 、2F 得

1(,)PF x y =-uuu r , 2,)PF x y =-uuu r

.

∴212)PF PF x x y ?=-+uuu r uuu r

223x y =+-，

由22221x y a b

+=得222

2(1)x y b a =-

∴222

122(1)3x PF PF x b a

?=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，

∵2

2

0x a ≤≤，∴当2

2

x a =，即x a =±时，12PF PF ?uuu r uuu r

有最大值，

即212max ()331PF PF b ?=+-=uuu r uuu r

，

∴2

1b =，222

4a c b =+=，

∴所求双曲线C 的方程为2

214

x y +=.

其它解法请参照给分.

（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，

将y kx m =+代入2

214

x y +=并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=， 由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ?=-+-=--->，得2

2

41k m +>-----------① 又122

814km

x x k

+=-

+， 由||||AD AE =可得

2222

112212121212(1)(1)()(2)()()0

x y x y x x x x y y y y -+=-+?-+-+-+=12

121212

2()0y y x x y y x x -?+-++=-212(1)()220k x x km ?+++-=

22

8(1)

22014km

k km k ?-++-=+

化简得2

143k m k +=- ②

将②代入①得22

2

1441()3k k k

++> 化简得4222

2010(41)(51)0k k k k +->?+->，

解得k >

k <

所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为(,()55

-∞?+∞． 21．（1）1-；（2）1

3

a =

或3a =. 【命题立意】本题考查了导数研究函数的单调性及最值． 【解析】（1）2

'()33(1)3f x x a x a =-++，

因为函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线与直线92y x =-平行， 所以'(2)9f =，

2323(1)239a a ?-+?+=，1a =-，a 的值为1-．

（2）2

'()33(1)3f x x a x a =-++，令'()0f x =得1,x x a ==

①当0a ≤时，()f x 在(0,1)单调递减，在(1,4)单调递增， 所以当1x =时，(1)f 是()f x 在()0,4x ∈内的最小值， 则13(1)=122f a =

+ 解得1

3

a = 不符合题意舍去 ②当01a <<时，()f x 在(0,)a 和(1,4)单调递增，在(,1)a 单调递减，

(1)(0)01f f a ≤?∴?<

13112

01a a a +?-++≤???<

，解得1

03a <≤ 当1

03

a <≤时，使(1)f 是()f x 在()0,4x ∈内的最小值； 则13(1)=122f a =

+ 解得1

3

a = 符合题意 ③当1a =时，2'()3(1)0f x x =-≥，()f x 在(0,4)单调递增， 则函数()f x 在()0,4x ∈内不存在最小值；

④当14a <<时，()f x 在(0,1)和(,4)a 单调递增，在(1,)a 单调递减，

()(0)14f a f a ≤?∴?<

23(1)3112

14

a a a a a +?-

++≤???<

14a a ≥??

<

所以34a ≤<

所以当x a =时，函数()f x 在()0,4x ∈内存在最小值 则()1f a =，解得3a =

⑤当4a ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,4)单调递减， 则函数()f x 在()0,4x ∈内不存在最小值 综上得，1

3

a =或3a =.