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勾股定理教案

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勾股定理

18.1 勾股定理(1)

学习目标:

1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发爱国热情,勤奋学习。 重点:勾股定理的内容及证明。 难点:勾股定理的证明。 学习过程:

一.预习新知(阅读教材第64至66页,并完成预习内容。) 1正方形A 、B 、C 的面积有什么数量关系?

2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系?

归纳:等腰直角三角形三边之间的特殊关系

(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?

(2)组织学生小组学习,在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形,并以其三边为边长向外作三个正方形,并分别计算其面积。

(3)通过三个正方形的面积关系,你能说明直角三角形是否具有上述结论吗?

(4)对于更一般的情形将如何验证呢?

A

B

C

二.课堂展示 方法一;

如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图图形,利用面积证明。 S 正方形=_______________=____________________

方法二;

已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证:a 2+b 2=c 2。

分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面

积相等。

左边S=______________

右边S=_______________ 左边和右边面积相等, 即

化简可得。

方法三:

以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵Rt ΔEAD ≌Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.

∵∠AED + ∠ADE = 90o, ∴∠AED + ∠BEC = 90o. ∴∠DEC = 180o―90o= 90o.

∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形, 它的面积等于

c 2. 又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC.

∴ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于_________________

归纳:勾股定理的具体内容是。

三.随堂练习

1.如图,直角△ABC 的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)

⑴两锐角之间的关系:;

(2)若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边:; (3)三边之间的关系:

2

12

1

b

b

2.完成书上P69习题1、2

四.课堂检测新课标第一网 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°

①若a=5,b=12,则c=___________; ②若a=15,c=25,则b=___________; ③若c=61,b=60,则a=__________;

④若a ∶b=3∶4,c=10则S Rt△ABC =________。

2.已知在Rt △ABC 中,∠B=90°,a 、b 、c 是△ABC 的三边,则 ⑴c=。(已知a 、b ,求c ) ⑵a=。(已知b 、c ,求a ) ⑶b=。(已知a 、c ,求b )

3.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。

4.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25

5.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为( ) A 、56 B 、48 C 、40 D 、32

五.小结与反思

18.1 勾股定理(2)

学习目标:

1.会用勾股定理解决简单的实际问题。 2.树立数形结合的思想。

3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法。 4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值。 重点:勾股定理的应用。

难点:实际问题向数学问题的转化。

一.预习新知(阅读教材第66至67页,并完成预习内容。)

1.①在解决问题时,每个直角三角形需知道几个条件?

②直角三角形中哪条边最长?

2.在长方形ABCD 中,宽AB 为1m ,长BC 为2m ,求AC 长. 问题(1)在长方形ABCD 中AB 、BC 、AC 大小关系?

(2)一个门框的尺寸如图1所示.

①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过? ②若薄木板长3米,宽1.5米呢?

③若薄木板长3米,宽2.2米呢?为什么?

1m

m

A

O B D

O

图1

二.课堂展示

例:如图2,一个3米长的梯子AB ,斜着靠在竖直的墙AO 上,这时AO 的距离为2.5米.

①求梯子的底端B 距墙角O 多少米? ②如果梯的顶端A 沿墙下滑0.5米至C .

算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).

三.随堂练习

1.书上P68练习1、2

2.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米。

3.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是

米,水平距离是米。

3题图

1题图

2题图

四.课堂检测

1.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是。 2.如图,原计划从A

地经C 地到B 地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A 地到B 地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可省工程费用是多少?

3.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B 、C 两点,在江对岸取一点A ,

使AC 垂直江岸,测得BC=50米, ∠B=60

°,则江面的宽度为。

4.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为米。 5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点,PQ=16厘米,且RP ⊥PQ ,则RQ=厘米。

6.如图3,分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,容易得出S 1、S 2、S 3之间有的关系式. 变式:书上P71 -11题如图4.

A S 1

S 2

S 3

图4

图3

五.小结与反思

18.1 勾股定理(3)

学习目标: 1、能利用勾股定理,根据已知直角三角形的两边长求第三条边长;并在数轴上表示无理数。 2、体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力。 3、培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见。 重点:利用勾股定理在数轴上表示无理数。

难点:确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。 一.预习新知(阅读教材第67至68页,并完成预习内容。)

1.探究:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示的点吗?

2.分析:如果能画出长为_______的线段,就能在数轴上画出表示的点。容易知道,长为的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?

利用勾股定理,可以发现,长为的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。 3.作法:在数轴上找到点A ,使OA=_____,作直线垂直于OA ,在上取点B ,使AB=_____,以原点O 为圆心,以OB

为半径作弧,弧与数轴的交点C 即为表示的点。 4.在数轴上画出表示的点?(尺规作图)

二.课堂展示

例1已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

例2已知:如图,等边△ABC 的边长是6cm 。 ⑴求等边△ABC 的高。⑵求S △ABC 。

三.随堂练习

1.完成书上P71第9题

2.填空题

⑴在Rt △ABC ,∠C=90°,a=8,b=15,则c=。

131321313l l 1317

D

B

A

图18.2-2

⑵在Rt △ABC ,∠B=90°,a=3,b=4,则c=。

⑶在Rt △ABC ,∠C=90°,c=10,a :b=3:4,则a=,b=。 (4)已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ,,则第三边长为。

2.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形面积。

四.课堂检测

1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm ,则另一条直角边的长是()A . 4cm

B . cm

C . 6cm

D . cm

2.△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12

,则△ABC 的周长为( ) A .42B .32C .42 或 32 D .37

或 33

3.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动( )

A . 9分米

B . 15分米

C . 5分米

D . 8分米 4.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.

5. 等腰△ABC 的腰长AB =10cm ,底BC 为16cm ,则底边上的高为,面积为.

6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为. 7.已知:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ⊥DC , AB ⊥AC ,∠B=60°,CD=1cm ,求BC 的长。

五.小结与反思

18.2 勾股定理的逆定理(一)

学习目标

1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 重点:掌握勾股定理的逆定理及简单应用。 难点:勾股定理的逆定理的证明。

一.预习新知(阅读教材P73 — 75 , 完成课前预习)

1.三边长度分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三角形与以3 cm 、4 cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系?你是怎样得到的?

2.你能证明以6cm 、8cm 、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗?

323436B

3.如图18.2-2,若△ABC 的三边长、、满足,试证明△ABC 是直角三

角形,请简要地写出证明过程.

4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系? (1)什么叫互为逆命题

(2)什么叫互为逆定理

(3)任何一个命题都有 _____,但任何一个定理未必都有 __ 5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗?

(1) 两直线平行,内错角相等;

(2) 如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; (3) 全等三角形的对应角相等;

(4) 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 二.课堂展示

例1:判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形: (1);(2).

(3);(4);

三.随堂练习

1.完成书上P75练习1、2

2.如果三条线段长a,b,c 满足,这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?

为什么?

3.A,B,C 三地的两两距离如图所示,A 地在B 地的正东方向,C 地在B 地的什么方向?

4.思考:我们知道3、4、5是一组勾股数,那么3k 、4k 、5k (k 是正整数)也是一组勾股数吗?一般地,如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么ak 、bk 、ck (k 是正整数)也是一组勾股数吗?

四.课堂检测

1.若△ABC 的三边a ,b ,c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ,试判定△ABC 的形状.

2.一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长分别为多少米?此三角形的形状为?

3.已知:如图,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,且CD 2=AD ·BD 。

求证:△ABC 是直角三角形。

五.小结与反思

18.2勾股定理逆定理(2)

a b c 222

c b a =+a b c 17,8,15===c b a 15,14,13===c b a 25,24,7===c b a

5.2,2,5.1===c b a 222

b c a

-=

12km 5km

图18.2-3

学习目标:

1.进一步掌握勾股定理的逆定理,并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围。

2.培养逻辑推理能力,体会“形”与“数”的结合。

3.在不同条件、不同环境中反复运用定理,达到熟练使用,灵活运用的程度。

4.培养数学思维以及合情推理意识,感悟勾股定理和逆定理的应用价值。 重点:勾股定理的逆定理

难点:勾股定理的逆定理的应用 一.预习新知

已知:如图,四边形ABCD ,AD ∥BC ,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。 求:四边形ABCD 的面积。

归纳:求不规则图形的面积时,要把不规则图形 二.课堂展示

例1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

例2.如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一

些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量。小明找了一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又已知∠B=90°。 三.随堂练习

1.完成书上P76练习3

2.一个三角形三边之比为3:4:5,则这个三角形三边上的高值比为

A 3:4:5

B 5:4:3

C 20:15:12

D 10:8:2

3.如果△ABC 的三边a,b,c 满足关系式 +(b-18)2+=0则△ABC 是 _______三角形。 四.课堂检测

1.若△ABC 的三边a 、b 、c ,满足(a -b )(a 2+b 2-c 2)=0,则△ABC 是()

A .等腰三角形;

B .直角三角形;

C .等腰三角形或直角三角形;

D .等腰直角三角形。 2.若△ABC 的三边a 、b 、c ,满足a :b :c=1:1:,试判断△ABC 的形状。

3.已知:如图,四边形ABCD ,AB=1,BC=

,CD=,AD=3,且AB ⊥BC 。 求:四边形ABCD 的面积。

4.

小强在操场上向东走80m 后,又走了60m ,再走100m 回到原地。小强在操场上向东走了

182-+b

a 30-c 2434

13

A

B

D

E D

A

B

80m后,又走60m的方向是。

5.一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你试判断这个三角形的形状。

6.已知△ABC的三边为a、b、c,且a+b=4,ab=1,c=,试判定△ABC的形状。

7.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点且EC=BC,求证:∠EFA=90。.

五.小结与反思

勾股定理复习(1)

学习目标

1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边.

2.勾股定理的应用.

3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形.

重点:掌握勾股定理及其逆定理.

难点:理解勾股定理及其逆定理的应用.

一.复习回顾

在本章中,我们探索了直角三角形的三边关系,并在此基础上得到了勾股定理,并学习了如何利用拼图验证勾股定理,介绍了勾股定理的用途;本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下:

1.勾股定理:

(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方.就是说,对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有:————————————.这就是勾股定理.(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系,是解决有关线段计算问题的重要依据.

,.

14

4

1

2

2

2

2

2

2

2

2,

,b

a

c

a

c

b

b

c

a+

=

-

=

-

=2

2

2

2,a

c

b

b

c

a-

=

-

=

勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”.通过构造几何图形,并计算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理.

2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题

提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2

),先构造一个直角边为a,b 的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等,证明定理成立.

3.勾股定理的作用:

(1)已知直角三角形的两边,求第三边;

(2)在数轴上作出表示(n 为正整数)的点.

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,它不仅可以判定三角形是否为直角三角形,还可以判定哪一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法:利用勾股定理的逆定理,通过计算来证明,体现了数形结合的思想.

(3)三角形的三边分别为a 、

b 、

c ,其中c 为最大边,若,则三角形是直角三角形;若,则三角形是锐角三角形;若,则三角形是钝角三角

形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.

二.课堂展示

例1:如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ,那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

例2:如图,在四边形ABCD 中,∠

C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证:AD ⊥BD .

三.随堂练习

1.如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是( )

A .7,24,25

B .3

,4,5 C .3,4,5 D .4,7,8 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的( )

A .1倍

B .2倍

C .3倍

D .4倍

3.三个正方形的面积如图1,正方形A 的面积为() A . 6 B .36 C . 64 D . 8

4.直角三角形的两直角边分别为5cm ,12cm ,其中斜边上的高为( )

n 222c b a =+222c b a >+2

<+c b a 22212121212

1

A .6cm

B .8.5cm

C .

cm D .cm

5.在△ABC 中,三条边的长分别为a ,b ,c ,a =n 2-1,b =2n ,c =n 2+1(n >1,且n 为整数),这个三角形是直角三角形吗?若是,哪个角是直角

四.课堂检测

1.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm ,另一只朝左挖,每分钟挖6cm ,10分钟之后两只小鼹鼠相距()

A .50cm

B .100cm

C .140cm

D .80cm

2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ,当它把绳子的下端拉

开5m 后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为()

A .8cm

B .10cm

C .12cm

D .14cm 3.在△ABC 中,∠C =90°,若a =5,b =12,则c =___

4.等腰△ABC 的面积为12cm 2,底上的高AD =3cm ,则它的周长为___. 5.等边△ABC 的高为3cm ,以AB 为边的正方形面积为___.

6.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm ,则它的面积是___ 7.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高. 8.如图3,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处,已知旗杆原长16m ,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?

五.小结与反思

勾股定理复习(2)

学习目标

1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系,熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题.

2.经历反思本单元知识结构的过程,理解和领会勾股定理和逆定理.

3.熟悉勾股定理的历史,进一步了解我国古代数学的伟大成就,激发爱国主义思想,培养良好的学习态度.

重点:掌握勾股定理以及逆定理的应用. 难点:应用勾股定理以及逆定理. 考点一、已知两边求第三边

1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ,2cm ,则斜边长为______. 2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________. 3.在数轴上作出表示的点.

4.已知,如图在ΔABC 中,AB=BC=CA=2cm ,AD 是边BC 上的高. 求 ①AD

的长;②ΔABC 的面积.

13

30136010图3

考点二、利用列方程求线段的长 1.如图,铁路上A ,B 两点相距25km ,C ,D 为两村庄,DA ⊥AB 于A ,CB ⊥AB 于B ,已知DA=15km ,CB=10km ,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ,使得C ,D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少km 处?

2.如图,某学校(A 点)与公路(直线L )的距离为300米,又与公路车站(D 点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C 点),使之与该校A 及车站D 的距离相等,求商店与车站之间的距离.

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17 (4)4、5、6,其中能够成直角三角形的有

2.若三角形的三别是a 2+b 2,2ab,a 2-b 2

(a>b>0),则这个三角形是.

3.如图1,在△ABC 中,AD 是高,且,求证:△ABC 为直角三角形。 考点四、灵活变通

1.在Rt △ABC 中, a ,b ,c 分别是三条边,∠B=90°,已知a=6,b=10,则边长c=

2.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为7,8

的正方形的面积为_________

3.如图一个圆柱,底圆周长6cm ,高4cm ,一只蚂蚁沿外 壁爬行,要从A 点爬到B 点,则最少要爬行cm

4.如图:带阴影部分的半圆的面积是(取3)

5.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所爬行的最短路线的长是

6.若一个三角形的周长12c m,一边长为

3c m,其他两边之差为c m,则这个三角形是______________________. 7.如图:在一个高6米,长10米的楼梯表面铺地毯, 则该地毯的长度至少是 米。

考点五、能力提升

1.已知:如图,△ABC 中,AB >AC ,AD 是BC 边上的高. 求证:AB 2-AC 2=BC(BD-DC).

2.如图,四边形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为BC 上一点,

CD BD AD 2

?=2

cm 2

cm 2

cm πA D E B C

A

B

且.你能说明∠AFE 是直角吗?

3.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗? 三.随堂检测

1.已知△ABC 中,∠A= ∠B= ∠C ,则它的三条边之比为( ).

A .1:1:1

B .1:1 :2

C .1:2 :3

D .1:4:1 2.下列各组线段中,能够组成直角三角形的是( ).

A .6,7,8

B .5,6,7

C .4,5,6

D .3,4,5 3.若等边△ABC 的边长为2cm ,那么△ABC 的面积为( ).

A . cm 2

B .2 cm 2

C .3 cm 2

D .4cm

2

4.直角三角形的两直角边分别为5cm ,12cm ,其中斜边上的高为( )

A .6cm

B .8.5cm

C .30/13cm

D .60/13 cm

5.有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了___米.

6.一座桥横跨一江,桥长12m ,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m ,则小船实际行驶___m .

7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm ,则它的面积是___. 8.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是. 9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.

10.如图1所示,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ,梯子的顶端B 到地面的距离为7m .现将梯子的底端A 向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O 的距离为3m ,同时梯子的顶端B 下降到B′,那么BB′也等于1m 吗?

11.已知:如图△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,点D 在BC 上,DA ⊥CA 于A .

求:BD 的长. 四.小结与反思

复习第一步:: 勾股定理的有关计算

例1:(2006年甘肃省定西市中考题)下图阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为. 析解:图中阴影是一个正方形,面积正好是直角三角形一条直角边的平方,因此由勾股定理得正方形边长平方为:172-152=64,故正方形面积为6 勾股定理解实际问题 例2.(2004年吉林省中考试题)图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图(单位:cm ).其中矩形ABCD 是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤,阴影部分DCEF 为矩形绸缎旗面,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆旗顶到地面的高度为220cm .在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图②.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h . 析解:彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF

BC CE 4

1

3O

B ′ 图1

B

A A ′

的对角线DE的长度,连接DE,在Rt△DEF中,根据勾股定理,

得DE=

h=220-150=70(cm)

所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm

与展开图有关的计算

例3、(2005年青岛市中考试题)如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离.

析解:正方体是由平面图形折叠而成,反之,一个正方体也可以把它展开成平面图形,如图是正方体展开成平面图形的一部分,在矩形ACC’A’中,线段AC’是点A到点C’的最短距离.而在正方体中,线段AC’变成了折线,但长度没有改变,所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度.

在矩形ACC’A’中,因为AC=2,CC’=1

所以由勾股定理得AC’= .

∴从顶点A到顶点C’的最短距离为

复习第二步:

1.易错点:本节同学们的易错点是:在用勾股定理求第三边时,分不清直角三角形的斜边和直角边;另外不论是否是直角三角形就用勾股定理;为了避免这些错误的出现,在解题中,同学们一定要找准直角边和斜边,同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.

例4:在Rt△ABC中,a,b,c分别是三条边,∠B=90°,已知a=6,b=10,求边长c.错解:因为a=6,b=10,根据勾股定理得c=

剖析:上面解法,由于审题不仔细,忽视了∠B=90°,这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边,错把c当成了斜边.

正解:因为a=6,b=10,根据勾股定理得,c=

温馨提示:运用勾股定理时,一定分清斜边和直角边,不能机械套用c2=a2+b2

例5:已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是

错解:因为Rt△ABC的两边长分别为3和4,根据勾股定理得: 第三边长的平方是32+42=25 剖析:此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边,而4有可能是斜边,因此要分类讨论.

正解:当4为直角边时,根据勾股定理第三边长的平方是25;当4为斜边时,第三边长的平方为:42-32=7,因此第三边长的平方为:25或7.

温馨提示:在用勾股定理时,当斜边没有确定时,应进行分类讨论.

例6:已知a,b,c为⊿ABC三边,a=6,b=8,b

错解:由勾股定理得c=

剖析:此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形,因此不能乱用勾股定理.

正解:由b

温馨提示:只有在直角三角形中,才能用勾股定理,因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形.

2.思想方法:本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想;

例7:如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?

析解:因两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以由勾股定理求得AB=10 cm,设CD=x,由题意知则DE=x,AE=AC=6,BE=10-6=4,BD=8-x.在Rt△BDE由勾股定理得:42+x2=(8-x)2,

解得x=3,故CD的长能求出且为3.

运用中的质疑点:(1)使用勾股定理的前提是直角三角形;(2)在求解问题的过程中,常列方程或方程组来求解;(3)已知直角三角形中两边长,求第三边长,要弄清哪条边是斜边,哪条边是直角边,不能确定时,要分类讨论.

复习第三步:

选择题

1.已知△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,则它的三条边之比为().

A.1:1:B.1::2 C.1::D.1:4:1

2.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是().

A.B.3 C.D.

3.下列各组线段中,能够组成直角三角形的是().

A.6,7,8 B.5,6,7 C.4,5,6 D.3,4,5

4.下列各命题的逆命题成立的是()

A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等

C.两直线平行,同位角相等D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等

5.若等边△ABC的边长为2cm,那么△ABC的面积为().

A.cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4cm2

6.在Rt△ABC中,已知其两直角边长a=1,b=3,那么斜边c的长为().

7.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为()

A.6cm B.8.5cm C.cm D.cm

8.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距()

A.50cm B.100cm C.140cm D.80cm

9、有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了___米.

10.一座桥横跨一江,桥长12m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶___m.

11.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是___.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,中线BE=13,另一条中线AD2=331,则AB=___.13.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.

14.如图3,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?请你试一试.

15.如图4所示,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O 的距离为2m,梯子的顶端B 到地面的距离为7m.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B′,那么BB′也等于1m吗?

16.在△ABC中,三条边的长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1,且n为整数),这个三角形是直角三角形吗?若是,哪个角是直角?与同伴一起研究.

15、参考

在Rt△ABO中,梯子AB2=AO2+BO2=22+72=53.在Rt△A′B′O中,梯子A′B′2=53=A′O2+B′O2=32+B′O2,所以,B′O===2 >2×3=6.所以BB′=OB-OB′<1.

16、参考.因为a2=n4-2n2+1,b2=4n,c2=n4+2n2+1,a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形,∠C为直角.

复习小结

通过教学,我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此要注意直角三角形的条件,要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法,在做辅助线的过程中,提高学生的综合应用能力。

在不条件、不同环境中反复运用定理,要达到熟练使用,灵活运用的程度

勾股定理教案

第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 【学习目标】: 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程. 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系. 一.情景引入 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。 二.导入课题 (图中每个小方格代表一个单位面积) 1、 观察图1—1,正方形A 中有_______个小方格,即A 的面积为______个单位。 正方形B 中有_______个小方格,即B 的面积为______个单位。 正方形C 中有_______个小方格,即C 的面积为______个单位。 图1—2中,A,B,C 之间的面积之间有什么关系? SA+SB=SC 结论1:两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积. 2.图1—1、1—2中,你能用三角形的边长表示正方形的面积吗? 3.你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗? 结论2:直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”,也就是说:如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c ,那么2 2 2 c b a =+ 4.美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。

三、解读探究 例1.已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8,求斜边长x. 分析可直接利用勾股定理. 解由勾股定理,得,所以. 由,可得. 例2.在中,,若,则 例3.如图,中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD. 三、基础练习 1.△ABC,∠C=90°,a=9,b=12,则c =_______. 2.△ABC,AC=6,BC=8,当AB=________时,∠C=90°. 3.等边三角形的边长为6 cm,则它的高为__________. 4.直角三角形两直角边长分别为5 和12,则斜边上的高为__________.

勾股定理(第一课时)教学设计

勾股定理(第一课时)教学设计 一、教案背景 (一)教材分析 这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一 节《勾股定理》第一课时:直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论,它是直角三角形的一条重要性质,揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点,转化为三边之间的“数”的关系,它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题,勾股定理有着悠久的历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就,激发热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情。 (二)学情分析 1.通过初一一年的数学学习,初二学生能积极参与数学学习活动,对数学学习有较强的好奇心和求知欲,他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律,也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验,他们愿意对数学问题进行讨论,并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.考虑到三角尺学生天天在用,较为熟悉,但真正仔细研究过三角尺的同学并不多,通过这样的情景设计,能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。 3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识,能激发学生的学习兴趣。 (三)教学设想 1.课型:新授课 2.设计理念:本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开,以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终,让学生对勾股定理的发展过程有所了解,让他们感受勾股定理的丰富文化内涵,体验勾股定理的探索和运用过程,激发学生学习数学的兴趣,特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情,培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。 3.教学思路:探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。 二、教学目标 (一)知识目标 1.理解回顾直角三角形中三角之间的关系,掌握新知即三边之间关系。 2.理解勾股定理的内涵,并能用勾股定理进行简单的计算 3.通过画图实验,让学生经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合的思想。 (二)能力目标 1. 掌握勾股定理的内容,初步会用它进行有关计算,即已知两边,运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题(探索性问题和应用性问题)。 3. 经历探索勾股定理内容的过程,学会简单的合情推理与数学说理。

人教版-数学-八年级下册-18.1 勾股定理 第一课时 教案

第十八章勾股定理 18.1 勾股定理(一) 一、教学目标 1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的内容及证明。 2.难点:勾股定理的证明。 3.难点的突破方法:几何学的产生,源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及,尼罗河每年要泛滥一次;洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土,但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了,人们要重新画出田地的界线,就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘,面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法,使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。 三、例题的意图分析 例1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性;通过拼图,发散学生的思维,锻炼学生的动手实践能力;这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。 例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。

勾股定理教案

勾股定理(一) 常德市第二中学张美荣 教学目标 2、过程与方法 让学生经历“观察——猜测——证明——应用”的数学探究过程,在动手实践中体会“特殊到一般”和“数形结合”的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 通过实验,让学生感受到数学所具有的探索性和创造性,激发学生探究热情,培养学生良好的团队合作意识和创新精神。通过对我国古代数学成就的了解,增强民族自豪感,激发学习热情。 教学重点与难点 教学重点:勾股定理的探索过程与应用 教学难点:勾股定理的证明 教学过程 一、创设情景引入新知 创设校园问题情景 1、观看多媒体照片 照片中,你看到了什么? 2、抽象出数学问题 如图,少数师生为了走“捷径”,在学校求索馆前的长方形草坪内走出一条小路AB。已知两步为1m,你能算出“捷径”省了多少路吗?从计算出的结果,你有怎样的想法? 引导学生分析:要算节省的路程,就要算出AB的长,Rt△AOB中,已经知道AO、BO 的长,如何计算AB呢?即问题转化为:直角三角形中已知两边,如何求第三边? 这就是我们今天要探究的内容:勾股定理 二、测量实验猜测新知 操作一 在方格纸上画一个顶点都在格点上的R t△ABC,∠C=90°,其中a=3,b=4,测量斜边c 的长度。

操作二 分别以R t△ABC三边a、b、c为边长向外作正方形S、T、P,则正方形S、T的面积是多少?正方形P呢,如何计算? 引导学生先画图,由画图过程去体会正方形P的计算方法(割补法),然后请学生来表述。 操作三 P的面积,由此猜测 222 +=,即勾股定理: a b c 直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方. 222 += a b c 三、拼图探究验证新知 (一)拼图实验 步骤1剪出四个全等的(如右图)直角三角形,其中c为斜边,且b>a. 步骤2用这四个直角三角形拼出一个正方形(中间可以出现空心). 学生作品展示 运用多媒体工具(备课王)展示学生作品:

初二数学勾股定理教案(模板)

初二数学上册教案模板勾股定理(2课时) 一、教学目标及重点 1、教学目标 (1)经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,通过自主学习体验获取数学知识的感受,培养学生的思维能力和语言表达能力。 (2)运用勾股定理解决实际问题。 (3)了解有关勾股定理的历史,通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育。 2、教学重点:勾股定理及其应用。 3、教学难点:通过有关勾股定理的历史讲解,了解数学发展史,激发学习兴趣,对学生进行德育教育。 二、探索发现:(在教师的引领下,小组合作,探索学习) 通过此案例引出:勾股定理(商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理)的渊源。 三、知识透析: 1.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,

那么: 即:直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 2.注意:(1)勾股定理的条件是:只有在直角三角形中才使用;(2)勾股定理的变形:222a =-b c ;222b =-a c 3.勾股定理验证方法:(教师引导学生通过面积计算,实现勾股定理证明) (1)赵爽证明: (2)伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析: 题型1:勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中,,、、所对的边分别是a 、b 、c 。 (1)当a=3,b=4,则c= (2)若a=5,b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ,底边长为10cm ,则底边上的高为?( )

(随堂练习:教材3页1、2) 题型2:勾股定理验证 例3.请您用下图验证勾股定理 例4.教材5页第三问 (随堂练习:教材6页中间) 题型3:勾股定理应用 例5.有两棵树,一棵高10米,另一棵高4m,两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()(2013安顺中考) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 注:将应用题转化构造为直角三角形 例6.教材5页例题

新人教版八年级下册数学勾股定理教案

第十七章 勾股定理 勾股定理(一) 教学内容: 新课标对本节课的要求: 教学目标 知识与技能:了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 过程与方法:培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 情感态度价值观:介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 教学重点、难点 重点:勾股定理的内容及证明。 难点:勾股定理的证明。 教学过程 1.引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ,用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ,用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 命题1:如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ,斜边为c , 那么 。 2、合作探究: 方法1:已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、 ∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B

勾股定理教案

勾股定理教学目标 1、了解勾股定理的推理过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理; 2、从实际问题中抽象出数学模型,利用勾股定理解决,渗透建模思想和数形结合思想; 3、通过研究一系列富有探究性的问题,培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力. 知识梳理 1.勾股定理 (1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. (2)勾股定理应用的前提条件是在___三角形中. (3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:a2=c2﹣b2,b2= c2﹣a2及c2=a2+b2. (4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边. 2. 直角三角形的性质 (1)有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形. (2)直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理). 性质2:在直角三角形中,两个锐角___. 性质3:在直角三角形中,斜边上的___等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边的中点) 性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积. 性质5:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的___; 在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐 角等于___. 3.勾股定理的应用 (1)在不规则的几何图形中,通常添加辅助线得到直角三角形. (2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用. (3)常见的类型: ①勾股定理在几何中的应用:利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度.

探索勾股定理(一)教案

探索勾股定理(一)教案 篇一:探索勾股定理优秀 教案 —1— —2— —3— 1.1探索勾股定理 1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角 三角形共用火柴棒()根 A.20 B. 14 C. 24 D. 30 2.在Rt△ABC中,斜边AB?1,则AB2?BC2?AC2?() A.2 B. 4 C. 6D. 8 3.如图,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为() A.8 B. 64 C. 16 D. 32 4.直角三角形的两条直角边的比为3:4,斜边长25cm,则斜边上的高为() A.10cm B. 12cm C. 15cmD. 20cm 15 第3题

—4— 篇二:探索勾股定理一教学设计 第一章勾股定理 1.探索勾股定理(一) 一、教材分析 (一)教材的地位和作用 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书,北师大版八年级 第一章第一节《探索勾股定理》第一课时。在本节课以前,学生学习了(三角形、正方形、梯形)一些图形的面积公式,还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2。学生在这些原有的认知水平基础上,探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一,这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,为以后学习《解直角三角形》和《二次根式》奠定基础,在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》,它在生活中的用途很大。 (二)、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力.且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况,再结合《课程标准》的要求,我制定如下教学目标)

优秀教案:勾股定理第1课时

14.1 勾股定理第1课时直角三角形三边的关系 社旗县二初中丁云锋 2012年10月

14.1勾股定理直角三角形三边的关系 教学目标: 知识与技能:掌握勾股定理及其简单应用,理解定理的一般探究方法 过程与方法:探索勾股定理的活动,让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展数形结合的数学思想。 情感、态度与价值观:发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯,激发热爱祖国的思想感情,培养他们的民族自豪感。 教学重点、难点: 重点:掌握勾股定理及其简单应用 难点:用测量和拼图法说明勾股定理 教学过程: (一)创设情境,导入新课 导语:同学们,中华民族有五千年悠久的历史,我们创造了灿烂的文化。在数学方面,有大家熟悉的祖冲之对圆周率的贡献,以及刚刚接触过的杨辉三角等。在平面几何方面,我们国家也有突出的成就,大家想不想了解呢?(板书课题——14.1 勾股定理直角三角形三边的关系) (二)提出问题,引入探究 某楼房三楼失火,消防队员赶来灭火,了解到每层楼房

高3米,消防队员搬来一架6.5米长的梯子,要求梯子的底部离墙脚2.5米,请问消防队员能否顺利进入三楼灭火? 学生猜想。那么怎样用数学的方法解决这个问题呢?学完本节课大家就能解决了。 活动一:探究等腰直角三角形三边之间的关系 出示课件图一,让学生完成表格,最后得出结论:等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 猜想:一般的直角三角形的三边有这样的关系吗? 活动二:探究一般的直角三角形三边的关系 出示课件图二和图三,让学生小组合作完成表格,强调用分割法或拼图法求最大的,即以斜边为边的正方形的面积。 在学生充分探究的基础上得出结论:勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何语言:∵在Rt△ABC中,∠C=90°(已知) ∴a2+b2=c2(勾股定理) 做一做:在课本后边的网格中画一个直角三角形,使它的两条直角边分别为3cm和4cm,测量出斜边的长度,计算一下两条直角边的平方和以及斜边的平方,看看是否相等。 进一步验证勾股定理的正确性。 那么,如果改为∠B=90°,用几何语言该怎样描述呢? 向学生介绍勾股史话,特别是课本47页,我国古代数

八年级数学下册 勾股定理教案

17.1勾股定理第1课时勾股定理 1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;(重点) 2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题;(重点) 3.了解利用拼图验证勾股定理的方法.(难点) 一、情境导入 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗? 二、合作探究 探究点一:勾股定理 【类型一】直接运用勾股定理 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD⊥AB于D,求: (1)AC的长; (2)S△ABC; (3)CD的长. 解析:(1)由于在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长;(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC;(3)根据面积公式得到CD·AB=BC·AC即可求出CD. 解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,∴AC=AB2-BC2=12cm; (2)S△ABC= 1 2CB·AC= 1 2×5×12=30(cm2); (3)∵S△ABC= 1 2AC·BC= 1 2CD·AB,∴CD = AC·BC AB= 60 13cm. 方法总结:解答此类问题,一般是先利用勾股定理求出第三边,然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积,然后根据面积相等得出一个方程,再解这个方程即可. 【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC的周长.解析:本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论. 解:此题应分两种情况说明: (1)当△ABC为锐角三角形时,如图①所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=5+9=14,∴△ABC的周长为15+13+14=42;

(完整版)勾股定理专题复习(经典一对一教案哟)

卓越教育教案专用 学生姓名授课时间:授课科目:数学 教学课题勾股定理知识点解析(二) 重点、难点能准确证明勾股定理,并能将以灵活运用。 教师姓名年级:初二课型:复习课 一、作业检查 作业完成情况:优□良□中□差□ 二、课前回顾 对上次家庭作业进行检查并评讲 三、知识整理 知识点1.勾股定理 (1)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边(即:a2+b2=c2) 注意:○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理,只适用于直角三角形。○2应用勾股定理时,要注意确定那条边是直角三角形的最长边,也就是斜边,在Rt△ABC中,斜边未必一定是c,当∠A=90时,a2=b2 +c2 ;当∠B=90时,b2=a2 +c2 例1.(1)如图1所示,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=5,BC=12,求AB的长; (2)如图2所示,在Rt△ABC中,∠C=90,AB=25,AC=20,求BC的长 (3)在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,求AB2的值 A C B 图1 C B A 图2

知识点2.勾股定理的证明 (1)勾股定理的证明方法很多,可以用测量计算,可以用代数式的变形,可以用几何证明,也可以用面积(拼图)证明,其中拼图证明是最常见的一种方法。 思路: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可 证. 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 知识点3.直角三角形的判别条件 (1)如果三角形的三边长啊a ,b ,c ,满足a 2+b 2=c 2足,那么这个三角形为直角三角形(此判别条件也称为勾股定理的逆定理) 注意:○1在判别一个三角式是不是直角三角形时,a 2+b 2是否等于c2时需通过计算说明,不能直接写成a 2+b 2=c 2。○2验证一个三角形是不是直角三角形的方法是:(较小边长)+(较长边长)=(最大边长)时,此三角形为直角三角形;否则,此三角形不是直角三角形. 例1. 五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( ) c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

勾股定理教案完整版

勾股定理教案 一、指导思想与教学理念: 以学生为主体的讨论探索法 二、教学对象分析: 八年级学生好奇心强,学生对几何图形的观察,几何图形的分析能力已初步形成。能够正确归纳所学知识,通过学习小组讨论交流, 三、教材分析: 勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质,它将数与形密切地联系起来,揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形的基础,是三角形知识的深化。 四、教学方法: 讲授法、讨论法 五、教学目标: (1)知识与技能:了解勾股定理的产生背景,体验勾股定理的探索过程,掌握验证勾股定理的方法;了解勾股定理的内容;能利用已知两边求直角三角形另一边的长; (2)过程与方法:在勾股定理的探索过程中,培养合情推理能力,体会数形结合和从特殊到一般的思想; (3)情感与态度:在探索勾股定理的过程中,体验获得结论的快乐,培养合作意识和探索精神。 六、教学环境: 普通教室 七、教学用具: 黑板、粉笔、自制的方格纸、画笔 八、教学重、难点: 重点:探索和证明勾股定理 难点:用拼图方法证明勾股定理 九、教学过程: 一、创设情境,导入新课 1、出示问题,引发思考(用多媒体播放视频)“某楼房二楼失火,消防队

员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?” 2、引入新课:教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边,如何求第三边?”的问题。 二、探究勾股定理 1、探究等腰直角三角形的三边之间的特殊关系 引导思考:等腰直角三角形的三边之间有怎样的特殊关系? 给出证明:通过斜边的中线为斜边的一半可以证明,可以让学生证明也可以自己证明 归纳总结:等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方. 2、探究一般直角三角形的三边之间的特殊关系 引导思考:在一般的直角三角形中是否满足这个关系 学生根据问题,分组交流 给出证明:引导学生证明勾股定理,通过构建四个直角三角形围成正方形的方法给出证明 归纳总结:直角三角形两条直角边的平方和,等于斜边的平方。 介绍勾股定理的命名:.约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中,如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里 .人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.所以我国称它为勾股定理. 介绍古今中外数学家和数学爱好者对勾股定理研究和证明的历史. 西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 十一、布置作业: 课后作业1、2 十二、教材反思: 在课堂教学中,始终注重学生的自主探究能力,创设情境,由实例引入,激发学生的学习兴趣,然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理,并运用定理进一步巩固提高。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过,稍嫌吃力。另在举勾股定理在生活中的例子时,学生思

人教版八年级数学下册第17章勾股定理教案

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(一) 一、教学目标 1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的内容及证明。 2.难点:勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性;通过拼图,发散学生的思维,锻炼学生的动手实践能力;这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。 例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ,用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ,用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 五、例习题分析 例1(补充)已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证:a 2+b 2=c 2。 分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S △+S 小正=S 大正 4× 2 1 ab +(b -a )2=c 2,化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。 A B

17.1.1勾股定理教学设计

17.1勾股定理 第一课时 一、教材分析 (一)教材的地位和作用 这节课是人教2011课标版八年级下车册第十七章第一节《勾股定理》第一课时。在本节课以前,学生学习了(三角形、正方形、梯形)一些图形的面积公式,还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质、二次根式以及整式运算中的完全平方公式。学生在这些原有的认知水平基础上,探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一,这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,为以后学习《解直角三角形》奠定基础,在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》,它在生活中的用途很大。 (二)、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力.且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况,再结合《课程标准》的要求,我制定如下教学目标) (三)、教学目标分析 【教学目标】 1、知识与技能目标 体验勾股定理的探索过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法,掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。 2、过程与方法目标

在探索勾股定理的过程中,让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程,并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。发展学生的合情推理、归纳和概括能力。 3、情感态度与价值观目标 通过探索直角三角形的三边之间关系,培养学生积极参与、合作交流的意识,体验获得成功的喜悦,通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况,提高学生民族自豪感,激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 (四)、教学重点及难点(根据《课程标准》的要求,以及为学生在今后解决有关几何问题。拟定本节课的教学重点和难点) 【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学难点】通过面积计算探索勾股定理。 【难点成因】在小学,他们已学习了一些几何图形面积的计算方法(包括割补法)但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够,因此形成了难点。 【教具】教师准备:课件直角三角形 学生准备:四个全等的直角三角形 二、教学方法及教学手段的选择 针对八年级学生的认知结构和心理特征,本节课我选择的方法是:引导探索、讨论发现法(其意图是由浅到深,由特殊到一般的提出问题,与学生合作交流,结合多媒体课件的演示,培养学生动手实践能力和合作交流的意识。) 三、学法指导

人教版勾股定理教案

§ 17. 1勾股定理 一、教学目标 1?了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3 ?介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 二、重点、难点 1?重点:勾股定理的内容及证明。 2?难点:勾股定理的证明。 三、过程 探究活动一: 画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC ,用刻度尺量出AB的长。你发现了什么? 你是否发现32+42与52的关系? 对于任意的直角三角形也有这个性质吗?探究活动二: 探究等腰直角三角形的情况 观察下图并填写:(图中每个小方格代表一个单位面积) 思考:(1)你发现了三个正方形I、u、川的面积之间有什么关系吗? (2)你发现了等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?

正方形I 的面积 (单位面积) 正方形U 的面积 (单位面积) 正方形川的面积 (单位面积) 较大的图 较小的图 证一证 命题1的证明方法有多种 方法一:我国古人赵爽的证法,利用“赵爽弦图”证明 .(图一) 大正方形的面积可以表示为 __________________ 还可以表示为 __________________ 结论: ______________________ 方法二: 大正方形的面积可以表示为 _______________ 还可以表示为 __________________ 结论: ______________________ 探究活动三: 由上面你得到的结论,我们自然联想到:一般的直角三角形是否也具有该性 质呢?观察下图并填写:(图中每个小方格代表一个单位面积) (2)你发现了一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗? 由上面的例子,我们猜想: 命题1 : 如果直角三角形的两直角边长分别为 a ,b ,斜边长为C ,那么 a 2+b 2=c 2

勾股定理(1)教学设计

《勾股定理(一)》教学设计 教学目标 (1)、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生合情推理意识,体会数学与现实生活的紧密联系。 (2)、能说出勾股定理的内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 (3)、在探索勾股定理的过程中,让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的探究过程,并体会由特殊到一般、数形结合以及转化的思想方法。 (4)、在探究活动中,培养学生独立思考、合作交流的学习习惯,通过解决实际问题,增强自信心,激发学习数学的兴趣在教师的介绍下,体会勾股定理的文化价值。 教学重点:勾股定理的发现、探索过程。 教学难点:将边不在格线上的图形转化边在格线上的图形,以便于计算图形的面积。 课前准备:方格纸、课件 教学过程: 一、创设情景 导入新课: 活动内容:情境一:情境1:出示章前图,通过“怎样与外星人联系”的话题激发学生的探究欲望,明确本章的学习内容。 情境二:如图,强大的台风使的一根旗杆在离地面9米处断 裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高? 想一想:你需要求哪些线段长度,这些长度确定吗? 活动目的:教师引导学生把实际问题转化成数学问题, 也就是“已知直角三角形的两边,如何求第三边?”的问题。再结合“想一想”中的问题,让学生认识到在直角三角形中,任意两边确定了,另外一条边也就随之确定了,三条边之间确实存在一个特定的数量关系,从而引出对直角三角形三边关系的探索。 注意事项:学生能够获取信息,但对于直角三角形中已知任意两边,第三边也就随之确定了理解比较困难,教师可让学生尝试画图并充分的交流自己的想法。 二、尝试猜想 探索验证: 活动内容:活动1:尝试猜想 在纸上任意画若干个直角三角形,测量它们各边的长度,看看三边长的平方有什么关系? 活动目的:让学生画直角三角形,通过测量得出结论,猜想出了直角三角形三边长平方的关系 9 12

勾股定理教案

动态教案模板 学科数学授课年级八年级学校教师姓名 章 课 题 第十八章勾股定理总课时 5 第课时 1 节 课 题 18.1 勾股定理(1)课型新授课授课时间3月19日 教 学 三 维 目 标 知识与技能: 1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 过程与方法: 经历观察与发现直角三角形三边关系的过程,感受勾股定理的应用意识。 情感、态度价值观: 培养学生严谨的数学学习态度,体会勾股定理的应用价值。 教 学 用 具 教 学 重 点 勾股定理的内容及证明。 教勾股定理的证明。

S正方形=C S正方形=4ab+(a-b) 方法二; 已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证:a2+b2=c2。 分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。 左边S=4× ab+c2 右边S=(a+b)2 左边和右边面积相等,即 4× ab+c2=(a+b)2 化简可得。 方法三: 以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角

形,则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B 三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形, 它的面积等于 . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于 . ∴ . ∴ . 勾股定理的证明方法,达300余种。请学生利用业余时 间探究。 三、课堂练习:

1.1探索勾股定理第一课时教案

1.1.1探索勾股定理 一、教学目标叙写 1.学生通过预习教材1页,完成“引入”经历探索勾股定理. 2.学生通过合作探究“做一做”,验证猜想勾股定理,从而得出结论,进一步发展空间观念和推理能力. 3.学生通过交流知识点、易错点和思想方法,培养学生归纳能力和有条理的表达能力.4.学生通过完成“五、当堂评价”,运用勾股定理进行简单的推理和计算. 二、教学重难点 1.重点:勾股定理及其应用. 2.难点:勾股定理的探索过程. 三、教学过程 (一)、情景引入Array 1.02年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会 的会标:标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾 股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定 理.(板书课题) 2. 俄罗斯的伟大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多的土地吗?》中写出 一个故事: 有一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地。卖地的人提出了一个非常奇怪的地价:“每天1000卢布。”意思是:谁出1000卢布,那么他从日出到日落走过的路所围成的土地都归他;不过,如果日落之前买地的人回不到原来的出发点,那么他就一点土地也得不到。 巴河姆觉得条件对自己有利,于是付了1000卢布。第二天太阳刚刚从地平线升起,就连忙在草原上大步走去。他走了足足10俄了里才左拐弯,接着又走了许久,才再向左拐弯, 这样又走了2俄里,这时他发现天色已经不早,而自己离出发点还足足有17俄里,于是只 得改变方向,拼命朝出发点跑去,总算在日落之前赶回了出发点。可是,他还未站稳,两脚 一软,就倒地口吐鲜血而死。 你能算出巴河姆这一天共走了多少路?走过的路所围成的土地面积有多大吗? (二)、自主探究 探究一:在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三条边之间的平方具有什么关系?与同伴进行交流。 探究二: (1)如图1-2:等腰直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足上面所猜想的数量关系吗? 你是如何计算的,与同伴进行交流。 (2)对于图1-3中的直角三角形,是否还满足这样的关系?你又是如何计算的?

八年级数学下册 17.1 勾股定理教案 (新版)新人教版

17.1 勾股定理 一、教学目的 1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的内容及证明。 2.难点:勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性;通过拼图,发散学生的思维,锻炼学生的动手实践能力;这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。 例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ,用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ,用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132 ,那么就有勾2+股2=弦2 。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 五、例习题分析 例1(补充)已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证:a 2+b 2=c 2 。 分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S △+S 小正=S 大正 4× 2 1ab +(b -a )2=c 2 ,化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。 例2已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B

勾股定理的证明教案

勾股定理的证明教案 教学内容:第十四章勾股定理——第一节———第二课时 一、教学目标: 1、知识与技能:(1)掌握勾股定理的一些基本证明方法; (2)了解有关勾股定理的历史. 2、过程与方法:(1)在定理的证明中培养学生的拼图能力; (2)经历理解勾股定理的证明过程,感悟并 掌握勾股定理的证明猜想. 3、情感态度与价值观:(1)通过有关勾股定理的历史讲解,对学生 进行德育教育; (2)通过数学思维活动,发展学生探究意识 和合作交流思想. 二、教学重点:理解并熟练勾股定理的证明过程 三、教学难点:对勾股定理证明思想的领会 四、教学用具:直尺,四个全等的直角三角形纸片,赵爽弦图,2002 年国际数学大会图片 五、教学方法:以学生为主体的讨论探索法

六、教学过程: 1、创设情境→激发兴趣 (1)复习勾股定理——直角三角形的三边关系 勾股定理:直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。数学表达式:a2+b2 =c2 (2)欣赏图片——引出课题 通过欣赏2002年在我国北京召开的国际数学家大会的会徽图案,引出“赵爽弦图”,让学生了解我国古代辉煌的数学成就,激发学生民族自豪感. 2、分析探究→得出猜想 通过对赵爽弦图图形组成的提问:即由四个全等的直角三角形构成的,让同学们体验对数学图形的探究过程,学习这种研究方法。同时提问:为什么会把这个图案设为大会的会徽?它有什么意义呢? 继而教师总结:因为在1700多年前中国古代数学家赵爽用这个弦图证明了勾股定理(出示图片),我们称它为“赵爽弦图”,它反应了中国古代数学家的聪明才智,是我们中国古代数学的骄傲,现在让我们追忆一下古人的足迹,用赵爽弦图证明勾股定理: 3、拼图证明→得出定理

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