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高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (160)

高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (160)
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (160)

课时作业

一、选择题

1.(2014·江苏无锡一模)化简4

16x 8y 4(x <0,y <0)的结果为

( )

A .2x 2y

B .2xy

C .4x 2y

D .-2x 2y

D [4

16x 8y 4=424·(x 2)4y 4=2x 2|y |=-2x 2y .故选D.] 2.已知f (x )=2x +2-x ,若f (a )=3,则f (2a )等于

( )

A .5

B .7

C .9

D .11

B [由f (a )=3得2a +2-a =3, 两边平方得22a +2-2a +2=9, 即22a +2-2a =7,故f (2a )=7.] 3.函数f (x )=2|x -1|的图象是

( )

B

[∵f (x )=???

2x -1,x ≥1,

? ??

??12x -1,x <1,

∴根据分段函数即可画出函数图象.]

4.已知f (x )=3x -b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (x )的值域

( )

A .[9,81]

B .[3,9]

C .[1,9]

D .[1,+∞)

C [由f (x )过定点(2,1)可知b =2,

因f (x )=3x -2在[2,4]上是增函数,可知C 正确.]

5.(2014·福建泉州一模)设函数f (x )定义在R 上,它的图象关于直线x =1对称,且当x ≥1时,f (x )=3x -1,则有

( )

A .f ? ????13<f ? ????32<f ? ????23

B .f ? ????23<f ? ????32<f ? ????13

C .f ? ????23<f ? ????13<f ? ????32

D .f ? ????32<f ? ????23<f ? ??

??13

B [由已知条件知f (x )=f (2-x ), ∴f ? ????13=f ? ????53,f ? ????23=f ? ??

??43. 又当x ≥1时,f (x )=3x -1在(1,+∞)上递增, ∴f ? ????53>f ? ????32>f ? ????43, 即f ? ????13>f ? ????32>f ? ??

??

23.故选B.]

6.若(2m +1)12

>(m 2

+m -1)12

,则实数m 的取值范围是

( )

A.?

????

-∞,

5-12 B.??????5-12,+∞ C .(-1,2)

D.????

??5-12,2 D [因为函数y =x 1

2

的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等式等价于???2m +1≥0,

m 2

+m -1≥0,2m +1>m 2+m -1,

解2m +1≥0,得m ≥-1

2;

解m 2

+m -1≥0,得m ≤-5-12

或m ≥5-1

2;

解2m +1>m 2+m -1,即m 2-m -2<0,得-1

综上所述,m 的取值范围是5-1

2≤m <2.] 二、填空题

7.? ????32-1

3×? ??

??-760

+814×42- ? ??

??-232

3

=________. 解析 原式=? ????2313×1+234×21

4-? ??

??231

3=2.

答案 2

8.已知正数a 满足a 2-2a -3=0,函数f (x )=a x ,若实数m 、n 满足f (m )>f (n ),则m 、n 的大小关系为________.

解析 ∵a 2-2a -3=0,∴a =3或a =-1(舍). 函数f (x )=a x 在R 上递增,由f (m )>f (n ),得m >n . 答案 m >n

9.若函数f (x )=a |2x -4|(a >0,a ≠1)且f (1)=9.则f (x )的单调递减区间是________. 解析 由f (1)=9得a 2=9,∴a =3. 因此f (x )=3|2x -4|,

又∵g (x )=|2x -4|的递减区间为(-∞,2], ∴f (x )的单调递减区间是(-∞,2]. 答案 (-∞,2] 三、解答题

10.函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a

2,求a 的值. 解析 当a >1时,f (x )=a x 为增函数,在x ∈[1,2]上, f (x )最大=f (2)=a 2,f (x )最小=f (1)=a . ∴a 2-a =a

2.即a (2a -3)=0. ∴a =0(舍)或a =32>1.∴a =3

2. 当0

在x ∈[1,2]上,f (x )最大=f (1)=a ,f (x )最小=f (2)=a 2. ∴a -a 2=a

2.∴a (2a -1)=0,

∴a =0(舍)或a =12.∴a =1

2. 综上可知,a =12或a =3

2.

11.函数y =lg(3-4x +x 2)的定义域为M ,当x ∈M 时,求f (x )=2x +2-3×4x 的最值.

解析 由3-4x +x 2>0,得x >3或x <1, ∴M ={x |x >3,或x <1},

f (x )=-3×(2x )2

+2x

+2=-3? ??

??2x -162+25

12.

∵x >3或x <1,∴2x >8或0<2x <2, ∴当2x =16,即x =log 21

6时,f (x )最大, 最大值为25

12,f (x )没有最小值.

12.设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数. (1)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集;

(2)若f (1)=3

2,且g (x )=a 2x +a -2x -4f (x ),求g (x )在[1,+∞)上的最小值.

解析 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数, ∴f (0)=0,∴k -1=0,即k =1. (1)∵f (1)>0,∴a -1

a >0,

又a >0且a ≠1,∴a >1,f (x )=a x -a -x , ∵f ′(x )=a x ln a +a -x ln a =(a x +a -x )ln a >0, ∴f (x )在R 上为增函数.

原不等式可化为f (x 2+2x )>f (4-x ),

∴x 2+2x >4-x ,即x 2+3x -4>0,∴x >1或x <-4, ∴不等式的解集为{x |x >1,或x <-4}. (2)∵f (1)=32,∴a -1a =3

2, 即2a 2-3a -2=0, ∴a =2或a =-1

2(舍去),

∴g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)

=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2.

令t(x)=2x-2-x(x≥1),

则t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知),

即t(x)≥t(1)=3 2,

∴原函数变为w(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,

∴当t=2时,w(t)min=-2,此时x=log2(1+2).即g(x)在x=log2(1+2)时取得最小值-2.

高考数学导数解法知识分享

高考中数学导数的解法 1、导数的背景: (1)切线的斜率;(2)瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3t =时的瞬时速度为_____(答:5米/秒) 2、导函数的概念:如果函数()f x 在开区间(a,b )内可导,对于开区间(a,b )内的每一个0x ,都对应着一个导数 ()0f x ' ,这样()f x 在开区间(a,b )内构成一个新的函数,这一新的函数叫做()f x 在开区间(a,b )内的导函数, 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?, 导函数也简称为导数。 提醒:导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如(1)*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,则=a =b 解:?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b (2)*已知f(x)在x=a 处可导,且f ′(a)=b ,求下列极限: (1)h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?; (2)h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解:(1)h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→

高三数学专题复习:导数及其应用

【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础,这是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查: 一是导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义; 二是导数的应用,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等,已成为高考热点问题; 三是应用导数解决实际问题. 【知识梳理】 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在点处的切线的,其切线方程是. 注意:函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别:. 2.导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件. f x 如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件. f x 当函数在某个区间内恒有() '=0时,则f(x)为常数,函数不具有单调 f x 性. 注意:导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件.

3. 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的 . 4. 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′= ; (2)(cos x )′= ; (3)(e x )′= ; (4)(a x )′= (a >0,且a ≠1); (5)(x a )′= ; (6)(log e x )′= ; (7)(log a x )′= (a >0,且a ≠1); (8)′= ; (9)??????? ? f (x ) g (x )′= (g (x )≠0) .

k52006年高考第一轮复习数学:14.1 导数的概念与运算

知识就是力量
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※第十四章
●网络体系总览
导 概 数 念 的 导 数
导数
的 性 导 求 函 单 数 法 数 调 的 的 导 应 函 极 数 用 数 值 的 函 最 数 大 的 值 小 与 值 最
●考点目标位定位 要求: (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率 等) ,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. (2)熟记基本求导公式〔C,xm(m 为有理数) ,sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数〕 ,掌握 两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. (3)了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件(导数在极值点两侧异号) ,会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值 和最小值. ●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求 导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大(小)值的数学模型,应用导数知识去解 决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用,尤其要重视导数 运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.
14.1
●知识梳理
导数的概念与运算
1.导数的概念: (1)如果当Δ x→0 时,
?y 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x0 处可 ?x
导 , 并 把 这 个 极 限 叫 做 f ( x ) 在 点 x0 处 的 导 数 , 记 作 f ′ ( x0 ) 即 f ′ ( x0 ) = ,
?x ?0
lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x ?x?0 ?x
(2)如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说 f(x)在开区间(a,b)内 可导.这时对于开区间(a,b)内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′(x0),这样 就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函 数,记作 f′(x),即 f′(x)= lim
?x ?0
f ( x ? ?x) ? f ( x) ,导函数也简称导数. ?x
2.导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) )处的切线的斜率. 3.几种常见的导数: - C′=0(C 为常数);(xn)′=nxn 1;(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(ex)′=ex;

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学(函数和导数)综合练习含解析 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(题型注释) 1.已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈.3253()422 g x x x x =-+-+ (1)当1a =时,求证:()12,1,x x ?∈+∞,均有12()()f x g x ≥ (2)当[)1,x ∈+∞时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 2.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=,当0≠x 时,0)()(>+'x x f x f ,若)1(f a =,)2(2--=f b , )21(ln )21(ln f c =,则c b a ,,的大小关系正确的是( ) A .b c a << B .a c b << C .c b a << D .b a c << 3.函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A .[)0,4 B .()0,1 C .()0,4 D .()4,4- 4.在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ,若数列{}n x 是等差数列,数列{}n y 是等比数列,则函数()y f x =的解析式可能为( ) A .()21f x x =+ B .()2 4f x x = C .()3log f x x = D .()34x f x ??= ??? 5.设:x p y c =是R 上的单调递减函数;q :函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R .如果“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,则正实数c 的取值范围是( ) A .1,12?? ??? B .1,2??+∞ ??? C .[)10,1,2??+∞ ??? D .10,2?? ??? 6.如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围 是( ) A .{2}∪(4,)+∞ B .(2,)+∞ C .{2,4} D .(4,)+∞

高三数学一轮复习导数导学案

课题: 导数、导数的计算及其应用 2课时 一、考点梳理: 1.导数、导数的计算 (1).导数的概念:一般地,函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx =__________,称其为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或0|x x y '=. (2).导函数: 记为f ′(x )或y ′. (3).导数的几何意义: 函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)的几 何意义是曲线y =f (x )在x =x 0处的切线的斜率.相应地,切线方程为______________. ! (4).基本初等函数的导数公式 (5).导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′=__________;(2)[f (x )·g (x )]′=__________;(3)??? ?f x g x ′ =__________(g (x )≠0). (6).复合函数的导数: 2.导数与函数的单调性及极值、最值 (1)导数和函数单调性的关系: (1)对于函数y =f (x ),如果在某区间上f ′(x )>0,那么f (x )为该区间上的________;如果在某区间上f ′(x )<0,那么f (x )为该区间上的________. (2)若在(a ,b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0,f ′(x )≥0?f (x )在(a ,b )上为____函数,若在(a ,b )上,f ′(x )≤0,?f (x )在(a ,b )上为____函数. [ (2)函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法: 一般地,当函数f (x )在点x 0处连续时, ①如果在x 0附近的左侧________,右侧________,那么f (x 0)是极大值; ②如果在x 0附近的左侧________,右侧________,那么f (x 0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 : ①____________ ;②________________ ;③_________________________. (3)求函数y =f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数y =f (x )在(a ,b )上的________; (2)将函数y =f (x )的各极值与______________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. ` 二、基础自测: 1.若函数f (x )=2x 2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy ),则Δy Δx 等于( ). A .4 B .4x C .4+2Δx D .4+2Δx 2 原函数 导函数 f (x )=c (c 为常数) f ′(x )=0 f (x )=x n (n ∈Q *) ; f ′(x )=________ f (x )=sin x f ′(x )=________ f (x )=cos x f ′(x )=________ f (x )=a x f ′(x )=________ f (x )=e x > f ′(x )=________ f (x )=lo g a x f ′(x )=________ f (x )=ln x f ′(x )=________

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0 lim x ?→f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )=0 lim x ?→f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ;(2)y =x ? ?? ??x 2+1x +1x 3; 解 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x 1x =? ?? ??ln x +1x e x .(2)因为y =x 3 +1+1x 2, 所以y ′=(x 3)′+(1)′+? ?? ??1x 2′=3x 2 -2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+ln x ,则f ′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1 x ,∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3,则a 的值为________. (2)f ′(x )=a ? ?? ??ln x +x ·1x =a (1+ln x ).由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a ,又f ′(1)=3,所以a =3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1 -x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1 +x .又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=e x -1 +x , 所以当x >0时,f (x )=e x -1 +x .因此,当x >0时,f ′(x )=e x -1 +1,f ′(1)=e 0 +1=2.则曲线y =f (x )在点(1, 2)处的切线的斜率为f ′(1)=2,所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0. 答案 2x -y =0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( )A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0

高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

高考数学导数的解题技巧

2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合,考查不等式、导数的应用等知识,难度属于中等难度。 都有什么题型呢? ①应用导数求函数的单调区间,或判定函数的单调性; ②应用导数求函数的极值与最值; ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦? 导数的解题技巧还是比较固定的,一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域(最容易忽略的,请牢记); ②求方程f′(x)=0的解,这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间; ③研究各小区间上f′(x)的符号,f′(x)>0时,该区间为增区间,反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论,函数的最值可能会出现极值点处或者端点处,多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围,根据题目会有一定的变化,那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1.若题目考察的是导数的概念,则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义,注意区分导数与△y/△x 之间的区别。

观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。

2020届高考数学导数的11个专题

目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)

导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义:利用导函数的正负来判断原函数单调性; 二、分类讨论求函数单调性:含参函数的单调性问题的求解,难点是如何对参数进行分类讨论, 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤: 第一步、求函数的定义域、求导,并求导函数零点; 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论;当导函数存在多个零点的时,讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系(分类讨论); 第三步、画出导函数的同号函数的草图,从而判断其导函数的符号(画导图、标正负、截定义域);第四步、(列表)根据第五步的草图列出f '(x),f (x)随x 变化的情况表,并写出函数的单调区间; 第五步、综合上述讨论的情形,完整地写出函数的单调区间,写出极值点,极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点: 1.最高次项系数是否为0; 2.导函数是否有极值点; 3.两根的大小关系; 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路: (1)已知函数在区间上单调递增或单调递减,转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立; (2)已知区间上不单调,转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参 变量的范围; (3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间,转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 (1)参变分离; (2)导函数的根与区间端点直接比较;

高考数学第一轮复习导数概念和几何意义

第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2014年高考会这样考】 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导. 【复习指导】 本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1.函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1 . 若Δx =x 2-x 1,Δy =f (x 2)-f (x 1),则平均变化率可表示为Δy Δx . 2.函数y =f (x )在x =x 0处的导数 (1)定义 称函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx = li m Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=li m Δx →0Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))处切线的斜率.相应地,切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0). 3.函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )=li m Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx 为f (x )的导函数,导函数有时也记作y ′. 4.基本初等函数的导数公式 若f (x )=c ,则f ′(x )=0; 若f (x )=x α(α∈R ),则f ′(x )=αx α-1; 若f (x )=sin x ,则f ′(x )=cos x ;

高考数学函数与导数

回扣2 函数与导数 1.函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围; ②若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集;反之,已知f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为函数y =g (x )(x ∈[a ,b ])的值域; ③在实际问题中应使实际问题有意义. (2)常见函数的值域 ①一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R ; ②二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0):当a >0时,值域为????4ac -b 2 4a ,+∞,当a <0时,值域为? ???-∞,4ac -b 2 4a ; ③反比例函数y =k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}. 2.函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称),都有f (-x )=-f (x )成立,则f (x )为奇函数(都有f (-x )=f (x )成立,则f (x )为偶函数). (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f (x ),如果对于定义域内的任意一个x 的值:若f (x +T )=f (x )(T ≠0),则f (x )是周期函数,T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f (x )满足f (x +a )=f (x -a ),则f (x )为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设f (x )是R 上的偶函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期. ③设f (x )是R 上的奇函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性 ①若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x ), 即f (x )=f (2a -x ), 则f (x )的图象关于直线x =a 对称.

届高三数学第一轮复习导数

导 数 第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义 重难点:了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 考纲要求:①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义. 经典例题:利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数. 当堂练习: 1、在函数的平均变化率的定义中,自变量的的增量x ?满足( ) 2 3 ) 4 5A C 6A .7A .f ′(x0)>0 B .f ′(x0)<0 C .f ′(x0)=0 D .f ′(x0)不存在 8.已知命题p :函数y=f(x)的导函数是常数函数;命题q :函数y=f(x)是一次函数,则命题p 是命题q 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 9.设函数f(x)在x0处可导,则0 lim →h h h x f h x ) ()(00--+等于 A .f ′(x0) B .0 C .2f ′(x0) D .-2f ′(x0) 10.设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A .0 B .1 C .-1 D .不存在 11.若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴,则此曲线的函数必是___. 12.两曲线y=x2+1与y=3-x2在交点处的两切线的夹角为___________. 13.设f(x)在点x 处可导,a 、b 为常数,则0 lim →?x x x b x f x a x f ??--?+) ()(=_____. 14.一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m ,时间单位:s),求小球在t=5时的 瞬时速度________. 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm ,时间单位:s), (1)当t=2,Δt=0.01时,求t s ??. 法则3 2()()v x v x ???? 经典例题:求曲线y=2 1x x +在原点处切线的倾斜角. 当堂练习: 1.函数f (x )=a4+5a2x2-x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2-x6 B.4a3+10a2x -6x5 C.10a2x -6x5 D.以上都不对 2.函数y=3x (x2+2)的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势: 综观2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1.(2007年北京卷)()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

高三数学第一轮复习导数讲义(小结)

高三数学第一轮复习导数讲义(小结) 一.课前预习: 1.设函数()f x 在0x x =处有导数,且1)()2(lim 000=?-?+→?x x f x x f x ,则0()f x '=( C ) ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 2 1 2.设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如下图(1)所示,则()y f x =的图象 ( D ) 3.若曲线3y x px q =++与x 轴相切,则,p q 之间的关系满足 ( A ) ()A 22()()032p q += ()B 23()()023 p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4.已知函数23()2 f x ax x =-的最大值不大于16,又当11[,]42x ∈时,1()8f x ≥,则a = 1 . 5.若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-,则()f x =42x -. 四.例题分析: 例1.若函数3211()(1)132 f x x ax a x = -+-+在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,)+∞上为增函数,试求实数a 的取值范围. 解:2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---, 令()0f x '=得1x =或1x a =-, ∴当(1,4)x ∈时,()0f x '≤,当(6,)x ∈+∞时,()0f x '≥, ∴416a ≤-≤,∴57a ≤≤. 例2.已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数,当1x =时()f x 取得极值2-, (1)求()f x 的单调区间和极大值; (2)证明对任意12,(1,1)x x ∈-,不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. 解:(1)由奇函数的定义,应有)()(x f x f -=-,R x ∈, 即d cx ax d cx ax ---=+--33,∴ 0=d ,∴cx ax x f +=3)(,∴c ax x f +='23)(,由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值,必有0)1(='f ,故???=+-=+0 32c a c a , 解得1=a ,3-=c ,∴x x x f 3)(3-=,)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f , ∴0)1()1(='=-'f f ,

(完整版)高三文科数学导数专题复习

高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . (Ⅰ)求a ,b 的值; (Ⅱ)设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件: (1)直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点; (2)对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明:直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< (1)求函数)(x f 的极大值; (2)若[]1,1x a a ∈-+时,恒有()a f x a '-≤≤成立(其中()f x '是函数()f x 的导函数),试确定实数a 的取值范围. 3.如图所示,A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点,且AB//x 轴,点M (1,m )(m>3)是△ABC 边AC 的中点. (1)设点B 的横坐标为t ,△ABC 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式)(t f S =; (2)求函数)(t f S =的最大值,并求出相应的点C 的坐标.

4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. (I )求)(x f 、)(x g 的表达式; (II )求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解; (III )当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值,曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--,试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0((a 为实数). (1)当1-=a 时,求函数)(x f y =的值域; (2)若函数)(x f y =在定义域上是减函数,求a 的取值范围; (3)求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ,使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -,且()2p f e qe e =--,其中e 是自然对数的底数. (1)求p 与q 的关系;

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习(基础精心整理)学生版 【基础知识】 1.导数定义:在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①;②;③;④; ⑤;⑥;⑦;⑧ 。 3.导数的四则运算法则: (1) (2) (3) 4.导数的应用: (1)利用导数判断函数单调性: ①是增函数;②为减函数;③为常数; (2)利用导数求极值:①求导数;②求方程的根;③列表得极值(判断零点两边的导函数的正负)。 (3)利用导数求最值:比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤:(1)求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-;(2)求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ;(3)取极限,得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是( ) A. 41- B. 2 C. 4 1 D. -2 变式1:()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→( ) A .-1 B.-2 C .-3 D .1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

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