§5.6.2数量积的运算律
向量数量积的运算律
一．课题： §5．6 向量数量积的运算律
二．教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
三．教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；
四．教学过程：
（一）复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；
2．判断下列各题正确与否： ①若0a = ，则对任一向量b ，有0a b ?= ； ( √ ) ②若0a ≠ ，则对任一非零向量b ，有0a b ?≠ ； ( × ) ③若0a ≠ ，0a b ?= ，则0b = ； ( × ) ④若0a b ?= ，则,a b 至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ?=? ，则b c = 当且仅当0a ≠ 时成立； ( × ) ⑥对任意向量a ，有22||a a = ． ( √ )
（二）新课讲解： 1．交换律：a b b a ?=? 证：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ?=?? ，||||cos b a b a θ?=?? ∴a b b a ?=? ．
2．()()()a b a b a b λλλ?=?=? 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ?= ， ()||||cos a b a b λλθ?= ， ()||||cos a b a b λλθ?= ， 若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ?=-=--= ， ()||||cos a b a b λλθ?= ， ()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ?=-=--= ．
3．()a b c a c b c +?=?+? ． 在平面内取一点O ，作OA a = , AB b = ，OC c = ， ∵a b + （即OB ）在c 方向上的投影等于,a b 在c
即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+ ， ∴()c a b c a c b ?+=?+? 即：()a b c a c b c +?=?+? ．
4． 例题分析： 例1．已知,a b 都是非零向量，且3a b + 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b - 垂直，求a 与b 的夹角。解：由题意可得：(3)(75)0a b a b +?-= ? 22716150a a b b +?-= ① (4)(72)0a b a b -?-= ? 2273080a a b b -?+= ②
C c
向量数量积的运算律 两式相减得：22a b b ??= ， 代入①或②得：22a b = ，
设,a b 的夹角为θ，则221cos ||||2||2
a b b a b b θ?=== ∴60θ= ，即a 与b 的夹角为60 ．
例2．求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 证明：如图： ABCD ：=，=，AC AB AD =+ ， ∴2222||||2AC AB AD AB AD AB AD =+=++? ， 而BD AB AD =- ， ∴2222||||2BD AB AD AB AD AB AD =-=+-? ， 所以，2||AC + 2||BD = 2222AB AD + = 2222||||||||AD DC BC AB +++． 例3．,a b 为非零向量，当a tb + ()t R ∈的模取最小值时， ①求t 的值； ②求证：b 与a tb + 垂直。 解：①2222||||||2a tb a t b t a b +=++?? ， ∴当2222||a b a b t b b ??=-=- 时, ||a tb + 最小； ②∵22()0a b b a tb a b b b ??+=?-?= ，
∴b 与a tb + 垂直。
例4．如图，,,AD BE CF 是ABC ?的三条高，求证：,,AD BE CF 相交于一点。 证：设,BE CF 交于一点H ，,,AB a AC b AH h === , 则,,BH h a CH h b BC b a =-=-=- ∵,BH AC CH AB ⊥⊥ ∴()0()0h a b h b a ?-?=??-?=?? 得()()h a b h b a -?=-? ，
即()0h b a -= ， ∴AH BC ⊥ ，
又∵点D 在AH 的延长线上，
∴,,AD BE CF 相交于一点。
五．小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。
六．作业： 课本119P 习题5.6 第2，4题， 补充：1．向量,a b 的模分别为2,1，,a b 的夹角为30
b - 的模； 2．设,a b 是两个不相等的非零向量，且||||||a b a b ==- ，求a 与a b + 的夹角。 3．设28,816a b i j a b i j +=--=-+ ，,i j 是相互垂直的单位向量，求a b ? ．
七．教学反思： A B D
C C