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2011年江苏十三大市各模考填空题压轴题的解答

2012届赣马高级中学填空题压轴题常见题型复习指导1

题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N

，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ．m 的取值集合为{0，3，14，30}．

注将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m

是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．

题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则2011

1()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ． 2013．

变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则1

1()n

i i i a b n =+∑的值是 ▲ ． 3．

变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i b j =a k b l ，记c n

{c n }的通项公式是 ▲ ． 12

n -?．

题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． k =2为所求．

题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B

+= ，则m = ▲ ．(用θ表示)m =sin θ．

A B

C O

E F

D 图1

图4

题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数2

2410()20e

x x x x f x x ?++

=???≥, , , , 则()f x 的“友好点

对”有 ▲ 个．2个．

题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O

为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为

C ，则BA BC ? = ▲ ．22

24(1)144

=ππ=--π．

题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20

(,)3

+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．有4个不同的值．

题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过

P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．值为

题9(盐城市一模) 已知函数2342011

()12342011

x x x x f x x =+-+-+???+，

2342011

()12342011

x x x x g x x =-+-+-???-

，设()(3)(3)F x f x g x =+?-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为

▲ ． 9．

题10(南通市一模) 是 ▲ ．

2．

变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k 为常数，且0

max

max 21()()2(1)

ABC ABD l S S k k ??==-．变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0

23(1)(2)l k k

-+．

注本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC

的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．

2012届赣马高级中学填空题压轴题常见题型复习指导2

题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．

．题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin 2αα

+= ▲ ．

2．

题13(苏北四市二模) 已知函数

()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，

且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ．6．

题14(南京市二模) 已知函数f (x )=211

x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值

范围是 ▲ ． 8

≥-．

变式已知函数f (x )=2111

x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ． {8

3-}．

题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记

S n =2211

(1)1

(1)2()()222n

k k k k n f g n n ==-π--π

-∑

∑，T m =S 1+S 2+…+S m ．若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ． 5．

题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则21

22m

n m n +?+?的最小值为

▲ ． 4．

题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2

+y 2

=1上相异三点，

若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+

，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ． (2,)+∞．

图10

λ+

图12

题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ．故第13行第10个数为 111216142922?+?=．

题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MN

取最小值时，CN = ▲ ．

题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．

c =2或c =1．

变式定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|

．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．

c =4

题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． a <2011

．

题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ．

(,][2,)3-∞-+∞ ．

题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=3

12x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．

116

．

题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．1

．

2012届赣马高级中学填空题压轴题常见题型复习指导

题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N

，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ．解当x ∈Z ，且x ≤10

时，Z ．若m =0，则x = -5为函数f (x )的整数零点．若m ≠0，则令f (x )=0，得m

∈N ．

注意到-5≤x ≤10

N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，22

，14，30}．

故m 的取值集合为{0，3，14，30}．

注将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m

是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．

题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则2011

1()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ．

解依题设，有b n +1-b n =a 2-a 1=1，从而数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列．同理可得，{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．所以，数列{a n +b n }是以3为首项，2为公差的等差数列．所以，201111()2011i i i a b =+∑=120112010

(201132)20112

??+?=2013．

变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有

a i -

b j =a k -b l ，则1

1()n

i i i a b n =+∑的值是 ▲ ．

略解依题设，有a i -b j =a j -b i ，于是a i +b i =a j +b j ，所以a n +b n =3，1

1()n

i i i a b n =+∑=3．

变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有

a i

b j =a k b l ，记

c n

{c n }的通项公式是 ▲ ．略解由a 2b n =a 1b n +1，得121

2n n b a b a +==，故b n =2n ．同理，a n =1

2n -，通项公式为1

232n -?．

题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )

在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ．解依题意，有0≤(k -1)x -1≤(x +1)ln x 在x ∈[1，2e]上恒成立．

当x ∈[1，2e]时，函数f (x )=(k -1)x -1的图象为一条线段，于是(1)0,

(2e)0,f f ≥??≥?

解得k ≥2．

另一方面，k -1≤(1)ln 1

x x x

++在x ∈[1，2e]上恒成立．

令m (x )=

(1)ln 1x x x ++=ln 1ln x x x x ++，则2

ln ()x x

m x x -'=

．

因1≤x ≤2e ，故1

(ln )1x x x

'-=-

≥0，于是函数ln x x -为增函数．

所以ln x x -≥1ln1->0，()m x '≥0，m (x )为[1，2e]上的增函数．所以k -1≤[m (x )]min =m (1)=1，k ≤2．

综上，k =2为所求．

题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B

，则m = ▲ ．(用θ表示)

解法1 如图1，作OE ∥AC 交AB 于E ，作OF ∥AB 交AC 于F ．由正弦定理，得

s i n s i n s i n A E A O

A O

A O E A E O A

．又∠AOE =∠OAF =2ADC π-∠=2B π

-∠，

所以cos sin AO B AE A

=，所以cos sin AO B AB AE A AB =?

．

同理，cos sin AO C AC

AF A AC

．

因AE AF AO += ，故

cos cos sin sin AO B AB AO C AC AO A AB A AC

?+?=

．因2sin sin AB AC AO C B ==，故上式可化为cos cos 2sin sin 2sin sin B C AB AC AO A C A B

，即cos cos 2sin sin sin B C AB AC A AO C B

+=?

，所以m =sin θ．

解法2 将等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B

两边同乘以2AO ，得

222

cos cos 4sin sin B C AB AC mAO C B +=，即2222

cos cos sin 4sin 4B AB C AC m C AO B AO

=?+?．

由正弦定理，得

m =

cos cos sin sin sin sin B C C B C B

+=cos B sin C +cos C sin B =sin(B +C )=sin A =sin θ．解法3 将已知等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=

两边平方，得

2222

cos cos cos cos 2cos 4sin sin sin sin B C B C AB AC AB AC A m AO C B C B

++?=．由正弦定理，得

m 2=22cos cos 2cos cos cos B C B C A ++ =222cos sin (cos cos cos )B A B A C ++ =222cos sin (cos cos cos())B A B A A B +-+ =222cos sin (sin sin )B A B A + =sin 2A =2sin θ．

注意到m >0，故m =sin θ．

注 1．本题虽难度较大，但得分率却较高．其主要原因是考生利用了特值法，令△ABC 为正三角形，

即得m

m =sin θ． 2．题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧

C O

F D 图1

面表示AO

；解法2与解法3，是或将向量等式两边同乘某个向量，或将等式两边同时平方，进而达到去

除向量的目的．

题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20e

x x x x f x x ?++

=???≥, , , , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．