数学广角抽屉原理-课件

数学广角——抽屉原理(23)

数学广角 ——抽屉原理 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）六年级下册第70页。 教学目标 1.经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解 决简单的实际问题。 2.通过操作发展类推水平，培养数学思维。 3.通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的价值。 教学准备 多媒体课件、铅笔、文具盒等。 教学过程 一、谈话引入 1.生活引入 师：同学们，大家在一起学习六年了，你对你的同学是几月出生的了解吗？ 有谁知道全班同学各是几月出生的吗？ 老师知道全班的同学的生日月份的情况，你们相信吗？ 师：你们全班45位同学，我敢肯定，总有一个月至少有4人过生日。同学们相信吗？ 学生有的相信，有的不相信。 2.讨论验证 师：有相信的也有不信的，那怎么来验证呢？ 师：如果是这个月生日的呢？ 符合的学生站起来。 师：请5月份生日的同学起立。 师：（挑一个都没有过生日的月份来说说）一个都没有啊！那我的这个结论对吗? 学生思考并回答 师：说说理由。 根据学生的回答，板书：总有一个月 师：谁来解释一下，什么叫“总有一个月”？ 师：他用了非常好的一个词语，“某一个月”，是这个意思吗？大家都同意吗？ 师：我们注意到了“总有”这个词，非常不简单！ 师：选一个多于4个同学过生日的月份来说说。如：7位同学。 师：我的结论准确吗？ 师：奇怪，我刚刚说的是4个人，这里却站了7名同学，明显多了啊？ 根据学生的回答板书：至少。 师：真了不起，你们还发现了这个词语！“至少”又怎么解释呢？ 学生思考并回答。 师：再选一个多于4人过生日的月份来说说，如：5位同学。 师：怎么有超过4人啦！我刚刚明明说一个月呀，怎么还有超过4人的呢》我的结论还准确吗？

小学奥数之容斥原理

五．容斥原理问题 1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11 最大值就是含铁的有43种 2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是 解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得a23＝a2－a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。 然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2＝6人。 3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？ 答案：及格率至少为71％。 假设一共有100人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）

小学抽屉原理

《数学广角—抽屉原理》教学设计 【教学目标】 1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2．通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。 3、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 4、通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。 【教学重、难点】经历“抽屉原理”的探究过程，理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教学准备】 1、教学ppt课件 2、铅笔120支 (小棒代替) ，笔盒100个（杯子代替），每个小组3个杯子，5支小棒；扑克牌1副，凳子4把。 【教学流程】 一、问题引入。 师：在上课前，老师特别想和同学们做个游戏，谁愿来？老师准备了4把椅子，请5 位同学上来。

1．游戏要求：老师喊“准备”，你们5位同学围着椅子走动，等老师喊“开始”后请你们5个都坐在椅子上，每个人都必须坐下。 2.师：“准备”，“开始”，他们都坐好了吗？老师不用看就知道总有一把椅子上至少坐着两名同学，是这样的吗？如果反复再做，还会是这样的结果吗？ （游戏开始，让学生初步体验不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象。） 3、引入：看来，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。你知道这是什么道理吗？这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。 4、明确学习目标与任务： 师：看到这个课题，你能想到这节课我们将要学习哪些知识吗？（学生表达想法） 课件出示学习目标与要求 1）、了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2）通过实验操作、自主探究、小组合作发现抽屉原理。 3）感受数学文化的魅力，提高对数学的兴趣。 二、探究新知 （一）教学例1 为了研究这个原理，我们做一组实验。 1、观察猜测 课件出示例1：把4支铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放总有一个文具盒至少放 进____支铅笔。 猜一猜：不管怎么放，总有一个文具盒至少放进 ____支铅笔。

2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理

【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理，欢迎加入国家公务员考试QQ群：242808680。更多信息请关注安徽人事考试网https://www.sodocs.net/doc/0316218160.html, 【推荐阅读】 2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】 容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠 的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数 目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是 A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示： 公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、 数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一 门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现 两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1 次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩ C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

数学广角抽屉原理教案

数学广角 ———抽屉原理教学设计 教学内容：人教版新课标小学数学六年级下册数学广角——抽屉原理P70—71页以及相应的“做一做”，练习十二第1题． 教学目标： 知识目标：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 能力目标：会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 情感目标：通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。 教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 教学难点：理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。 教学理念：充分发挥学生的主体作用，让学生自主参与知识探究的全过程，主动构建新知，发展学生思维,培养学生研究数学的能力。 教学准备：课件铅笔文具盒 教学过程： 一、创设情景，导入新课 游戏：师：同学们玩过扑克牌吗？扑克牌有几种花色？（出示扑克牌）取出两张王牌，下面请5名同学上来和我一起做个游戏，要求：5名同学每人在剩下的52张扑克牌中任意取出1张，取出牌后把牌打开面向同学们，同学们仔细观察他们抽出的牌，不许出声音。（师生演示） 师：我没有看牌，但我能肯定地说：这两名同学每人手中的5张牌至少有两张是同花色的。请同学们验证，我说得对吗？ 师：想知道老师为什么能做出如此准确的判断吗？这其中蕴含一个有趣的数学原理，这个原理称为抽屉原理。（板书课题）这节课我们就一起来研究这个数学原理，探究抽屉原理的奥秘 二、自主操作探究新知 （一）课件出示，活动1：把4枝铅笔放进3个文具盒里。 师：请同学们看活动要求，指生读。 师：在活动过程中，老师想让同学们验证一句话对不对。 课件出示：不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。 ①指生读或齐读。 ②在这句话中，“总有”是什么意思？（一定有） “至少”放进2枝是什么意思？（最少2枝、不能少于放进2枝、多于或等于放进2枝、有可能比2枝多） ③请同学们动手放一放，看一看有几种不同的方法？做好记录并验证这句话对 不对。（学生动手操作，师巡视，了解情况，个别指导） 师：谁来说说你们组有几种不同的摆放方法，是怎样摆放的？ 学生汇报，师板书记录： 1.枚举法：生：四种方法 ①一个文具盒里里放4枝，其余的2个文具盒没有。（4、0、0） ②一个文具盒里放3枝，一个里放1枝，另一个没有。（3、1、0） ③一个文具盒里放2枝，第二个里放2枝，第三个没有。（2、2、0） ④一个文具盒里放2枝，第二个里放1枝，第三个里放1枝。（2、1、1） 师：你们同意他的放法吗? 如果学生把（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4）认为是三种放法，可以向学生说明：

国考行测暑期每日一练数学运算：容斥原理和抽屉原理精讲

2015国考行测暑期每日一练数学运算：容斥原理和抽屉原理精讲 容斥原理和抽屉原理是国家公务员测试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示： 公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末测试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C -A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

集合与容斥原理

第一讲集合与容斥原理 数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。 集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1．集合的概念 集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征： （1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与a?A仅有一种情况成立。 （2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素. （3）无序性 2．集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：R , ,应熟记。 N, Z Q 3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。 4．子集、真子集及相等集 （1）A?? B A?B或A＝B； （2）A?B?A?B且A≠B； （3）A＝B?A?B且A?B。 5．一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有n2个不同的子集，其中有n2－1个非空子集，也有n2－1个真子集。 6．集合的交、并、补运算 x∈} A B={A |且B x∈ x x∈} A B={A |或B x x∈ x?} A∈ {且A =| I x x 要掌握有关集合的几个运算律： （1）交换律A B＝B A，A B＝B A； （2）结合律A （B C）＝（A B） C， A （ B C）＝(A B) C；

小学六年级数学下数学广角 抽屉原理练习题

数学广角——《抽屉原理》练习 姓名成绩 1、你所在的班中，至少多少人中，一定有2个人的生日在同一个月？ 2、你所在的班中，至少有多少人的生日在同一个月？ 3、32只鸽子飞回7个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同个鸽舍？ 4、在街上任意找来50个人，可以确定，这50人中至少有多少个人的属相相同？ 5、飞英学校五、六年级共有学生370人，在这些学生中，至少两个人在同一天过生日，为什么？ 6、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是42环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？ 7、幼儿园买来不少猴、狗、马塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么至少几个小朋友中才能保证有两人选的玩具相同。 8、有一个布袋里有红色、黄色、蓝色袜子各10只，问最少要拿多少只才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子。 9、有红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？

10、抽屉理有4支红铅笔和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿几支，才能保证至少有1支蓝铅笔？ 加分题：每题20分 1、要拿出25个苹果，最多从几个抽屉中拿，才能保证从其中一个抽屉里至少拿了7个苹果 2、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 3、五年级有49名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间，问至少有名学生的成绩相同。 4、一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现，从石子堆中任意选出五堆，其中至少有两堆石子数之差是4的倍数，你说他的结论对吗？为什么？ 5、从2、4、 6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

容斥原理与鸽巢原理的应用

摘要 容斥原理和鸽巢原理作为组合数学中的基本内容，就原理本身而言简单易懂.然而，由于此二者分别在组合计数问题和存在性问题的应用中所展现出来的魅力，国内外学者在很多书籍、学术性论文中关于容斥原理和鸽巢原理的应用进行了探讨，并且关于此方面的研究已取得一系列的成果. 本文主要是以综述的方式从起源、理论和应用三方面对容斥原理和鸽巢原理进行了介绍和分类探讨. 首先介绍了容斥原理分别与加法理论、减法理论的区别与优势，并与实际问题相结合突出其优势所在.其次本文介绍了鸽巢原理的两种具体形式及其推论，并对鸽巢原理在数学理论研究、数学竞赛题目、解决实际生活中的问题等方面的应用进行介绍后，对鸽巢原理的应用中所常见的几种构造“鸽巢”的方法进行了分类谈论. 最后，针对鸽巢原理，我们给出针对新疆某区域关于旅游产品的实际应用实例，并提出了个人见解. 关键词：容斥原理，鸽巢原理，构造方法，鸽巢，鸽子

ABSTRACT As the basic content of combinatorial mathematics, the principle of tolerance and the theory of pigeon nest the principle itself is simple and understandable. However, due to the charm of the two applications in combinatorial counting and existential problems, scholars at home and abroad have probed into the application of the principle of tolerance and the pigeon nest in many books and academic papers, And the research on this aspect has made a series of achievements. In this paper, the author introduces and classifies the theory of tolerance and doctrine and the principle of pigeon nest in the way of summarization from the origin, theory and application. Firstly, the differences and advantages between the theory of tolerance and exclusion and the theory of addition and subtraction were introduced. and the actual problem with the combination of highlighting its advantages. Secondly, this paper introduces two concrete forms of pigeon nest principle and its inference, and introduces the application of pigeon nest principle in mathematics theory research, Maths contest problem, solving real life problems and so on. , several common methods of constructing pigeon nest in the application of pigeon nest principle are classified and discussed. Finally, according to the pigeon Nest principle, we give a practical example of the tourism products in a region of Xinjiang, and put forward personal opinions. KEY WORDS: inclusion-exclusion principle, pigeonhole principle, construction method, pigeonhole, pigeon

抽屉原理

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简单 1.在一米长的线段上任意点六个点。试证明：这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。 2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。请你证明：他们中至少有两个人是在同一天出生的。 3.夏令营有400个小朋友参加，问：在这些小朋友中， (1)至少有多少人在同一天过生日？ (2)至少有多少人单独过生日？ (3)至少有多少人不单独过生日？ 4.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。试证明：不管怎样插，至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。 5.在100米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵之间的距离小于10米？ 6.在一付扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有？ 7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？ 8.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问： (1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ (2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子？ (3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子？ 9.据科学家测算，人类的头发每人不超过20万根。试证明：在一个人口超过20万的城市中，至少有两人的头发根数相同。 10.第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。试证明：在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。 11.证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。

数学广角《抽屉原理》教案

数学广角《抽屉原理》教案 【教学内容】 《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）六年级下册第70—71页。 【教学目标】 1．经历“抽屉原理”的探究过程，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。 3．培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 4．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。提高学生解决数学问题的能力和兴趣。 【教学重点】 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 【教学难点】 理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教具准备】：多媒体课件一副扑克牌 【学具准备】：每组准备5支铅笔和3个文具盒。 【教学过程】： 一、创设情境，揭示课题。 教师：我们先来做个小游戏，请5名同学到台前来。向学生介绍：这是一副扑克牌，取出大王、小王，还剩多少张？知道这副牌有几种花色吗？请5名学生分别抽取一张牌。 教师：每个人抽到的是几，我不知道。但我可以肯定的说：这5张牌中，至少有两张牌的花色是一样的。让学生理解“至少”，并验证老师猜的对不对。再让学生抽取一次，教师猜，验证。 教师：如果让这些同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的，你们相信吗？ 引导：老师为什么能做出准确的判断呢？我不是刘谦，不会变什么魔术，我只不过运用了一个简单的数学原理，那么现在我们就在这个数学广角里一起来研究这个原理。（板书：抽屉原理）

师：抽屉是什么知道吧，对，可以指课桌的抽屉，我们可以把物体放进去，比如书、铅笔盒等，比如把3本书放进两个抽屉，有几种放法？我们试试看我们今天学习的抽屉原理到底是关于什么呢？让我们一起来研究。 【二】动手操作，获取新知 （一）动手实践 1、教师引导：这个原理是什么？你们想不想自己通过动手实践来发现它？每个小组都有4枝铅笔，把它们放进3个笔筒中，怎么放？会有几种放法？由此，你有什么发现吗？自己动手在小组内分一分，画一画，说一说，把结果记录下来，一会儿全班交流。（学生动手操作、交流、师巡视、指导） 2、全班交流，学生说自己的分法，师板书在黑板中。并让学生说说自己的发现（明确：无论怎么分，总有一个铅笔盒至少有2枝铅笔），教师追问：总有是什么意思？至少有两支呢？ 3、师：你们都有这样的发现吗？再找学生说。全班明确：把4枝铅笔放进3个铅笔盒中，不管怎么放，总有一个铅笔盒中至少有2枝铅笔，这是我们通过实际动手操作，列举出所有分法之后得出的结论。我们把这种方法称为“枚举法”（板书）这是数学中常见的一种方法。 把5枝笔放在4个笔筒里，还是不管怎么放,总有一个笔筒里至少放进了2枝笔吗？ 4、接着引导：在刚才的分铅笔活动中，你有没有发现，只摆一种或者不摆，也能得出刚才的结论呢？ 明确：我们从最不利的情况考虑，假设每个铅笔盒中都先放一支，最多放3枝，剩下的一支不管放进哪一个铅笔盒中，总有一个铅笔盒中至少有2枝铅笔。 5、教师质疑：这种分法，实际就是先怎么分？（平均分） 6、师：这种方法，我们称为“假设法”（板书）先假设每个铅笔盒中都放一支，余下的一支无论放到哪个铅笔盒中，都会出现“总有一个铅笔盒中至少有2枝铅笔”的结论。 7、师：既然是平均分，能用算式表示吗？生说，师板书。 质疑：这两个1表示的一样吗？

数学广角《抽屉原理》教学案例

数学广角《抽屉原理》教学案例 江口小学钟从英 一、教学依据 《义务教育课程标准实验教科书》六年级数学下册第五单元第一课时，教学第70—71页的例1、例2和做一做，练习十二的第2、4题。 二、设计思路 （一）指导思想 本课通过直观和实际操作，使学生进一步经历“抽屉原理”的探究过程，并对一些简单的实际问题“模型化”，从而在用“抽屉原理”加以解决的过程中，促进逻辑推理能力的发展，培养分析、推理、解决问题的能力以及探索数学问题的兴趣，同时也使学生感受到数学思想方法的奇妙与作用，在数学思维的训练中，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识。 （二）设计理念 激趣是新课导入的抓手，喜欢和好奇心比什么都重要，让学生置身游戏中开始学习，为理解抽屉原理埋下伏笔。通过小组合作，动手操作的探究性学习把抽屉原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的内容。特别是对教材中的结论“总有、至少”等字词作了充分的阐释，帮助学生进行较好的“建模”，使复杂问题简单化，简单问题模型化，充分体现了新课标的要求。 （三）教材分析

《抽屉原理》是义务教育课程标准实验教科书数学六年级下册第五单元数学广角的教学内容。是组合数学中的一个重要原理。这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。 （四）学情分析 学生在生活中常常能遇到“抽屉原理”的实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”。教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级的学生都有一定的逻辑思维能力、小组合作能力和动手操作能力，加上已有的生活经验，很容易感受到用“抽屉原理”解决问题带来的乐趣。教学时可以借助实物操作或画草图的方式来指导学生学习。因此我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”，能用有余数的除法算式表示思维的过程。 因为要面向农村，所以学生的基础很薄弱，但教材要求要“知其然，更要知其所以然”，所以在设计上要精致一些，巧妙一些，要循序渐进。 三、教学目标 知识与技能：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

抽屉原理和容斥原理

I ．抽屉原则 10个苹果放入9个抽屉中，无论怎么放，一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这 个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此，又称为狄利克雷原则. 将苹果换成信、鸽子或鞋，把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒，这个原则又叫做信筒原则、 鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则，把它推广到一般情形就得到下面几种形式： 原则一：把m 个元素分成n 类（m >n ），不论怎么分，至少有一类中有两个元素. 原则二：把m 个元素分成n 类（m >n ） （1）当n |m 时，至少有一类中含有至少 n m 个元素； （2）当n |m 时，至少有一类中含有至少[n m ]+1个元素. 其中n m 表示n 是m 的约数，n m 表示n 不是m 的约数，[ n m ]表示不超过n m 的最大整数. 原则三：把1221+-+++n m m m 个元素分成n 类，则存在一个k ，使得第k 类至 少有k m 个元素. 原则四：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素. 以上这些命题用反证法极易得到证明，这里从略. 一般来说，适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性. 如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题： （1）什么是“苹果”？ （2）什么是“抽屉”？ （3）苹果、抽屉各多少？ 用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定

人教版初中《抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案

人教版初中《抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案 抽屉原理和容斥原理 24.1 抽屉原理 24.1.1★在任意的61个人中，至少有6个人的属相相同． 解析 因为一共有12种属相，把它看作12个抽屉，61151612?? +=+=????，根据抽屉原理知， 至少有6个人的属相相同． 评注 抽屉原理又称鸽笼原理或狄里克雷原理．这一简单的思维方式在解题过程中却可以有很多颇具匠心的运用．抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现．许多有关存在性的证明都可用它来解决． 抽屉原理1 如果把1n +件东西任意放入n 个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两件东西． 抽屉原理2 如果把m 件东西任意放人n 个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有女件东西，这里 ,1,m m n n k m m n n ??? =? ??? +????? ?是的位不是的位当数时; 当数时. 其中[]x 表示不超过x 的最大整数 ，例如[]33=，[]4.94=，[]2.63-=-等等． 24.1.2★从2，4，6，…，30这15个偶数中任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34． 解析 把2，4，6，…，30这15个数分成如下8组（8个抽屉）； （2）（4，30），（6，28），（8，26），（10，24），（12，22），（14，20），（16，18）． 从2，4，6，…，30这15个数中任取9个数，即是从上面8组数中取出9个数．抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的和就是34． 24.1.3★★在1，2，3， …，100这100个正整数中任取11个数，证明其中一定有两个数的比值不超过 32 ； {}1，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}， {11，12，…，16}，{17，18，…，25}， {26，27，…，39}，{40，41，…，60}． {61，62，…，91}，{92，93，…，100}． 从1，2，…，100中任取11个数，即是从上面10组中任取11个数，由抽屉原理知，其中 一定有两个数取自同一组，这两个数的比值不超过 32 ． 24.1.4★求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除． 解析 任何数除以3所得余数只能是0、1、2，分别构造3个抽屉：{0}、{1}、{2}．（1）若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，从这三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除．（2）若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，根据抽屉原理，其中一个抽

集合与容斥原理

集合与容斥原理 集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。 一、学习集合要抓住元素这个关键。 遇到集合问题，首先要弄请：集合里的元素是什么。 集合学习中，新名词新概念多。如集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法、子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、交集、并集等。新关系新符号多，如属于、不属于、包含、包含于、真 包含、真包含于、相等、不相等、相交、相并、互补(∈、、、、N、N※、Z、Q、R、∩、∪、C s A、 I、＝、≠……)等，这些新概念新关系，多而抽象。在这千头万绪中，应该抓住“元素”这个关键，因为集合是由元素确定的，“子、全、补、交、并、空”等集合也都是通过元素来定义的。集合中元素的特征即“确定性”，“互异性”、“无序性”也就是元素的性质。集合的分类(有限集与无限集)与表示方法(列举法与描述法)也是通过元素来刻画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集合里的元素是什么。 例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X 1，X 2 ∈A，求证：X 1 ×X 2 ∈A。 分析：A中的元素是什么？是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即 (a2+b2)(c2+d2)=(X)2+(Y)2，X,Y∈Z 证明：设X 1＝a2+b2，X 2 =c2+d2，a、b、c、d∈Z 则X1×X2＝(a2+b2)(c2+d2) ＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 ＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2 ＝(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X 1X 2 ∈A 说明：本题的证明中根据A中元素的结构特点使用了配方法和“零”变换(0＝2abcd-2abcd)。命题的结论说明集合A对于其中元素的“·”运算是封闭的。类似的有： 自然数集合N对于“＋”、“×”运算是封闭的 整数集合Z对于“＋”、“－”、“×”运算是封闭的 有理数集合Q对于“＋”、“－”、“×”、“÷”运算是封闭的(除数不能是零)

高中数学抽屉原理容斥原理

高中数学抽屉原理容斥原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一

个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 3．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。 4．已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。 5．在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点。 6．在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除。 7．17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。

小学数学《容斥原理和抽屉原理》教案

容斥原理和抽屉原理 第一课时 教学内容：容斥原理和抽屉原理 教学目标： 本节课是在学生已学过两个基本原理和排列组合基础知识后，对学生提出的较高要求。根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，本节课从知识、方法、能力和发展性等层面确定了相应的教学目标。 教学重点：容斥原理作为解决计数问题的重要方法成为本节课教学重点； 教学难点：而容斥原理由一般到特殊的归纳和推广是本节课的教学难点。 教学方法的选择： 本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用探究、讨论的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。 教学手段的利用： 采用多媒体技术，目的在于通过大容量信息的呈现和生动形象的演示，提高学生学习兴趣、激活学生思维、加深理解。 学法指导： 学法指导的目标：(1)指导学生对一系列问题进行化归，找到解决问题的方法。(2)通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。 教学过程： |一、脑筋急转弯激趣，导入新课 师：同学们，喜欢脑筋急转弯吗？老师出个脑筋急转弯考考你

们？ 脑筋急转弯：一张照片上有两对父子，数数却只有三个人,为什么？ 学：因为多数了一个人，爷爷和爸爸，爸爸和儿子，爸爸多数了，所以，是2+2-1=3（人） 二、讲授新课 师：同学们，你们知道什么容斥原理。 学：不知道。 师：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 师：就像是我们看到的图片一样，把重复的数目排斥出去。你们知道了吗？ 学：知道了 师：下面让我们实际挑战吧 三：出示例1 例1:从1到20中2或3的倍数的个数共有（）个。 师：同学们，我们想知道从1到20中2或3的倍数的个数共有多少个？我们应该怎么来做这题？ 学：我们可以先把2的倍数数出来，在再把3 的倍数数出来 师：那我们现在来数2的倍数？ 学：2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。一共有10个。 师：那么3的倍数又有多少个？

数学广角《抽屉原理》

数学广角《抽屉原理》 教学内容：教材第70、71页的例1、例2 教学目标： 1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 2、会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 3、通过操作发展学生的类推水平，形成比较抽象的数学思维。 教学重点：理解“抽屉原理”。 教学难点：灵活使用“抽屉原理”解决实际问题。 教学方法：小组合作，自主探究。 教学准备：若干根小棒，4个纸杯。 教学过程： 一、创设情境，导入新知 老师组织学生做“抢椅子”游戏（请3位同学上来，摆开2条椅子），并宣布游戏 规则。 师：象这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢？这节课我们就一起来研究这个原理。 二、自主学习，初步感知 （一）出示例1：4枝铅笔，3个文具盒。 1、观察猜测 猜猜把4枝铅笔放进3个文具盒中会存有什么样的结果？ 2、自主探究 （1）提出猜想：“不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”。 （2）小组合作操作验证：请拿出铅笔和文具盒小组合作摆一摆、放一放。（3）交流讨论，汇报。可能如下： 第一种：枚举法。 用实物摆一摆，把所有的摆放结果都罗列出来。 第二种：假设法。 如果每个文具盒中只放1枝铅笔，最多放3枝。剩下1枝还要放进其中的一个

文具盒，所以至少有2枝铅笔放进枝同一个文具盒。 第三种：数的分解。 把4分解成三个数，共有四种情况，（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。 （4）、比较优化。 请学生继续思考：如果把5枝铅笔放进4个文具盒，结果是否一样呢？把100枝铅笔放进99个盒子里呢？怎样解释这个现象？ 师：为什么不采用枚举法来验证呢？ 数据较小时能够采用枚举法，也可用假设法直接思考，而当数据较大时，用假设法思考比较简单。 3、引导发现 只要放的铅笔数比盒子的数量多1 ，不管怎么放，总有一个盒子里至少放进2枝铅笔。 （二）出示例2：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进几本书？7本书会怎样呢？9本呢？ 1、学生尝试自已探究。 2、交流探究的结果，可能如下： 1）枚举法。 共有3种情况。在任何一种结果中，总有一个抽屉至少放进3本书 2）假设法。 把5本书“平均分成2份”，5÷2=2…1，如果每个抽屉放进2本书，还剩下1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。 由此可见，把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。 同样，7÷2=3…1把7本书放进放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉